Correction des exercices 10 à 16 — Dérivation et étude des fonctions
Manuel Al Moufid · 2e Bac Sciences Mathématiques
Ces exercices permettent de passer de la définition locale de la dérivabilité aux principales techniques de calcul utilisées dans le chapitre. Les premiers exercices exploitent l’approximation affine d’une fonction dérivable pour obtenir des valeurs numériques proches de valeurs connues. Les exercices suivants mobilisent les règles de dérivation des sommes, produits, quotients et fonctions composées, tout en accordant une attention particulière au domaine de définition. Lorsque des racines ou des puissances fractionnaires apparaissent, il faut également examiner les points où l’expression intérieure s’annule. Dans ces situations, une formule de dérivée valable sur un intervalle ouvert ne suffit pas toujours : aux extrémités du domaine ou aux points particuliers, l’étude revient au quotient de dérivabilité à droite ou à gauche. La correction met ainsi en relation calcul, conditions d’application et interprétation géométrique.
Exercice 10 — Dérivation et approximation affine
Si une fonction \(f\) est dérivable en un réel \(a\), la tangente à sa courbe au point d’abscisse \(a\) fournit une approximation affine de \(f\) au voisinage de ce point. Pour une valeur \(x\) suffisamment proche de \(a\), on utilise :
\[ f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a). \]L’application de cette règle demande donc de connaître \(f(a)\), \(f'(a)\) et de vérifier que la fonction est dérivable au point choisi.
Donner une approximation affine de la fonction \(x\mapsto\cos x\) au voisinage de \(\dfrac{\pi}{4}\), puis déterminer une valeur approchée de \(\cos(46^\circ)\).
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Posons \(f(x)=\cos x\). La fonction \(f\) est dérivable en \(a=\dfrac{\pi}{4}\), avec :
\[ f(a)=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2} \]et :
\[ f'(a)=-\sin\frac{\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}. \]Les deux données nécessaires à l’approximation affine sont maintenant connues.
L’approximation affine de \(f\) au voisinage de \(a\) est donc :
\[ \boxed{ \cos x \approx \frac{\sqrt2}{2} - \frac{\sqrt2}{2} \left(x-\frac{\pi}{4}\right) }. \]L’angle \(46^\circ\) est très proche de \(45^\circ=\dfrac{\pi}{4}\). On écrit donc son écart à l’angle de référence.
Or :
\[ 46^\circ = 45^\circ+1^\circ = \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{180}. \]Par conséquent :
\[ \cos(46^\circ) \approx \frac{\sqrt2}{2} \left(1-\frac{\pi}{180}\right). \]Déterminer une valeur approchée de chacun des nombres \(\sin(46^\circ)\) et \(\tan(46^\circ)\).
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Pour \(s(x)=\sin x\), on a :
\[ s\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}, \qquad s'\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}. \]La fonction sinus est donc remplacée localement par son approximation affine au point \(\dfrac{\pi}{4}\).
Donc, au voisinage de \(\dfrac{\pi}{4}\) :
\[ \sin x \approx \frac{\sqrt2}{2} + \frac{\sqrt2}{2} \left(x-\frac{\pi}{4}\right). \]Avec \(x=46^\circ=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{180}\), on obtient :
\[ \sin(46^\circ) \approx \frac{\sqrt2}{2} \left(1+\frac{\pi}{180}\right). \]Pour \(t(x)=\tan x\), on a :
\[ t\left(\frac{\pi}{4}\right)=1 \]et :
\[ t'(x)=1+\tan^2x, \qquad t'\left(\frac{\pi}{4}\right)=2. \]On dispose donc également de la valeur de la fonction et de son nombre dérivé au point de référence.
Donc :
\[ \tan x \approx 1+2\left(x-\frac{\pi}{4}\right), \]puis :
\[ \tan(46^\circ) \approx 1+\frac{\pi}{90}. \]Exercice 11 — Approximations affines au voisinage de 0
Lorsque \(F\) est dérivable en \(0\), la formule générale de l’approximation affine devient :
\[ F(x)\approx F(0)+F'(0)x. \]Pour une application numérique, il faut ensuite identifier le petit nombre \(x\) qui mesure l’écart à \(0\).
Donner une approximation affine de chacune des expressions :
\[ (1+x)^{10}, \qquad \frac1{(x+1)^2}, \qquad \sin x \]au voisinage de \(0\).
