Parcours Maths Maroc

Correction des exercices 10 à 16 — Approximation affine et calcul des dérivées — Al Moufid Menu des exercices Exercice 10 Exercice 11 Exercice 12 Exercice 13 Exercice 14 Exercice 15 Exercice 16 Exercice 10 — Dérivation et approximation affine 1) Approximation affine de \(\cos x\) au voisinage de \(\dfrac\pi4\) Donner une approximation affine de la fonction \(x\mapsto\cos x\) au voisinage de \(\dfrac{\pi}{4}\), puis déterminer une valeur approchée de \(\cos(46^\circ)\). Lire la réponse + Masquer la réponse − Posons \(f(x)=\cos x\). La fonction \(f\) est dérivable en \(a=\dfrac{\pi}{4}\), avec : \[ f(a)=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2} \] et : \[ f'(a)=-\sin\frac{\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}. \] L’approximation affine de \(f\) au voisinage de \(a\) est donc : \[ \boxed{ \cos x \approx \frac{\sqrt2}{2} - \frac{\sqrt2}{2} \left(x-\frac{\pi}{4}\right) }. \] Or : \[ 46^\circ = 45^\circ+1^\circ = \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{180}. \] Par conséquent : ...