Correction des exercices 43 à 50 — Théorème des accroissements finis — Al Moufid
Exercice 43
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb{N}^{*}\) et tout \(r\in]0;1[\cap\mathbb{Q}\), on a :
\[ \frac{r}{(n+1)^{1-r}} \leq (n+1)^r-n^r \leq \frac{r}{n^{1-r}}. \]Lire la réponse +
Considérons la fonction :
\[ f(x)=x^r. \]Comme \(n\geq1\), la fonction \(f\) est continue sur \([n;n+1]\) et dérivable sur \(]n;n+1[\). Pour tout \(x\in]n;n+1[\) :
\[ f'(x)=rx^{r-1}=\frac{r}{x^{1-r}}. \]D’après le théorème des accroissements finis, il existe \(c\in]n;n+1[\) tel que :
\[ f(n+1)-f(n)=(n+1-n)f'(c). \]Donc :
\[ (n+1)^r-n^r=\frac{r}{c^{1-r}}. \]Or \(n\lt c\lt n+1\) et \(1-r\gt0\). Ainsi :
\[ n^{1-r}\lt c^{1-r}\lt(n+1)^{1-r}. \]Par passage aux inverses :
\[ \frac{1}{(n+1)^{1-r}} \lt \frac{1}{c^{1-r}} \lt \frac{1}{n^{1-r}}. \]En multipliant par \(r\gt0\), on obtient en particulier l’encadrement demandé :
Exercice 44
En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer les inégalités suivantes.
1)
\[ \forall(x,y)\in\mathbb{R}^2, \qquad |\sin x-\sin y|\leq|x-y|. \]Lire la réponse +
La fonction \(f(t)=\sin t\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), et :
\[ f'(t)=\cos t. \]Pour tout réel \(t\) :
\[ |f'(t)|=|\cos t|\leq1. \]D’après l’inégalité des accroissements finis :
2)
\[ \forall x\in\mathbb{R}_{+}^{*}, \qquad \frac{x}{1+x^2} \lt \operatorname{Arctan}x \lt x. \]Lire la réponse +
Soit \(x\gt0\). La fonction \(f(t)=\operatorname{Arctan}t\) est continue sur \([0;x]\) et dérivable sur \(]0;x[\).
D’après le théorème des accroissements finis, il existe \(c\in]0;x[\) tel que :
\[ \operatorname{Arctan}x-\operatorname{Arctan}0 = x f'(c) = \frac{x}{1+c^2}. \]Comme \(0\lt c\lt x\), on a :
\[ \frac{1}{1+x^2} \lt \frac{1}{1+c^2} \lt 1. \]En multipliant par \(x\gt0\) :
3)
\[ \forall(x,y)\in[0;10]^2, \qquad |x\sin x-y\sin y| \leq 11|x-y|. \]Lire la réponse +
Considérons :
\[ f(t)=t\sin t. \]Pour tout \(t\in[0;10]\) :
\[ f'(t)=\sin t+t\cos t. \]Donc :
\[ |f'(t)| \leq |\sin t|+t|\cos t| \leq 1+10 = 11. \]D’après l’inégalité des accroissements finis :
4)
\[ \forall x\in \left[0;\frac{\pi}{4}\right], \qquad \sin x\geq\frac{\sqrt2}{2}x. \]Lire la réponse +
Pour \(x=0\), l’inégalité est immédiate. Soit \(x\in]0;\frac{\pi}{4}]\).
La fonction sinus est continue sur \([0;x]\) et dérivable sur \(]0;x[\). D’après le théorème des accroissements finis, il existe \(c\in]0;x[\) tel que :
\[ \sin x-\sin0=x\cos c. \]Comme \(0\lt c\lt x\leq\frac{\pi}{4}\), la fonction cosinus étant décroissante sur \([0;\pi]\), on a :
\[ \cos c \geq \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt2}{2}. \]Ainsi :
Exercice 45
1) Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que :
\[ 0\lt a\lt b\lt\frac{\pi}{2}. \]Montrer que :
\[ \frac{b-a}{\cos^2a} \lt \tan b-\tan a \lt \frac{b-a}{\cos^2b}. \]Lire la réponse +
La fonction \(f(x)=\tan x\) est continue sur \([a;b]\) et dérivable sur \(]a;b[\).