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Pour une fonction \(F\) dérivable en \(0\), son approximation affine au voisinage de \(0\) est :
\[ F(x)\approx F(0)+F'(0)x. \]On applique cette règle successivement aux trois fonctions proposées.
Pour \(F_1(x)=(1+x)^{10}\) :
\[ F_1(0)=1, \qquad F_1'(x)=10(1+x)^9, \qquad F_1'(0)=10. \]Donc :
\[ \boxed{(1+x)^{10}\approx1+10x}. \]Pour \(F_2(x)=\dfrac1{(1+x)^2}\) :
\[ F_2(0)=1, \qquad F_2'(x)=-\frac2{(1+x)^3}, \qquad F_2'(0)=-2. \]Donc :
\[ \boxed{\frac1{(1+x)^2}\approx1-2x}. \]Enfin, pour \(F_3(x)=\sin x\) :
\[ F_3(0)=0, \qquad F_3'(0)=\cos0=1. \]Donner une valeur approchée de chacun des nombres :
\[ (1{,}004)^{10}, \qquad \frac1{(1{,}02)^2}, \qquad \sin(0{,}1^\circ). \]Afficher la correction Masquer la correction
On utilise les approximations précédentes.
Comme \(1{,}004=1+0{,}004\) :
\[ (1{,}004)^{10} \approx 1+10\times0{,}004 = 1{,}04. \]Comme \(1{,}02=1+0{,}02\) :
\[ \frac1{(1{,}02)^2} \approx 1-2\times0{,}02 = 0{,}96. \]Pour le dernier nombre, on commence par convertir l’angle en radians.
Enfin :
\[ 0{,}1^\circ=\frac{\pi}{1800}\text{ rad}. \]Comme \(\sin x\approx x\) au voisinage de \(0\) :
\[ \sin(0{,}1^\circ) \approx \frac{\pi}{1800}. \]Exercice 12 — Calcul de la fonction dérivée
Avant de dériver une expression, il faut reconnaître sa structure : somme, produit, quotient ou composition. Les règles de dérivation ne s’appliquent que sur les intervalles où les fonctions concernées sont définies et dérivables. Pour un quotient, le dénominateur doit notamment être non nul ; pour une fonction composée, la fonction intérieure doit prendre ses valeurs dans le domaine de dérivabilité de la fonction extérieure.
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La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\). Par dérivation terme à terme :
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Comme \(x^4+1\gt0\) pour tout \(x\in\mathbb R\), on a \(D_g=\mathbb R\). On écrit :
\[ g(x)=5(x^4+1)^{-1/2}. \]La fonction intérieure est dérivable sur \(\mathbb R\) et reste strictement positive, les conditions de la règle de composition sont donc satisfaites.
Donc :
\[ g'(x) = 5\left(-\frac12\right)(x^4+1)^{-3/2}\cdot4x^3. \]Afficher la correction Masquer la correction
La fonction \(h\) est dérivable sur \(\mathbb R\). Posons :
\[ u(x)=x^2+5x+4\cos x. \]Alors :
\[ u'(x)=2x+5-4\sin x. \]La règle de dérivation de \(u^7\) peut maintenant être appliquée.
Par la règle de dérivation d’une puissance composée :
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Le domaine est :
\[ D_k=\mathbb R\setminus\{-1;0\}. \]Posons :
\[ N(x)=2x^3+x+2, \qquad D(x)=x^2+x. \]On a :
\[ N'(x)=6x^2+1, \qquad D'(x)=2x+1. \]Sur \(D_k\), le dénominateur est non nul. La formule du quotient est donc applicable.
La formule du quotient donne :
\[ k'(x) = \frac{(6x^2+1)(x^2+x)-(2x^3+x+2)(2x+1)} {(x^2+x)^2}. \]Après développement du numérateur :
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La fonction \(u\) est dérivable sur \(\mathbb R\). On a :
\[ (x^4+x+2)'=4x^3+1 \]et :
\[ (\sin(8x))'=8\cos(8x). \]Afficher la correction Masquer la correction
Le trinôme \(x^2+x+4\) est strictement positif sur \(\mathbb R\), car son discriminant vaut :
\[ \Delta=1-16=-15\lt0. \]La quantité intérieure ne s’annule donc jamais.
