Parcours Maths Maroc

Correction des exercices 43 à 50 — Théorème des accroissements finis — Al Moufid Menu des exercices Exercice 43 Exercice 44 Exercice 45 Exercice 46 Exercice 47 Exercice 48 Exercice 49 Exercice 50 Exercice 43 Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb{N}^{*}\) et tout \(r\in]0;1[\cap\mathbb{Q}\), on a : \[ \frac{r}{(n+1)^{1-r}} \leq (n+1)^r-n^r \leq \frac{r}{n^{1-r}}. \] Lire la réponse + Masquer la réponse − Considérons la fonction : \[ f(x)=x^r. \] Comme \(n\geq1\), la fonction \(f\) est continue sur \([n;n+1]\) et dérivable sur \(]n;n+1[\). Pour tout \(x\in]n;n+1[\) : \[ f'(x)=rx^{r-1}=\frac{r}{x^{1-r}}. \] D’après le théorème des accroissements finis, il existe \(c\in]n;n+1[\) tel que : \[ f(n+1)-f(n)=(n+1-n)f'(c). \] Donc : \[ ...