Parcours Maths Maroc

Correction des exercices 78 à 82 — Fonction réciproque, suites et applications — Al Moufid Menu des exercices Exercice 78 Exercice 79 Exercice 80 Exercice 81 Exercice 82 Exercice 78 — Fonction réciproque et suite récurrente Correction d’énoncé : Dans l’énoncé scanné, on lit \[ f(x)=\frac{1}{1-\sin(2x)}. \] Avec cette expression, l’image de \(I\) n’est pas \[ J=\left[\frac12;+\infty\right[. \] Pour que toutes les questions soient cohérentes, notamment \(J=\left[\frac12;+\infty\right[\), \(K=[1;2]\), \(g(K)\subset K\) et \(u_0=1\), on corrige l’expression en : \[ f(x)=\frac{1}{4(1-\sin(2x))}. \] Soit \(f\) la fonction numérique définie sur l’intervalle \[ I=\left]\frac{\pi}{4};\frac{5\pi}{12}\right] \] par : \[ f(x)=\frac{1}{4(1-\sin(2x))}. \] 1) Montrer que \(f\) réalise une bijection de \(I\) sur \(J=\left[\dfrac12,+\infty\right[\) Lire la réponse + Masquer la réponse − La fonction \(f\) est continue sur \(I\), ...

Correction de l’exercice 77 — Continuité, branches infinies, dérivabilité et variations — Al Moufid Menu des questions 1. Continuité en 1 2. Branches infinies 3. Dérivabilité à droite 4. Dérivabilité à gauche 5. Variations 6. Équation et tracé Énoncé On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[ f(x)= \begin{cases} x-\sqrt[3]{x-1} & \text{si }x\geq1,\\[2mm] \dfrac{\operatorname{Arctan}\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x}} & \text{si }x\lt1. \end{cases} \] 1) Montrer que \(f\) est continue en \(1\) Lire la réponse + Masquer la réponse − On a : \[ f(1)=1-\sqrt[3]{0}=1. \] Lorsque \(x\to1^+\), on utilise la première expression de \(f\) : \[ \lim_{x\to1^+}f(x) = \lim_{x\to1^+}\left(x-\sqrt[3]{x-1}\right) = 1. \] Lorsque \(x\to1^-\), on pose : \[ t=\sqrt{1-x}. \] Alors \(t\to0^+\) lorsque \(x\to1^-\), et : \[ f(x)=\frac{\operatorname{Arctan}t}{t}. \] Or : \[ \lim_{t\to0^+}\frac{\operatorname{Arctan}t}{t}=1. \] ...

Correction de l’exercice 76 — Étude complète d’une fonction, dérivabilité et asymptotes — Al Moufid Menu des parties Première partie Deuxième partie Branches infinies Tracé de la courbe Première partie 1) Montrer que, pour tout \(t\in\mathbb{R}_+^{\ast}\), \[ 0\lt \frac{t-\operatorname{Arctan}t}{t^2}\lt \frac{t}{3}. \] Lire la réponse + Masquer la réponse − Soit \(t\gt0\). On considère la fonction : \[ \varphi(t)=t-\operatorname{Arctan}t. \] Elle est dérivable sur \(\mathbb{R}_+\), et pour tout \(t\geq0\), on a : \[ \varphi'(t)=1-\frac1{1+t^2} = \frac{t^2}{1+t^2}. \] Pour \(t\gt0\), on a \(\varphi'(t)\gt0\), donc \(\varphi\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}_+\). Comme : \[ \varphi(0)=0, \] on obtient : \[ t-\operatorname{Arctan}t\gt0. \] Pour montrer la majoration, on pose : \[ \psi(t)=\frac{t^3}{3}-t+\operatorname{Arctan}t. \] La fonction \(\psi\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+\), et : \[ \psi'(t)=t^2-1+\frac1{1+t^2}. \] En ...

Correction de l’exercice 75 — Étude de fonctions, inégalité des accroissements finis et suite de fonctions — Al Moufid Menu des parties 1. Étude de h 2. Étude de f 3. Accroissements finis 4. Suite uₙ(x) 5. Fonction limite C 1) Étude de la fonction \(h\) On considère la fonction \(h\) définie sur \(\mathbb{R}_+^{\ast}\) par : \[ h(x)=\frac1x-2\operatorname{Arctan}x. \] Montrer que l’équation \(h(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\) dans \(\mathbb{R}_+^{\ast}\), avec : \[ \frac{\sqrt3}{3}\lt\alpha\lt1. \] Puis étudier le signe de \(h(x)\) sur \(\mathbb{R}_+^{\ast}\). 1-a) Existence et unicité de \(\alpha\) Lire la réponse + Masquer la réponse − La fonction \(h\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+^{\ast}\), car les fonctions \(x\mapsto\dfrac1x\) et \(x\mapsto\operatorname{Arctan}x\) sont dérivables sur cet intervalle. Pour tout \(x\gt0\), on a : \[ h'(x)=-\frac1{x^2}-\frac2{1+x^2}. \] Les deux termes du membre de droit...

Correction des exercices 69 à 74 — Théorèmes de Rolle, accroissements finis et dérivabilité — Al Moufid Menu des exercices Exercice 69 Exercice 70 Exercice 71 Exercice 72 Exercice 73 Exercice 74 Exercice 69 — Application du théorème de Rolle Soit \(f\) une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) telle que : \[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty. \] 1) Montrer qu’il existe \(a\in\mathbb{R}_{-}^{\ast}\) et \(b\in\mathbb{R}_{+}^{\ast}\) tels que : \[ f(a)\gt f(0)+1 \quad\text{et}\quad f(b)\gt f(0)+1. \] 2) En déduire qu’il existe \(\alpha\in]a;0[\) et \(\beta\in]0;b[\) tels que : \[ f(\alpha)=f(\beta). \] 3) Montrer qu’il existe \(c\in\mathbb{R}\) tel que : \[ f'(c)=0. \] 1) Existence de \(a\) et \(b\) Lire la réponse + Masquer la réponse − Comme : \[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty, \] alors, pour le réel \(f(0)+1\), il existe un réel \(a\lt0\) tel que : \[ f(a)\g...