D’après le théorème des accroissements finis, il existe \(c\in]a;b[\) tel que :
\[ \tan b-\tan a = (b-a)\frac{1}{\cos^2c}. \]Sur \(]0;\frac{\pi}{2}[\), la fonction \(x\mapsto\frac{1}{\cos^2x}\) est strictement croissante. Comme \(a\lt c\lt b\) :
\[ \frac{1}{\cos^2a} \lt \frac{1}{\cos^2c} \lt \frac{1}{\cos^2b}. \]En multipliant par \(b-a\gt0\) :
2) Soit \(f\) la fonction définie sur \(]-\infty;\frac53]\) par :
\[ f(x)=\sqrt[3]{5-3x}+x-2. \]Montrer que, pour tous \(a,b\in]-1;\frac43[\) :
\[ |f(b)-f(a)| \lt \frac34|b-a|. \]Lire la réponse +
Pour \(x\in]-1;\frac43[\), on a :
\[ 1\lt5-3x\lt8. \]La fonction \(f\) est dérivable sur cet intervalle et :
\[ f'(x) = 1-\frac{1}{\left(\sqrt[3]{5-3x}\right)^2}. \]Comme :
\[ 1\lt\sqrt[3]{5-3x}\lt2, \]on obtient :
\[ \frac14 \lt \frac{1}{\left(\sqrt[3]{5-3x}\right)^2} \lt 1. \]Donc :
\[ 0\lt f'(x)\lt\frac34. \]D’après l’inégalité des accroissements finis :
3) Soit \(g\) la fonction définie par :
\[ g(x)=x\operatorname{Arctan}x. \]Montrer que :
\[ \forall(a,b)\in\mathbb{R}^2, \qquad |g(b)-g(a)|\leq3|b-a|. \]Lire la réponse +
La fonction \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), et :
\[ g'(x) = \operatorname{Arctan}x + \frac{x}{1+x^2}. \]Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) :
\[ |\operatorname{Arctan}x| \lt \frac{\pi}{2} \lt 2. \]D’autre part, puisque \((|x|-1)^2\geq0\), on a \(2|x|\leq1+x^2\), donc :
\[ \left|\frac{x}{1+x^2}\right| \leq \frac12 \lt 1. \]Par conséquent :
\[ |g'(x)|\lt3. \]D’après l’inégalité des accroissements finis :
4) Établir l’inégalité suivante :
\[ \forall(a,b)\in\mathbb{R}^2, \qquad |\operatorname{Arctan}a-\operatorname{Arctan}b| \leq |b-a|. \]Lire la réponse +
La fonction \(h(x)=\operatorname{Arctan}x\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), et :
\[ h'(x)=\frac{1}{1+x^2}. \]Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) :
\[ |h'(x)|\leq1. \]D’après l’inégalité des accroissements finis :
Exercice 46
En utilisant le théorème des accroissements finis, établir les inégalités suivantes :
\[ \frac{\sqrt2}{2} \lt \sin50^\circ \lt \frac{\sqrt2}{2}+\frac{\pi}{36}, \] \[ |\sin80^\circ-1| \leq \frac{\pi}{36}. \]Lire la réponse +
On a :
\[ 45^\circ=\frac{\pi}{4}, \qquad 50^\circ=\frac{5\pi}{18}, \qquad 50^\circ-45^\circ=\frac{\pi}{36}. \]La fonction sinus est continue sur \([\frac{\pi}{4};\frac{5\pi}{18}]\) et dérivable sur l’intervalle ouvert correspondant. D’après le théorème des accroissements finis, il existe :
\[ c\in \left]\frac{\pi}{4};\frac{5\pi}{18}\right[ \]tel que :
\[ \sin50^\circ-\sin45^\circ = \frac{\pi}{36}\cos c. \]Comme \(0\lt\cos c\lt1\) :
\[ 0 \lt \sin50^\circ-\frac{\sqrt2}{2} \lt \frac{\pi}{36}. \]D’autre part :
