Correction des exercices 10 à 16 — Approximation affine et calcul des dérivées — Al Moufid
Exercice 10 — Dérivation et approximation affine
1) Approximation affine de \(\cos x\) au voisinage de \(\dfrac\pi4\)
Donner une approximation affine de la fonction \(x\mapsto\cos x\) au voisinage de \(\dfrac{\pi}{4}\), puis déterminer une valeur approchée de \(\cos(46^\circ)\).
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Posons \(f(x)=\cos x\). La fonction \(f\) est dérivable en \(a=\dfrac{\pi}{4}\), avec :
\[ f(a)=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2} \]et :
\[ f'(a)=-\sin\frac{\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}. \]L’approximation affine de \(f\) au voisinage de \(a\) est donc :
\[ \boxed{ \cos x \approx \frac{\sqrt2}{2} - \frac{\sqrt2}{2} \left(x-\frac{\pi}{4}\right) }. \]Or :
\[ 46^\circ = 45^\circ+1^\circ = \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{180}. \]Par conséquent :
\[ \cos(46^\circ) \approx \frac{\sqrt2}{2} \left(1-\frac{\pi}{180}\right). \]2) Valeurs approchées de \(\sin(46^\circ)\) et \(\tan(46^\circ)\)
Déterminer une valeur approchée de chacun des nombres \(\sin(46^\circ)\) et \(\tan(46^\circ)\).
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Pour \(s(x)=\sin x\), on a :
\[ s\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}, \qquad s'\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}. \]Donc, au voisinage de \(\dfrac{\pi}{4}\) :
\[ \sin x \approx \frac{\sqrt2}{2} + \frac{\sqrt2}{2} \left(x-\frac{\pi}{4}\right). \]Avec \(x=46^\circ=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{180}\), on obtient :
\[ \sin(46^\circ) \approx \frac{\sqrt2}{2} \left(1+\frac{\pi}{180}\right). \]Pour \(t(x)=\tan x\), on a :
\[ t\left(\frac{\pi}{4}\right)=1 \]et :
\[ t'(x)=1+\tan^2x, \qquad t'\left(\frac{\pi}{4}\right)=2. \]Donc :
\[ \tan x \approx 1+2\left(x-\frac{\pi}{4}\right), \]puis :
\[ \tan(46^\circ) \approx 1+\frac{\pi}{90}. \]Exercice 11 — Approximations affines au voisinage de 0
1) Approximations affines au voisinage de \(0\)
Donner une approximation affine de chacune des expressions :
\[ (1+x)^{10}, \qquad \frac1{(x+1)^2}, \qquad \sin x \]au voisinage de \(0\).
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Pour une fonction \(F\) dérivable en \(0\), son approximation affine au voisinage de \(0\) est :
\[ F(x)\approx F(0)+F'(0)x. \]Pour \(F_1(x)=(1+x)^{10}\) :
\[ F_1(0)=1, \qquad F_1'(x)=10(1+x)^9, \qquad F_1'(0)=10. \]Donc :
\[ \boxed{(1+x)^{10}\approx1+10x}. \]Pour \(F_2(x)=\dfrac1{(1+x)^2}\) :
\[ F_2(0)=1, \qquad F_2'(x)=-\frac2{(1+x)^3}, \qquad F_2'(0)=-2. \]Donc :
\[ \boxed{\frac1{(1+x)^2}\approx1-2x}. \]Enfin, pour \(F_3(x)=\sin x\) :
\[ F_3(0)=0, \qquad F_3'(0)=\cos0=1. \]2) Applications numériques
Donner une valeur approchée de chacun des nombres :
\[ (1{,}004)^{10}, \qquad \frac1{(1{,}02)^2}, \qquad \sin(0{,}1^\circ). \]Lire la réponse +
On utilise les approximations précédentes.
