Correction des exercices 69 à 74 — Théorèmes de Rolle, accroissements finis et dérivabilité — Al Moufid
Correction des exercices 69 à 74 — Théorèmes de Rolle, accroissements finis et dérivabilité — Al Moufid
Exercice 69 — Application du théorème de Rolle
Soit \(f\) une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) telle que : \[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty. \]
1) Montrer qu’il existe \(a\in\mathbb{R}_{-}^{\ast}\) et \(b\in\mathbb{R}_{+}^{\ast}\) tels que : \[ f(a)\gt f(0)+1 \quad\text{et}\quad f(b)\gt f(0)+1. \]
2) En déduire qu’il existe \(\alpha\in]a;0[\) et \(\beta\in]0;b[\) tels que : \[ f(\alpha)=f(\beta). \]
3) Montrer qu’il existe \(c\in\mathbb{R}\) tel que : \[ f'(c)=0. \]
1) Existence de \(a\) et \(b\)
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Comme :
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty, \]alors, pour le réel \(f(0)+1\), il existe un réel \(a\lt0\) tel que :
\[ f(a)\gt f(0)+1. \]De même, comme :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, \]il existe un réel \(b\gt0\) tel que :
\[ f(b)\gt f(0)+1. \]2) Existence de \(\alpha\) et \(\beta\)
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La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), donc elle est continue sur \([a;0]\).
On a :
\[ f(a)\gt f(0)+1\gt f(0). \]Le réel \(f(0)+1\) est donc compris entre \(f(0)\) et \(f(a)\). D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe :
\[ \alpha\in]a;0[ \]tel que :
\[ f(\alpha)=f(0)+1. \]De même, \(f\) est continue sur \([0;b]\), et :
\[ f(b)\gt f(0)+1\gt f(0). \]Donc il existe :
\[ \beta\in]0;b[ \]tel que :
\[ f(\beta)=f(0)+1. \]3) Application du théorème de Rolle
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La fonction \(f\) est continue sur \([\alpha;\beta]\) et dérivable sur \(]\alpha;\beta[\). De plus :
\[ f(\alpha)=f(\beta). \]D’après le théorème de Rolle, il existe :
\[ c\in]\alpha;\beta[ \]tel que :
Exercice 70 — Fonction dérivable à dérivée bornée
Soit \(I\) un intervalle borné de \(\mathbb{R}\), et soit \(f\) une fonction dérivable sur \(I\) telle que \(f'\) soit bornée sur \(I\). Montrer que la fonction \(f\) est aussi bornée sur \(I\).
Montrer que la fonction \(f\) est bornée sur \(I\)
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Comme \(f'\) est bornée sur \(I\), il existe un réel \(M\gt0\) tel que :
\[ \forall x\in I,\qquad |f'(x)|\leq M. \]Soit \(x_0\in I\). Puisque \(I\) est borné, il existe un réel \(L\gt0\) tel que :
\[ \forall x\in I,\qquad |x-x_0|\leq L. \]Soit \(x\in I\). Le segment d’extrémités \(x_0\) et \(x\) est contenu dans \(I\), car \(I\) est un intervalle.
La fonction \(f\) est continue sur ce segment et dérivable à l’intérieur. D’après le théorème des accroissements finis, il existe un réel \(c\) entre \(x_0\) et \(x\) tel que :
\[ f(x)-f(x_0)=f'(c)(x-x_0). \]Donc :
\[ |f(x)-f(x_0)| \leq M|x-x_0| \leq ML. \]Ainsi :
\[ |f(x)| \leq |f(x_0)|+ML. \]Exercice 71 — Zéros de \(f\) et zéros de \(f'\)
Soit \(f\) une fonction dérivable sur \([a;b]\) telle que : \[ f(a)=f(b)=0. \]
L’énoncé imprimé indique : \[ f'(a)\gt0 \quad\text{et}\quad f'(b)\lt0. \]
Avec la condition imprimée \(f'(b)\lt0\), la question demandée est fausse. Par exemple, sur \([0;1]\), la fonction \[ f(x)=x(1-x) \] vérifie \(f(0)=f(1)=0\), \(f'(0)=1\gt0\) et \(f'(1)=-1\lt0\), mais \(f(x)\gt0\) pour tout \(x\in]0;1[\). Il n’existe donc pas de point intérieur où \(f(x)\lt0\).