La fonction \(v\) est donc dérivable sur \(\mathbb R\), et :
Exercice 13 — Dérivabilité sur le domaine de définition
Une formule de dérivée obtenue par les règles usuelles est valable sur les intervalles ouverts où toutes les expressions sont définies et dérivables. Aux bornes d’un domaine, aux zéros d’une expression sous une racine ou aux points de raccordement d’une fonction définie par morceaux, il faut revenir à la définition et étudier éventuellement une dérivée à droite ou à gauche. Une limite infinie du quotient de dérivabilité ne donne pas un nombre dérivé fini ; elle peut cependant traduire graphiquement une demi-tangente verticale.
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Le domaine est \(D_f=\mathbb R^\ast\). En écrivant chaque terme sous forme de puissance :
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Le domaine est :
\[ D_f=[0;+\infty[\setminus\{1\}. \]Pour \(x\gt0\), \(x\neq1\) :
\[ (x\sqrt{x})'=\frac32\sqrt{x} \]et :
\[ \left(\frac{x}{x-1}\right)' = -\frac1{(x-1)^2}. \]Donc :
\[ \boxed{ f'(x)=\frac32\sqrt{x}-\frac1{(x-1)^2} }, \qquad x\gt0,\ x\neq1. \]La formule précédente ne suffit pas pour le point \(0\), car celui-ci est une extrémité du domaine. On étudie donc directement le quotient à droite.
À l’extrémité \(0\) :
\[ \frac{f(x)-f(0)}x = \sqrt{x}+\frac1{x-1} \longrightarrow-1. \]Afficher la correctionMasquer la correction
La condition \(x^2-3x\geq0\) donne :
\[ D_f=]-\infty;0]\cup[3;+\infty[. \]Sur \(]-\infty;0[\cup]3;+\infty[\) :
\[ \boxed{ f'(x)=\frac{2x-3}{2\sqrt{x^2-3x}} }. \]Aux deux extrémités, le dénominateur de cette formule s’annule. Il faut donc revenir au quotient de dérivabilité latéral.
Aux bornes du domaine :
\[ \lim_{x\to0^-}\frac{f(x)-f(0)}x=-\infty \]et :
\[ \lim_{x\to3^+}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=+\infty. \]Afficher la correctionMasquer la correction
Le domaine est \(D_f=[1;+\infty[\). Pour \(x\gt1\) :
\[ \boxed{ f'(x) = 3\left(\sqrt{x-1}+x\right)^2 \left(1+\frac1{2\sqrt{x-1}}\right) }. \]La formule fait intervenir \(\sqrt{x-1}\) au dénominateur ; elle ne permet donc pas d’attribuer directement un nombre dérivé fini au point \(1\).
En \(1\), le quotient de dérivabilité à droite tend vers \(+\infty\).
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La fonction est dérivable sur \(\mathbb R\). Par composition :
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Le domaine est :
\[ D_f=]2;+\infty[. \]Pour \(x\gt2\) :
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Le domaine est :
\[ D_f = \mathbb R\setminus \left\{ \frac{\pi}{4}+k\pi\ ;\ k\in\mathbb Z \right\}. \]En posant \(N=\cos x+\sin x\) et \(D=\cos x-\sin x\), on a \(N'=D\) et \(D'=-N\). Donc :
\[ f'(x) = \frac{D^2+N^2}{D^2}. \]Or :
\[ D^2+N^2=2. \]Afficher la correctionMasquer la correction
Posons \(p(x)=x^3-x=x(x-1)(x+1)\). Son signe donne :
\[ f(x)= \begin{cases} -(x^3-x) & \text{sur }]-\infty;-1]\cup[0;1],\\ x^3-x & \text{sur }[-1;0]\cup[1;+\infty[. \end{cases} \]Par conséquent, pour \(x\notin\{-1;0;1\}\) :
\[ \boxed{ f'(x)= \begin{cases} 1-3x^2 & \text{si }x\in]-\infty;-1[\cup]0;1[,\\[1mm] 3x^2-1 & \text{si }x\in]-1;0[\cup]1;+\infty[. \end{cases} } \]Aux points \(-1\), \(0\) et \(1\), les dérivées latérales sont différentes.