Comme \(1{,}004=1+0{,}004\) :
\[ (1{,}004)^{10} \approx 1+10\times0{,}004 = 1{,}04. \]Comme \(1{,}02=1+0{,}02\) :
\[ \frac1{(1{,}02)^2} \approx 1-2\times0{,}02 = 0{,}96. \]Enfin :
\[ 0{,}1^\circ=\frac{\pi}{1800}\text{ rad}. \]Comme \(\sin x\approx x\) au voisinage de \(0\) :
\[ \sin(0{,}1^\circ) \approx \frac{\pi}{1800}. \]Exercice 12 — Calcul de la fonction dérivée
1) Dérivée d’un polynôme
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La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\). Par dérivation terme à terme :
\[ \boxed{f'(x)=20x^4+16x-13}. \]2) Dérivée d’une puissance composée
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Comme \(x^4+1\gt0\) pour tout \(x\in\mathbb R\), on a \(D_g=\mathbb R\). On écrit :
\[ g(x)=5(x^4+1)^{-1/2}. \]Donc :
\[ g'(x) = 5\left(-\frac12\right)(x^4+1)^{-3/2}\cdot4x^3. \]3) Dérivée d’une puissance
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La fonction \(h\) est dérivable sur \(\mathbb R\). Posons :
\[ u(x)=x^2+5x+4\cos x. \]Alors :
\[ u'(x)=2x+5-4\sin x. \]Par la règle de dérivation d’une puissance composée :
4) Dérivée d’un quotient
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Le domaine est :
\[ D_k=\mathbb R\setminus\{-1;0\}. \]Posons :
\[ N(x)=2x^3+x+2, \qquad D(x)=x^2+x. \]On a :
\[ N'(x)=6x^2+1, \qquad D'(x)=2x+1. \]La formule du quotient donne :
\[ k'(x) = \frac{(6x^2+1)(x^2+x)-(2x^3+x+2)(2x+1)} {(x^2+x)^2}. \]Après développement du numérateur :
5) Dérivée d’un produit
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La fonction \(u\) est dérivable sur \(\mathbb R\). On a :
\[ (x^4+x+2)'=4x^3+1 \]et :
\[ (\sin(8x))'=8\cos(8x). \]6) Dérivée d’une racine cubique
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Le trinôme \(x^2+x+4\) est strictement positif sur \(\mathbb R\), car son discriminant vaut :
\[ \Delta=1-16=-15\lt0. \]La fonction \(v\) est donc dérivable sur \(\mathbb R\), et :
Exercice 13 — Dérivabilité sur le domaine de définition
1) Polynôme
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2) Somme de puissances négatives
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Le domaine est \(D_f=\mathbb R^\ast\). En écrivant chaque terme sous forme de puissance :
\[ \boxed{ f'(x) = -\frac1{x^2} -\frac2{x^3} -\frac3{x^4} -\frac4{x^5} }, \qquad x\neq0. \]3) Produit et quotient
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Le domaine est :
\[ D_f=[0;+\infty[\setminus\{1\}. \]Pour \(x\gt0\), \(x\neq1\) :
\[ (x\sqrt{x})'=\frac32\sqrt{x} \]et :
\[ \left(\frac{x}{x-1}\right)' = -\frac1{(x-1)^2}. \]Donc :
\[ \boxed{ f'(x)=\frac32\sqrt{x}-\frac1{(x-1)^2} }, \qquad x\gt0,\ x\neq1. \]À l’extrémité \(0\) :
\[ \frac{f(x)-f(0)}x = \sqrt{x}+\frac1{x-1} \longrightarrow-1. \]4) Racine carrée d’un polynôme
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La condition \(x^2-3x\geq0\) donne :
\[ D_f=]-\infty;0]\cup[3;+\infty[. \]Sur \(]-\infty;0[\cup]3;+\infty[\) :
\[ \boxed{ f'(x)=\frac{2x-3}{2\sqrt{x^2-3x}} }. \]Aux bornes du domaine :
\[ \lim_{x\to0^-}\frac{f(x)-f(0)}x=-\infty \]et :
\[ \lim_{x\to3^+}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=+\infty. \]5) Puissance d’une somme
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Le domaine est \(D_f=[1;+\infty[\). Pour \(x\gt1\) :
\[ \boxed{ f'(x) = 3\left(\sqrt{x-1}+x\right)^2 \left(1+\frac1{2\sqrt{x-1}}\right) }. \]En \(1\), le quotient de dérivabilité à droite tend vers \(+\infty\).