\[ 80^\circ=\frac{4\pi}{9}, \qquad 90^\circ=\frac{\pi}{2}, \qquad 90^\circ-80^\circ=\frac{\pi}{18}. \]Pour tout \(x\in[\frac{4\pi}{9};\frac{\pi}{2}]\), on a \(0\leq\cos x\leq\cos80^\circ\). Comme \(80^\circ\gt60^\circ\), on a :
\[ \cos80^\circ \lt \cos60^\circ = \frac12. \]D’après l’inégalité des accroissements finis :
\[ |\sin80^\circ-\sin90^\circ| \leq \frac12 \left| \frac{\pi}{2}-\frac{4\pi}{9} \right| = \frac{\pi}{36}. \]Exercice 47
On considère la fonction \(f\) définie par :
\[ f(x)=\sqrt[3]{x}. \]1) Montrer que, pour tout \(x\in[1000;1001]\) :
\[ \frac{1}{3(10{,}1)^2} \leq f'(x) \leq \frac{1}{3\times10^2}. \]Lire la réponse +
Pour tout \(x\in[1000;1001]\) :
\[ f'(x) = \frac{1}{3\left(\sqrt[3]{x}\right)^2}. \]Or :
\[ 10 = \sqrt[3]{1000} \leq \sqrt[3]{x} \leq \sqrt[3]{1001} \lt 10{,}1, \]car :
\[ (10{,}1)^3=1030{,}301\gt1001. \]En élevant au carré, puis en passant aux inverses :
2) En déduire que :
\[ 10{,}0032 \lt \sqrt[3]{1001} \lt 10{,}0034. \]Lire la réponse +
La fonction \(f\) est continue sur \([1000;1001]\) et dérivable sur \(]1000;1001[\).
D’après le théorème des accroissements finis, il existe \(c\in]1000;1001[\) tel que :
\[ \sqrt[3]{1001}-\sqrt[3]{1000} = f'(c)(1001-1000). \]Comme \(\sqrt[3]{1000}=10\), l’encadrement précédent donne :
\[ \frac{1}{3(10{,}1)^2} \leq \sqrt[3]{1001}-10 \leq \frac{1}{300}. \]Or :
\[ \frac{1}{3(10{,}1)^2} \gt 0{,}0032 \qquad\text{et}\qquad \frac{1}{300} \lt 0{,}0034. \]Exercice 48
Soit \(f\) une fonction continue sur \([0;1]\) et dérivable sur \(]0;1[\), telle que :
\[ f(0)=0 \qquad\text{et}\qquad f(1)=1. \]Montrer qu’il existe au moins un réel \(c\in]0;1[\) tel que :
\[ f'(c)=\frac{1}{2\sqrt c}. \]Lire la réponse +
Considérons la fonction :
\[ g(x)=f(x)-\sqrt{x}. \]La fonction \(g\) est continue sur \([0;1]\) et dérivable sur \(]0;1[\). De plus :
\[ g(0)=f(0)-0=0 \] \[ g(1)=f(1)-1=0. \]D’après le théorème de Rolle, il existe \(c\in]0;1[\) tel que :
\[ g'(c)=0. \]Or :
\[ g'(x) = f'(x)-\frac{1}{2\sqrt{x}}. \]Donc :
Exercice 49
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) par :
\[ f(t)=\sqrt t. \]1-a) Soit \(x\) un réel strictement positif. Montrer que, pour tout \(t\in[x;x+1]\) :
\[ \frac{1}{2\sqrt{x+1}} \leq f'(t) \leq \frac{1}{2\sqrt{x}}. \]Lire la réponse +
Pour tout \(t\in[x;x+1]\) :
\[ f'(t)=\frac{1}{2\sqrt t}. \]Comme \(x\leq t\leq x+1\), on a :
\[ \sqrt x\leq\sqrt t\leq\sqrt{x+1}. \]En passant aux inverses :
1-b) En déduire que, pour tout \(x\in\mathbb{R}_{+}^{*}\) :
\[ \frac{1}{2\sqrt{x+1}} \leq \sqrt{x+1}-\sqrt x \leq \frac{1}{2\sqrt x}. \]Lire la réponse +
La fonction \(f\) est continue sur \([x;x+1]\) et dérivable sur \(]x;x+1[\).