Pour que l’exercice soit cohérent, on remplace la condition par : \[ f'(a)\gt0 \quad\text{et}\quad f'(b)\gt0. \]
1) Montrer qu’il existe \(x_1,x_2\in]a;b[\) tels que \(f(x_1)\gt0\) et \(f(x_2)\lt0\)
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Comme \(f'(a)\gt0\), on a, par définition du nombre dérivé à droite en \(a\) :
\[ \lim_{x\to a^+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)\gt0. \]Donc, pour \(x\) assez proche de \(a\), avec \(x\gt a\), on a :
\[ \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\gt0. \]Comme \(x-a\gt0\) et \(f(a)=0\), on obtient :
\[ f(x)\gt0. \]Il existe donc \(x_1\in]a;b[\) tel que :
\[ f(x_1)\gt0. \]De même, avec la condition corrigée \(f'(b)\gt0\), on a :
\[ \lim_{x\to b^-}\frac{f(x)-f(b)}{x-b}=f'(b)\gt0. \]Donc, pour \(x\) assez proche de \(b\), avec \(x\lt b\), on a :
\[ \frac{f(x)-f(b)}{x-b}\gt0. \]Or \(x-b\lt0\) et \(f(b)=0\). Donc :
\[ f(x)\lt0. \]Il existe donc \(x_2\in]a;b[\) tel que :
2) En déduire qu’il existe \(c_1,c_2,c_3\in]a;b[\) tels que : \[ f'(c_1)=f(c_2)=f'(c_3)=0 \quad\text{et}\quad c_1\lt c_2\lt c_3 \]
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On choisit \(x_1\) proche de \(a\) et \(x_2\) proche de \(b\), de sorte que :
\[ a\lt x_1\lt x_2\lt b. \]On a :
\[ f(x_1)\gt0 \quad\text{et}\quad f(x_2)\lt0. \]Comme \(f\) est continue sur \([x_1;x_2]\), le théorème des valeurs intermédiaires assure l’existence d’un réel :
\[ c_2\in]x_1;x_2[ \]tel que :
\[ f(c_2)=0. \]Maintenant, \(f(a)=f(c_2)=0\). La fonction \(f\) est continue sur \([a;c_2]\) et dérivable sur \(]a;c_2[\). D’après le théorème de Rolle, il existe :
\[ c_1\in]a;c_2[ \]tel que :
\[ f'(c_1)=0. \]De même, \(f(c_2)=f(b)=0\). En appliquant le théorème de Rolle sur \([c_2;b]\), il existe :
\[ c_3\in]c_2;b[ \]tel que :
\[ f'(c_3)=0. \]Exercice 72 — Limite de la dérivée et dérivabilité à droite
Soit \(f\) une fonction continue sur \([a;b]\) et dérivable sur \(]a;b[\) telle que : \[ \lim_{x\to a^+}f'(x)=\lambda\in\mathbb{R}. \] Montrer que \(f\) est dérivable à droite en \(a\) et que : \[ f'_d(a)=\lambda. \] La réciproque est-elle vraie ? Justifier.
1) Montrer que \(f'_d(a)=\lambda\)
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Soit \(x\in]a,b]\). La fonction \(f\) est continue sur \([a,x]\) et dérivable sur \(]a,x[\).
D’après le théorème des accroissements finis, il existe \(c_x\in]a,x[\) tel que :
\[ \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(c_x). \]Lorsque \(x\to a^+\), on a :
\[ a\lt c_x\lt x. \]Donc :
\[ c_x\to a^+. \]Comme :
\[ \lim_{t\to a^+}f'(t)=\lambda, \]on obtient :
\[ \lim_{x\to a^+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \lambda. \]2) La réciproque est-elle vraie ?
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La réciproque n’est pas toujours vraie.
On peut prendre, sur \([0;1]\), la fonction :
\[ f(0)=0, \qquad f(x)=x^2\sin\left(\frac1{x^2}\right) \quad\text{si }x\gt0. \]On a :
\[ \frac{f(x)-f(0)}{x} = x\sin\left(\frac1{x^2}\right). \]Donc :
\[ \lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x}=0. \]Ainsi, \(f\) est dérivable à droite en \(0\), et :
\[ f'_d(0)=0. \]Mais, pour \(x\gt0\), on a :
\[ f'(x)=2x\sin\left(\frac1{x^2}\right)-\frac{2}{x}\cos\left(\frac1{x^2}\right). \]Cette expression n’admet pas de limite finie lorsque \(x\to0^+\).