6) Puissance trigonométrique
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La fonction est dérivable sur \(\mathbb R\). Par composition :
\[ \boxed{f'(x)=-4\cos^3x\sin x}. \]7) Différence de deux quotients
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Le domaine est :
\[ D_f=]2;+\infty[. \]Pour \(x\gt2\) :
\[ \boxed{ f'(x) = -\frac2{(2x+1)^2} + \frac1{2(x-2)^{3/2}} }. \]8) Fonctions trigonométriques
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9) Quotient trigonométrique
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Le domaine est :
\[ D_f = \mathbb R\setminus \left\{ \frac{\pi}{4}+k\pi\ ;\ k\in\mathbb Z \right\}. \]En posant \(N=\cos x+\sin x\) et \(D=\cos x-\sin x\), on a \(N'=D\) et \(D'=-N\). Donc :
\[ f'(x) = \frac{D^2+N^2}{D^2}. \]Or :
\[ D^2+N^2=2. \]10) Valeur absolue
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Posons \(p(x)=x^3-x=x(x-1)(x+1)\). Son signe donne :
\[ f(x)= \begin{cases} -(x^3-x) & \text{sur }]-\infty;-1]\cup[0;1],\\ x^3-x & \text{sur }[-1;0]\cup[1;+\infty[. \end{cases} \]Par conséquent, pour \(x\notin\{-1;0;1\}\) :
\[ \boxed{ f'(x)= \begin{cases} 1-3x^2 & \text{si }x\in]-\infty;-1[\cup]0;1[,\\[1mm] 3x^2-1 & \text{si }x\in]-1;0[\cup]1;+\infty[. \end{cases} } \]Aux points \(-1\), \(0\) et \(1\), les dérivées latérales sont différentes.
11) Fonction définie par morceaux
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Pour la deuxième expression, \(x^2-x\geq0\) si \(x\leq0\) ou \(x\geq1\). Ainsi :
\[ D_f=]-\infty;0]\cup[1;+\infty[. \]Sur les intervalles ouverts du domaine :
\[ \boxed{ f'(x)= \begin{cases} \dfrac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x}} & \text{si }x\in]-\infty;0[\cup]1;2[,\\[3mm] \dfrac{x}{\sqrt{x^2-4}} & \text{si }x\gt2. \end{cases} } \]En \(0\), la dérivée à gauche est infinie ; en \(1\), la dérivée à droite est infinie.
En outre :
\[ f(2)=\sqrt2 \]mais :
\[ \lim_{x\to2^+}f(x)=0. \]12) Fonction définie par morceaux en \(0\)
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On a \(f(0)=0\), et les deux expressions tendent vers \(0\) en \(0\). La fonction est donc continue en \(0\).
Pour \(x\gt0\) :
\[ f'(x)=\sin x+x\cos x. \]Pour \(x\lt0\) :
\[ f'(x)=\sin x. \]Enfin :
\[ f'_d(0)=0 \qquad\text{et}\qquad f'_g(0)=0. \]Exercice 14 — Fonctions composées et puissances fractionnaires
1) Produit avec une racine cubique
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La fonction est définie sur \(\mathbb R\). Pour \(x\neq0\), la règle du produit donne, après simplification :
\[ f'(x)=\frac{7x+12}{3}\sqrt[3]{2x}. \]En \(0\) :
\[ \frac{f(x)-f(0)}x=(x+3)\sqrt[3]{2x}\longrightarrow0. \]2) Puissance d’une racine cubique
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La fonction est définie sur \(\mathbb R\). Pour \(x\neq0\) :
\[ \boxed{ f'(x) = \frac{14x}{3(x^2)^{2/3}} \left(\sqrt[3]{x^2}-5\right)^6 }. \]En \(0\), le terme \(\sqrt[3]{x^2}=|x|^{2/3}\) n’est pas dérivable : les quotients de dérivabilité tendent vers des infinis de signes opposés.