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Pour la deuxième expression, \(x^2-x\geq0\) si \(x\leq0\) ou \(x\geq1\). Ainsi :
\[ D_f=]-\infty;0]\cup[1;+\infty[. \]Sur les intervalles ouverts du domaine :
\[ \boxed{ f'(x)= \begin{cases} \dfrac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x}} & \text{si }x\in]-\infty;0[\cup]1;2[,\\[3mm] \dfrac{x}{\sqrt{x^2-4}} & \text{si }x\gt2. \end{cases} } \]En \(0\), la dérivée à gauche est infinie ; en \(1\), la dérivée à droite est infinie.
Au point \(2\), il faut d’abord contrôler la continuité, car la dérivabilité implique nécessairement la continuité.
En outre :
\[ f(2)=\sqrt2 \]mais :
\[ \lim_{x\to2^+}f(x)=0. \]Afficher la correctionMasquer la correction
On a \(f(0)=0\), et les deux expressions tendent vers \(0\) en \(0\). La fonction est donc continue en \(0\).
Pour \(x\gt0\) :
\[ f'(x)=\sin x+x\cos x. \]Pour \(x\lt0\) :
\[ f'(x)=\sin x. \]Il reste à comparer les deux nombres dérivés latéraux au point de raccordement.
Enfin :
\[ f'_d(0)=0 \qquad\text{et}\qquad f'_g(0)=0. \]Exercice 14 — Fonctions composées et puissances fractionnaires
Pour une fonction composée comportant une racine ou une puissance fractionnaire, la formule de dérivation s’applique sur les intervalles où ses conditions sont satisfaites. Si l’expression intérieure s’annule, le dénominateur de la formule peut devenir nul : il faut alors étudier le point directement à partir du quotient de dérivabilité. Cette vérification permet de distinguer une dérivée finie d’une tangente verticale.
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La fonction est définie sur \(\mathbb R\). Pour \(x\neq0\), la règle du produit donne, après simplification :
\[ f'(x)=\frac{7x+12}{3}\sqrt[3]{2x}. \]Il reste à traiter le point \(0\), où la dérivée usuelle de la racine cubique ne peut pas être appliquée directement.
En \(0\) :
\[ \frac{f(x)-f(0)}x=(x+3)\sqrt[3]{2x}\longrightarrow0. \]Afficher la correctionMasquer la correction
La fonction est définie sur \(\mathbb R\). Pour \(x\neq0\) :
\[ \boxed{ f'(x) = \frac{14x}{3(x^2)^{2/3}} \left(\sqrt[3]{x^2}-5\right)^6 }. \]La formule précédente n’est pas définie en \(0\). On examine donc le quotient de dérivabilité à ce point.
En \(0\), le terme \(\sqrt[3]{x^2}=|x|^{2/3}\) n’est pas dérivable : les quotients de dérivabilité tendent vers des infinis de signes opposés.
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La fonction est définie sur \(\mathbb R\). Pour \(x\notin\{-4;1\}\) :
\[ \boxed{ f'(x) = \frac{2x+3}{3\left(x^2+3x-4\right)^{2/3}} }. \]Les points exclus de cette formule sont précisément ceux où le trinôme s’annule.
Le polynôme intérieur s’annule en \(-4\) et en \(1\), tandis que sa dérivée n’y est pas nulle.
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L’étude du signe de \(\dfrac{x(x+1)}{x-1}\) donne :
\[ D_f=[-1;0]\cup]1;+\infty[. \]Sur \(]-1;0[\cup]1;+\infty[\), posons \(u(x)=\dfrac{x^2+x}{x-1}\). On a :
\[ u'(x)=\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}. \]Donc :
\[ \boxed{ f'(x) = \frac{x^2-2x-1} {2(x-1)^2\sqrt{\frac{x^2+x}{x-1}}} }. \]Aux extrémités \(-1\) et \(0\), l’expression sous la racine s’annule. L’étude latérale est donc nécessaire.
En \(-1\), la dérivée à droite vaut \(+\infty\), et en \(0\), la dérivée à gauche vaut \(-\infty\).
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La fonction est définie sur \(\mathbb R\). Pour \(x\neq-\dfrac12\) :
\[ \boxed{ f'(x) = -1+\frac{2}{3(2x+1)^{2/3}} }. \]Le seul point non couvert par cette formule est celui où l’expression intérieure de la racine s’annule.
