Correction de l’exercice 34 — Somme des inverses des carrés et encadrement d’une limite
Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques
On considère la suite \((u_n)\) définie par : \[ u_0=1 \] et : \[ u_{n+1} = \sqrt{ u_n^2+\frac1{(n+1)^2} } \qquad(\forall n\in\mathbb N). \] 1. Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad u_n\gt0. \] 2. Étudier la monotonie de la suite \((u_n)\).
3. Pour tout entier \(n\ge1\), on pose : \[ v_n= \sum_{k=1}^{n}\frac1{k^2}. \] a) Montrer que : \[ v_n\le2-\frac1n. \] b) Montrer que : \[ u_n=\sqrt{1+v_n}. \] c) En déduire que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad u_n\le\sqrt3, \] puis montrer que la suite \((u_n)\) est convergente.
4.a) Montrer par récurrence que : \[ (\forall k\ge3)\qquad 2^{k+1}\ge(k+1)^2. \] 4.b) En déduire que : \[ (\forall k\ge3)\qquad u_{k+1}^2-u_k^2 \ge \frac1{2^{k+1}}. \] 4.c) En notant : \[ \ell=\lim_{n\to+\infty}u_n, \] montrer que : \[ \sqrt{\frac{179}{72}} \le \ell \le \sqrt3. \]
1. Positivité de la suite
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On a :
\[ u_0=1\gt0. \]Pour tout entier \(n\in\mathbb N\) :
\[ u_n^2+\frac1{(n+1)^2}\gt0. \]La racine carrée d’un réel strictement positif est strictement positive. Donc :
\[ u_{n+1} = \sqrt{ u_n^2+\frac1{(n+1)^2} } \gt0. \]Ainsi :
\[ \boxed{ (\forall n\in\mathbb N)\qquad u_n\gt0. } \]La positivité permettra ensuite de passer d’une comparaison entre \(u_{n+1}^2\) et \(u_n^2\) à une comparaison entre \(u_{n+1}\) et \(u_n\).
2. Monotonie de la suite
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D’après la relation de récurrence :
\[ u_{n+1}^2 = u_n^2+\frac1{(n+1)^2}. \]Donc :
\[ u_{n+1}^2-u_n^2 = \frac1{(n+1)^2}. \]Or :
\[ \frac1{(n+1)^2}\gt0. \]Ainsi :
\[ u_{n+1}^2\gt u_n^2. \]Comme \(u_n\gt0\) et \(u_{n+1}\gt0\), on en déduit :
\[ u_{n+1}\gt u_n. \]Par conséquent :
\[ \boxed{ (u_n)\text{ est strictement croissante}. } \]3. Majoration et convergence
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3.a) Majoration de \(v_n\)
Pour tout entier \(k\ge2\), on a :
\[ k(k-1)\lt k^2. \]Les deux membres étant strictement positifs :
\[ \frac1{k^2} \lt \frac1{k(k-1)}. \]Or :
\[ \frac1{k(k-1)} = \frac1{k-1}-\frac1k. \]Ainsi :
\[ \frac1{k^2} \le \frac1{k-1}-\frac1k. \]En sommant ces inégalités de \(k=2\) à \(k=n\) :
\[ \sum_{k=2}^{n}\frac1{k^2} \le \sum_{k=2}^{n} \left( \frac1{k-1}-\frac1k \right). \]La somme du membre de droite est télescopique :
\[ \begin{aligned} \sum_{k=2}^{n} \left( \frac1{k-1}-\frac1k \right) &= \left(1-\frac12\right) + \left(\frac12-\frac13\right) +\cdots+ \left(\frac1{n-1}-\frac1n\right)\\ &= 1-\frac1n. \end{aligned} \]Donc :
\[ \sum_{k=2}^{n}\frac1{k^2} \le 1-\frac1n. \]Comme :
\[ v_n = 1+\sum_{k=2}^{n}\frac1{k^2}, \]on obtient :
\[ \boxed{ v_n\le2-\frac1n. } \]3.b) Expression de \(u_n\) en fonction de \(v_n\)
Pour tout entier \(k\in\mathbb N\), la relation de récurrence donne :
\[ u_{k+1}^2-u_k^2 = \frac1{(k+1)^2}. \]En sommant de \(k=0\) à \(k=n-1\) :
\[ \sum_{k=0}^{n-1} \left( u_{k+1}^2-u_k^2 \right) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac1{(k+1)^2}. \]La somme du membre de gauche est télescopique :
\[ u_n^2-u_0^2 = \sum_{k=1}^{n}\frac1{k^2}. \]Comme \(u_0=1\) et \(v_n=\sum_{k=1}^{n}\frac1{k^2}\) :
\[ u_n^2-1=v_n. \]Donc :
\[ u_n^2=1+v_n. \]Comme \(u_n\gt0\), on obtient :
\[ \boxed{ u_n=\sqrt{1+v_n}. } \]3.c) Majoration et convergence de \((u_n)\)
D’après la question 3.a :
\[ v_n\le2-\frac1n\lt2. \]Donc :
\[ 1+v_n\lt3. \]Ainsi :
\[ u_n = \sqrt{1+v_n} \lt \sqrt3 \qquad(n\ge1). \]Pour \(n=0\) :
\[ u_0=1\le\sqrt3. \]Par conséquent :
\[ \boxed{ (\forall n\in\mathbb N)\qquad u_n\le\sqrt3. } \]La suite \((u_n)\) est strictement croissante et majorée par \(\sqrt3\).