3) Racine cubique d’un trinôme
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La fonction est définie sur \(\mathbb R\). Pour \(x\notin\{-4;1\}\) :
\[ \boxed{ f'(x) = \frac{2x+3}{3\left(x^2+3x-4\right)^{2/3}} }. \]Le polynôme intérieur s’annule en \(-4\) et en \(1\), tandis que sa dérivée n’y est pas nulle.
4) Racine carrée d’un quotient
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L’étude du signe de \(\dfrac{x(x+1)}{x-1}\) donne :
\[ D_f=[-1;0]\cup]1;+\infty[. \]Sur \(]-1;0[\cup]1;+\infty[\), posons \(u(x)=\dfrac{x^2+x}{x-1}\). On a :
\[ u'(x)=\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}. \]Donc :
\[ \boxed{ f'(x) = \frac{x^2-2x-1} {2(x-1)^2\sqrt{\frac{x^2+x}{x-1}}} }. \]En \(-1\), la dérivée à droite vaut \(+\infty\), et en \(0\), la dérivée à gauche vaut \(-\infty\).
5) Somme avec une racine cubique
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La fonction est définie sur \(\mathbb R\). Pour \(x\neq-\dfrac12\) :
\[ \boxed{ f'(x) = -1+\frac{2}{3(2x+1)^{2/3}} }. \]En \(x=-\dfrac12\), le quotient de dérivabilité tend vers \(+\infty\) des deux côtés.
6) Racine cubique d’une puissance quatrième
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On a \(f(x)=|x-2|^{4/3}\). Pour \(x\neq2\) :
\[ f'(x)=\frac43\sqrt[3]{x-2}. \]En \(2\) :
\[ \frac{f(x)-f(2)}{x-2} = \frac{|x-2|^{4/3}}{x-2} \longrightarrow0. \]7) Quotient comportant \(\sqrt{x}\) et \(\sqrt[3]x\)
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Le domaine est \(D_f=[0;+\infty[\). Pour \(x\gt0\), on écrit :
\[ f(x)=\frac{4x^{1/3}}{x^{3/2}+1}. \]La formule du quotient donne :
\[ \boxed{ f'(x) = \frac{4-14x^{3/2}} {3x^{2/3}(x^{3/2}+1)^2} }. \]En \(0\) :
\[ \frac{f(x)-f(0)}x = \frac4{x^{2/3}(x\sqrt{x}+1)} \longrightarrow+\infty. \]8) Produit avec une racine cubique d’un quotient
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Le domaine est \(D_f=\mathbb R\setminus\{2\}\). Posons :
\[ u(x)=\frac{x+2}{x-2}, \qquad u'(x)=-\frac4{(x-2)^2}. \]Pour \(x\notin\{-2;2\}\) :
\[ \boxed{ f'(x) = \sqrt[3]{\frac{x+2}{x-2}} - \frac{4x} {3(x-2)^2 \sqrt[3]{\left(\frac{x+2}{x-2}\right)^2}} }. \]En \(x=-2\), le quotient de dérivabilité devient infini.
9) Inverse d’une racine cubique
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Le dénominateur doit être non nul. Donc :
\[ D_f=\mathbb R\setminus\{0;2\}. \]On écrit \(f(x)=(x^2-2x)^{-1/3}\). Ainsi :
10) Racine quatrième d’un quotient
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Comme \(x^2+3\gt0\), le domaine est :
\[ D_f=[0;+\infty[. \]Pour \(x\gt0\), posons \(u(x)=\dfrac{x}{x^2+3}\). On a :
\[ u'(x)=\frac{3-x^2}{(x^2+3)^2}. \]Donc :
\[ \boxed{ f'(x) = \frac{3-x^2} {4x^{3/4}(x^2+3)^{5/4}} }. \]En \(0\), le quotient de dérivabilité à droite tend vers \(+\infty\).
