Parcours Maths Maroc

Correction de l’exercice 34 — Somme des inverses des carrés et encadrement d’une limite Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques Menu de l’exercice 34 Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Énoncé : On considère la suite \((u_n)\) définie par : \[ u_0=1 \] et : \[ u_{n+1} = \sqrt{ u_n^2+\frac1{(n+1)^2} } \qquad(\forall n\in\mathbb N). \] 1. Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad u_n\gt0. \] 2. Étudier la monotonie de la suite \((u_n)\). 3. Pour tout entier \(n\ge1\), on pose : \[ v_n= \sum_{k=1}^{n}\frac1{k^2}. \] a) Montrer que : \[ v_n\le2-\frac1n. \] b) Montrer que : \[ u_n=\sqrt{1+v_n}. \] c) En déduire que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad u_n\le\sqrt3, \] puis montrer que la suite \((u_n)\) est convergente. 4.a) Montrer par récurrence que : \[ ...