D’après le théorème de convergence monotone :
\[ \boxed{ (u_n)\text{ est convergente}. } \]Notons :
\[ \lim_{n\to+\infty}u_n=\ell. \]D’après la majoration obtenue :
\[ \boxed{\ell\le\sqrt3}. \]La majoration \(u_n\le\sqrt3\) sert à établir la convergence. Elle ne donne pas la valeur exacte de la limite.
4. Encadrement plus précis de la limite
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4.a) Comparaison entre \(2^{k+1}\) et \((k+1)^2\)
Montrons par récurrence que :
\[ (\forall k\ge3)\qquad 2^{k+1}\ge(k+1)^2. \]Pour \(k=3\) :
\[ 2^{3+1}=16 \]et :
\[ (3+1)^2=16. \]Donc la propriété est vraie au rang \(3\).
Supposons que, pour un certain entier \(k\ge3\), on ait :
\[ 2^{k+1}\ge(k+1)^2. \]Alors :
\[ 2^{k+2} = 2\cdot2^{k+1} \ge 2(k+1)^2. \]Or :
\[ \begin{aligned} 2(k+1)^2-(k+2)^2 &= 2(k^2+2k+1) -(k^2+4k+4)\\ &= k^2-2. \end{aligned} \]Comme \(k\ge3\) :
\[ k^2-2\ge0. \]Donc :
\[ 2(k+1)^2\ge(k+2)^2. \]Par conséquent :
\[ 2^{k+2}\ge(k+2)^2. \]Par récurrence :
\[ \boxed{ (\forall k\ge3)\qquad 2^{k+1}\ge(k+1)^2. } \]4.b) Minoration de \(u_{k+1}^2-u_k^2\)
Pour tout entier \(k\ge3\) :
\[ 2^{k+1}\ge(k+1)^2. \]Les deux membres étant strictement positifs, on obtient :
\[ \frac1{(k+1)^2} \ge \frac1{2^{k+1}}. \]Or :
\[ u_{k+1}^2-u_k^2 = \frac1{(k+1)^2}. \]Donc :
\[ \boxed{ (\forall k\ge3)\qquad u_{k+1}^2-u_k^2 \ge \frac1{2^{k+1}}. } \]4.c) Encadrement de la limite \(\ell\)
Pour tout entier \(n\ge4\), en sommant de \(k=3\) à \(k=n-1\) :
\[ \sum_{k=3}^{n-1} \left( u_{k+1}^2-u_k^2 \right) \ge \sum_{k=3}^{n-1} \frac1{2^{k+1}}. \]Le membre de gauche est télescopique :
\[ u_n^2-u_3^2 \ge \sum_{k=3}^{n-1} \frac1{2^{k+1}}. \]Calculons \(u_3^2\) :
\[ \begin{aligned} u_3^2 &= u_0^2 + \frac1{1^2} + \frac1{2^2} + \frac1{3^2}\\ &= 1+1+\frac14+\frac19\\ &= \frac{85}{36}. \end{aligned} \]D’autre part :
\[ \begin{aligned} \sum_{k=3}^{n-1} \frac1{2^{k+1}} &= \frac1{2^4} + \frac1{2^5} +\cdots+ \frac1{2^n}\\ &= \frac18-\frac1{2^n}. \end{aligned} \]Donc :
\[ u_n^2 \ge \frac{85}{36} + \frac18 - \frac1{2^n}. \]Or :
\[ \frac{85}{36}+\frac18 = \frac{170}{72}+\frac9{72} = \frac{179}{72}. \]Ainsi :
\[ u_n^2 \ge \frac{179}{72} - \frac1{2^n}. \]En passant à la limite lorsque \(n\to+\infty\) :
\[ \ell^2 \ge \frac{179}{72}. \]Comme \(\ell\gt0\), on obtient :
\[ \ell \ge \sqrt{\frac{179}{72}}. \]D’après la question 3.c :
\[ \ell\le\sqrt3. \]Finalement :
\[ \boxed{ \sqrt{\frac{179}{72}} \le \ell \le \sqrt3. } \]Cet article propose une correction détaillée de l’exercice 34 de la partie Exercices de perfectionnement du chapitre Suites numériques du manuel Al Moufid. L’exercice étudie une suite récurrente liée à la somme des inverses des carrés, puis utilise une comparaison télescopique et une comparaison géométrique pour encadrer sa limite.
Savoir exploiter une relation portant sur les carrés des termes, transformer cette relation en somme télescopique, établir la convergence monotone d’une suite et obtenir un encadrement de sa limite sans calculer cette limite exactement.
- Montrer que tous les termes sont strictement positifs.
- Comparer \(u_{n+1}^2\) et \(u_n^2\) pour étudier la monotonie.
- Exprimer \(u_n^2\) à l’aide de la somme \(\sum \frac1{k^2}\).
- Majorer cette somme par une somme télescopique.
- Appliquer le théorème de convergence monotone.
- Minorer la limite grâce à une comparaison avec une suite géométrique.
Une relation de récurrence portant sur \(u_n^2\) peut être transformée en une somme télescopique. Les comparaisons avec \(\frac1{k(k-1)}\) et \(\frac1{2^k}\) permettent ensuite d’obtenir respectivement une majoration et une minoration de la limite.
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt
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