Exercice 15 — Dérivées de fonctions à puissances fractionnaires
1) Puissance \(\dfrac32\)
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Posons \(t=\sqrt[3]{x}\). L’expression intérieure vaut \(t-t^2=t(1-t)\), qui est positive ou nulle si et seulement si \(t\in[0;1]\). Donc :
\[ D_f=[0;1]. \]Pour \(x\in]0;1[\) :
\[ \boxed{ f'(x) = \frac{1-2\sqrt[3]{x}} {2x^{2/3}} \sqrt{x^{1/3}-x^{2/3}} }. \]En \(0\), la dérivée à droite est \(+\infty\). En \(1\), en posant \(t=\sqrt[3]{x}\), on obtient :
\[ \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = -\frac{t^{3/2}\sqrt{1-t}}{t^2+t+1} \longrightarrow0. \]2) Somme de deux racines cubiques
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La fonction est définie sur \(\mathbb R\). Pour \(x\neq1\) :
\[ \boxed{ g'(x) = \frac43\sqrt[3]{x} + \frac1{3(x-1)^{2/3}} }. \]Le premier terme \(\sqrt[3]{x^4}=|x|^{4/3}\) est dérivable en \(0\), avec dérivée nulle. En revanche, le second terme n’est pas dérivable en \(1\).
3) Puissance d’une valeur absolue
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La fonction est définie et dérivable sur \(\mathbb R\). Pour \(x\neq\dfrac12\) :
\[ h'(x) = \frac{20}{3}|4x-2|^{2/3}\operatorname{sgn}(4x-2). \]En \(x=\dfrac12\), le quotient de dérivabilité tend vers \(0\).
4) Différence de deux puissances fractionnaires
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La racine quatrième impose \(x^3+1\geq0\), donc :
\[ D_k=[-1;+\infty[. \]Pour \(x\in]-1;0[\cup]0;+\infty[\) :
\[ \boxed{ k'(x) = \frac{2x}{3(x^2)^{2/3}} - \frac{3x^2}{4(x^3+1)^{3/4}} }. \]En \(-1\), la dérivée à droite est infinie. En \(0\), le terme \(x^{2/3}=|x|^{2/3}\) possède des dérivées latérales infinies de signes opposés.
Exercice 16 — Dérivabilité de fonctions composées
1) Fonction \(f(x)=\sin(x\sqrt{x})\)
Montrer que la fonction \(f\), définie sur \(\mathbb R_+^\ast\) par :
\[ f(x)=\sin(x\sqrt{x}), \]est dérivable sur \(\mathbb R_+^\ast\), puis déterminer sa dérivée.
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Pour \(x\gt0\), posons :
\[ u(x)=x\sqrt{x}=x^{3/2}. \]Alors :
\[ u'(x)=\frac32\sqrt{x}. \]Par dérivation d’une fonction composée :
2) Fonction \(g(x)=\cos\sqrt{x^2-x}\)
Étudier la dérivabilité de la fonction \(g\) définie par :
\[ g(x)=\cos\left(\sqrt{x^2-x}\right) \]sur son domaine de définition, puis déterminer sa dérivée.
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La condition \(x^2-x\geq0\) donne :
\[ D_g=]-\infty;0]\cup[1;+\infty[. \]Pour \(x\in]-\infty;0[\cup]1;+\infty[\) :
\[ \boxed{ g'(x) = -\frac{(2x-1)\sin\left(\sqrt{x^2-x}\right)} {2\sqrt{x^2-x}} }. \]Étudions les extrémités du domaine. En \(0\) :
\[ \lim_{x\to0^-}\frac{g(x)-g(0)}x=\frac12. \]De même, en \(1\) :
\[ \lim_{x\to1^+}\frac{g(x)-g(1)}{x-1}=-\frac12. \]Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt
Travail personnel destiné à l’accompagnement des élèves de 2e Bac Sciences Mathématiques.
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