Exercice 73 — Valeur maximale sous contrainte
1) Étudier les variations de la fonction \(f\) définie sur \([0;1]\) par : \[ f(x)=x^{\frac23}(1-x)^{\frac13}. \]
2) Soient \(x\) et \(y\) deux réels strictement positifs tels que : \[ x+y=1. \] Déterminer la valeur maximale de : \[ \sqrt[3]{x^2y}. \]
1) Variations de \(f\)
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La fonction \(f\) est continue sur \([0;1]\). Elle est dérivable sur \(]0;1[\), et :
\[ f'(x) = \frac23x^{-\frac13}(1-x)^{\frac13} - \frac13x^{\frac23}(1-x)^{-\frac23}. \]On factorise :
\[ f'(x) = \frac13x^{-\frac13}(1-x)^{-\frac23} \left[2(1-x)-x\right]. \]Donc :
\[ f'(x) = \frac13x^{-\frac13}(1-x)^{-\frac23}(2-3x). \]Sur \(]0;1[\), le facteur :
\[ \frac13x^{-\frac13}(1-x)^{-\frac23} \]est strictement positif. Le signe de \(f'(x)\) est donc celui de :
\[ 2-3x. \]Ainsi :
\[ f'(x)\gt0 \quad\text{si}\quad 0\lt x\lt\frac23, \] \[ f'(x)=0 \quad\text{si}\quad x=\frac23, \] \[ f'(x)\lt0 \quad\text{si}\quad \frac23\lt x\lt1. \]Donc \(f\) est croissante sur \(\left[0,\dfrac23\right]\), puis décroissante sur \(\left[\dfrac23,1\right]\).
On calcule :
\[ f(0)=0, \qquad f(1)=0, \]et :
\[ f\left(\frac23\right) = \left(\frac23\right)^{\frac23} \left(\frac13\right)^{\frac13} = \sqrt[3]{\frac4{27}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{3}. \]\(f^{\prime}(x)\gt0\) sur \(]0;\dfrac23[\), \(f^{\prime}\left(\dfrac23\right)=0\), puis \(f^{\prime}(x)\lt0\) sur \(]\dfrac23;1[\).
Ainsi, \(f\) est strictement croissante sur \(\left[0;\dfrac23\right]\), de \(0\) jusqu’à \(\dfrac{\sqrt[3]{4}}3\), puis strictement décroissante sur \(\left[\dfrac23;1\right]\), jusqu’à \(0\).
2) Valeur maximale de \(\sqrt[3]{x^2y}\)
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Comme :
\[ x+y=1, \]on a :
\[ y=1-x. \]Puisque \(x\gt0\) et \(y\gt0\), on a :
\[ 0\lt x\lt1. \]Alors :
\[ \sqrt[3]{x^2y} = \sqrt[3]{x^2(1-x)} = x^{\frac23}(1-x)^{\frac13} = f(x). \]D’après la première question, la valeur maximale est atteinte pour :
\[ x=\frac23. \]Donc :
\[ y=1-\frac23=\frac13. \]Exercice 74 — Limite avec \(\sqrt[3]{x}-\sin\sqrt[3]{x}\)
Soit \(g\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb{R}_+\) par : \[ g(x)=\sqrt[3]{x}-\sin\sqrt[3]{x}. \]
1) Montrer que pour tout \(t\in\mathbb{R}_+^{\ast}\), il existe au moins \(c_t\in]0;t^3[\) tel que : \[ t-\sin t = \frac13t^3 \left( \frac{1-\cos\sqrt[3]{c_t}} {\sqrt[3]{c_t^2}} \right). \]
2) En déduire la valeur de : \[ \lim_{t\to0^+}\frac{t-\sin t}{t^3}. \]
1) Application du théorème des accroissements finis
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La fonction \(g\) est continue sur \([0;+\infty[\), et elle est dérivable sur \(]0,+\infty[\).
Pour \(x\gt0\), on a :
\[ g'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} - \cos\sqrt[3]{x}\cdot\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}. \]Donc :
\[ g'(x)= \frac{1-\cos\sqrt[3]{x}}{3\sqrt[3]{x^2}}. \]Soit \(t\gt0\). La fonction \(g\) est continue sur \([0;t^3]\) et dérivable sur \(]0;t^3[\).
D’après le théorème des accroissements finis, il existe :
\[ c_t\in]0;t^3[ \]tel que :
\[ g(t^3)-g(0) = (t^3-0)g'(c_t). \]Or :
\[ g(t^3)=t-\sin t \]et :
\[ g(0)=0. \]Donc :
\[ t-\sin t = t^3 \cdot \frac{1-\cos\sqrt[3]{c_t}}{3\sqrt[3]{c_t^2}}. \]2) Calcul de la limite
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Comme :
\[ 0\lt c_t\lt t^3, \]on obtient :
\[ 0\lt\sqrt[3]{c_t}\lt t. \]Lorsque \(t\to0^+\), on a donc :
\[ \sqrt[3]{c_t}\to0^+. \]Posons :
\[ u_t=\sqrt[3]{c_t}. \]Alors :
\[ \frac{1-\cos\sqrt[3]{c_t}}{\sqrt[3]{c_t^2}} = \frac{1-\cos u_t}{u_t^2}. \]Or :
\[ \lim_{u\to0}\frac{1-\cos u}{u^2}=\frac12. \]D’après la question précédente :
\[ \frac{t-\sin t}{t^3} = \frac13 \cdot \frac{1-\cos u_t}{u_t^2}. \]Par passage à la limite :
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt
Travail personnel destiné à l’accompagnement des élèves de 2e Bac Sciences Mathématiques.
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