D’après le théorème des accroissements finis, il existe \(c\in]x;x+1[\) tel que :
\[ \sqrt{x+1}-\sqrt x = f'(c)(x+1-x) = f'(c). \]En appliquant l’encadrement de la question précédente à \(t=c\) :
2) On considère la suite numérique \((u_n)_{n\geq1}\) définie par :
\[ u_n = 1+\frac{1}{\sqrt2} +\frac{1}{\sqrt3} +\cdots +\frac{1}{\sqrt n}. \]Montrer que la suite \((u_n)\) est divergente.
Lire la réponse +
D’après la question précédente, pour tout entier \(k\geq1\) :
\[ \sqrt{k+1}-\sqrt k \leq \frac{1}{2\sqrt k}. \]Donc :
\[ \frac{1}{\sqrt k} \geq 2(\sqrt{k+1}-\sqrt k). \]En sommant de \(k=1\) à \(k=n\), on obtient :
\[ u_n = \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt k} \geq 2\sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+1}-\sqrt k). \]La somme du membre de droite est télescopique :
\[ u_n \geq 2(\sqrt{n+1}-1). \]Or :
\[ \lim_{n\to+\infty} 2(\sqrt{n+1}-1) = +\infty. \]Exercice 50
Soit \(f\) une fonction continue sur un segment \([a;b]\) et dérivable sur \([a;b[\), telle que :
\[ f(b)=0 \qquad\text{et}\qquad f'_d(a)=0. \]On travaille donc avec les conditions corrigées :
\[ f(a)=f(b)=0 \qquad\text{et}\qquad f'_d(a)=0. \]On considère la fonction \(g\) définie sur \([a;b]\) par :
\[ g(x)=\frac{f(x)}{x-a} \quad\text{si }x\neq a, \qquad g(a)=0. \]Montrer qu’il existe \(c\in]a;b[\) tel que :
\[ \frac{f(c)}{c-a}=f'(c). \]Lire la réponse +
Pour \(x\neq a\) :
\[ g(x)=\frac{f(x)}{x-a}. \]Comme \(f(a)=0\), on peut écrire :
\[ g(x) = \frac{f(x)-f(a)}{x-a}. \]Ainsi :
\[ \lim_{x\to a^+}g(x) = f'_d(a) = 0 = g(a). \]La fonction \(g\) est donc continue en \(a\). Elle est également continue sur \(]a;b]\), donc continue sur \([a;b]\).
Pour tout \(x\in]a;b[\), la fonction \(g\) est dérivable et :
\[ g'(x) = \frac{f'(x)(x-a)-f(x)} {(x-a)^2}. \]De plus :
\[ g(a)=0 \]et, puisque \(f(b)=0\) :
\[ g(b)=\frac{f(b)}{b-a}=0. \]Les conditions du théorème de Rolle sont donc vérifiées pour \(g\) sur \([a;b]\). Il existe alors \(c\in]a;b[\) tel que :
\[ g'(c)=0. \]Par conséquent :
\[ \frac{f'(c)(c-a)-f(c)} {(c-a)^2} = 0. \]Comme \(c\neq a\) :
\[ f'(c)(c-a)-f(c)=0. \]Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt
Travail personnel destiné à l’accompagnement des élèves de 2e Bac Sciences Mathématiques.
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