En \(x=-\dfrac12\), le quotient de dérivabilité tend vers \(+\infty\) des deux côtés.
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On a \(f(x)=|x-2|^{4/3}\). Pour \(x\neq2\) :
\[ f'(x)=\frac43\sqrt[3]{x-2}. \]La formule obtenue suggère une valeur nulle au point \(2\), mais la dérivabilité doit être établie à partir de la définition.
En \(2\) :
\[ \frac{f(x)-f(2)}{x-2} = \frac{|x-2|^{4/3}}{x-2} \longrightarrow0. \]Afficher la correctionMasquer la correction
Le domaine est \(D_f=[0;+\infty[\). Pour \(x\gt0\), on écrit :
\[ f(x)=\frac{4x^{1/3}}{x^{3/2}+1}. \]La formule du quotient donne :
\[ \boxed{ f'(x) = \frac{4-14x^{3/2}} {3x^{2/3}(x^{3/2}+1)^2} }. \]La formule n’est pas définie en \(0\). On étudie donc directement le quotient à droite.
En \(0\) :
\[ \frac{f(x)-f(0)}x = \frac4{x^{2/3}(x\sqrt{x}+1)} \longrightarrow+\infty. \]Afficher la correctionMasquer la correction
Le domaine est \(D_f=\mathbb R\setminus\{2\}\). Posons :
\[ u(x)=\frac{x+2}{x-2}, \qquad u'(x)=-\frac4{(x-2)^2}. \]Pour \(x\notin\{-2;2\}\) :
\[ \boxed{ f'(x) = \sqrt[3]{\frac{x+2}{x-2}} - \frac{4x} {3(x-2)^2 \sqrt[3]{\left(\frac{x+2}{x-2}\right)^2}} }. \]Au point \(-2\), la fonction elle-même reste définie, mais la formule de dérivation précédente ne l’est plus.
En \(x=-2\), le quotient de dérivabilité devient infini.
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Le dénominateur doit être non nul. Donc :
\[ D_f=\mathbb R\setminus\{0;2\}. \]On écrit \(f(x)=(x^2-2x)^{-1/3}\). Ainsi :
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Comme \(x^2+3\gt0\), le domaine est :
\[ D_f=[0;+\infty[. \]Pour \(x\gt0\), posons \(u(x)=\dfrac{x}{x^2+3}\). On a :
\[ u'(x)=\frac{3-x^2}{(x^2+3)^2}. \]Donc :
\[ \boxed{ f'(x) = \frac{3-x^2} {4x^{3/4}(x^2+3)^{5/4}} }. \]Le point \(0\) est une extrémité du domaine et la formule précédente y est indéfinie.
En \(0\), le quotient de dérivabilité à droite tend vers \(+\infty\).
Exercice 15 — Dérivées de fonctions à puissances fractionnaires
Une puissance fractionnaire doit être étudiée avec son domaine de définition. Lorsque l’exposant fait intervenir une racine paire, l’expression concernée doit être positive ou nulle. Les formules de dérivation sont ensuite utilisées sur les intervalles où les fonctions sont dérivables. Les points où une puissance fractionnaire s’annule peuvent exiger une étude spécifique du quotient de dérivabilité.
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Posons \(t=\sqrt[3]{x}\). L’expression intérieure vaut \(t-t^2=t(1-t)\), qui est positive ou nulle si et seulement si \(t\in[0;1]\). Donc :
\[ D_f=[0;1]. \]Pour \(x\in]0;1[\) :
\[ \boxed{ f'(x) = \frac{1-2\sqrt[3]{x}} {2x^{2/3}} \sqrt{x^{1/3}-x^{2/3}} }. \]Il faut encore examiner les deux extrémités \(0\) et \(1\), car elles ne sont pas couvertes par la formule précédente.
En \(0\), la dérivée à droite est \(+\infty\). En \(1\), en posant \(t=\sqrt[3]{x}\), on obtient :
\[ \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = -\frac{t^{3/2}\sqrt{1-t}}{t^2+t+1} \longrightarrow0. \]Afficher la correctionMasquer la correction
La fonction est définie sur \(\mathbb R\). Pour \(x\neq1\) :
\[ \boxed{ g'(x) = \frac43\sqrt[3]{x} + \frac1{3(x-1)^{2/3}} }. \]Le premier terme \(\sqrt[3]{x^4}=|x|^{4/3}\) est dérivable en \(0\), avec dérivée nulle. En revanche, le second terme n’est pas dérivable en \(1\).
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La fonction est définie et dérivable sur \(\mathbb R\). Pour \(x\neq\dfrac12\) :
\[ h'(x) = \frac{20}{3}|4x-2|^{2/3}\operatorname{sgn}(4x-2). \]Il reste à déterminer ce qui se passe exactement lorsque la valeur absolue s’annule.
En \(x=\dfrac12\), le quotient de dérivabilité tend vers \(0\).
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La racine quatrième impose \(x^3+1\geq0\), donc :
\[ D_k=[-1;+\infty[. \]Pour \(x\in]-1;0[\cup]0;+\infty[\) :
\[ \boxed{ k'(x) = \frac{2x}{3(x^2)^{2/3}} - \frac{3x^2}{4(x^3+1)^{3/4}} }. \]Les points exclus de la formule correspondent précisément aux difficultés créées par les puissances fractionnaires.
En \(-1\), la dérivée à droite est infinie. En \(0\), le terme \(x^{2/3}=|x|^{2/3}\) possède des dérivées latérales infinies de signes opposés.
Exercice 16 — Dérivabilité de fonctions composées
Si \(u\) est dérivable au point considéré et si la fonction extérieure est dérivable en \(u(x)\), alors la composée est dérivable et sa dérivée s’obtient en multipliant la dérivée de la fonction extérieure par celle de la fonction intérieure. Aux extrémités d’un domaine, cette règle doit être complétée par l’étude directe du quotient de dérivabilité latéral.
Montrer que la fonction \(f\), définie sur \(\mathbb R_+^\ast\) par :
\[ f(x)=\sin(x\sqrt{x}), \]est dérivable sur \(\mathbb R_+^\ast\), puis déterminer sa dérivée.
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Pour \(x\gt0\), posons :
\[ u(x)=x\sqrt{x}=x^{3/2}. \]Alors :
\[ u'(x)=\frac32\sqrt{x}. \]Comme le sinus est dérivable sur \(\mathbb R\), on applique la règle de dérivation d’une fonction composée.
Par dérivation d’une fonction composée :
Étudier la dérivabilité de la fonction \(g\) définie par :
\[ g(x)=\cos\left(\sqrt{x^2-x}\right) \]sur son domaine de définition, puis déterminer sa dérivée.
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La condition \(x^2-x\geq0\) donne :
\[ D_g=]-\infty;0]\cup[1;+\infty[. \]À l’intérieur de chacun des deux intervalles du domaine, l’expression sous la racine est strictement positive ; la composition peut donc être dérivée.
Pour \(x\in]-\infty;0[\cup]1;+\infty[\) :
\[ \boxed{ g'(x) = -\frac{(2x-1)\sin\left(\sqrt{x^2-x}\right)} {2\sqrt{x^2-x}} }. \]Les points \(0\) et \(1\) appartiennent au domaine, mais ils ne sont pas couverts par cette formule. On utilise donc la définition latérale.
Étudions les extrémités du domaine. En \(0\) :
\[ \lim_{x\to0^-}\frac{g(x)-g(0)}x=\frac12. \]De même, en \(1\) :
\[ \lim_{x\to1^+}\frac{g(x)-g(1)}{x-1}=-\frac12. \]Le calcul d’une dérivée ne commence pas par l’application automatique d’une formule. Il faut d’abord reconnaître la structure de la fonction et déterminer son domaine de définition. Pour une somme, un produit ou un quotient de fonctions dérivables, les règles usuelles s’appliquent sur les intervalles où leurs conditions sont satisfaites. Pour une fonction composée, il faut également vérifier que la fonction intérieure prend ses valeurs dans un domaine où la fonction extérieure est dérivable.
Les racines et les puissances fractionnaires demandent une attention particulière aux points où leur argument s’annule. Lorsque la formule générale ne s’applique plus, le quotient de dérivabilité permet de décider si le nombre dérivé reste fini ou si la courbe possède une tangente ou une demi-tangente verticale. Enfin, l’approximation affine montre l’interprétation concrète du nombre dérivé : au voisinage d’un point, la fonction peut être approchée par sa tangente.
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt
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