Parcours Maths Maroc

Correction des exercices 13 à 14 — Suites composées et somme télescopique Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques Menu des exercices Exercice 13 Exercice 14 Exercice 13 Énoncé : Déterminer la limite de chacune des suites suivantes : \[ a_n=\sqrt{\frac{3n-4}{2n+1}}, \qquad b_n=n^2\sin\left(\frac1n\right), \qquad c_n=\sqrt{3^n-2^n}, \] \[ u_n=\cos\left(\frac{n\pi-3}{2n+1}\right), \] \[ v_n= 4^n\left( 1-\cos\left(\left(-\frac12\right)^n\right) \right), \] \[ w_n= \pi 2^{n-1} - 2^n\operatorname{Arctan}(2^n), \] \[ x_n= \sqrt[3]{ \left| \frac{-2n+1}{n+1} \right| }. \] 1. Limite de la suite \((a_n)\) Lire la réponse + Masquer la réponse − Remarque sur le domaine de \(a_n\) : Pour que \(a_n\) soit définie dans \(\mathbb R\), il faut : \[ \frac{3n-4}{2n+1}\ge0. \] Pour \(n\in\mathbb N\), cette condi...

Correction du devoir 5 — Problèmes de synthèse — Dérivation — Al Moufid Menu du devoir 1. Limite symétrique 2. Dérivabilité de g 3. Fonction partie entière Prolongement 1) Limite symétrique et dérivabilité Soit \(f\) une fonction dérivable en un point \(x_0\). a) Montrer que : \[ \lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}=f'(x_0). \] b) Réciproquement, si la limite précédente existe, peut-on dire que \(f\) est dérivable en \(x_0\) ? a) Montrer la limite Lire la réponse + Masquer la réponse − On écrit : \[ f(x_0+h)-f(x_0-h) = \bigl(f(x_0+h)-f(x_0)\bigr) + \bigl(f(x_0)-f(x_0-h)\bigr). \] Donc, pour \(h\neq0\) : \[ \frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h} = \frac12 \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} + \frac12 \frac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h}. \] Dans le deuxième quotient, on pose \(u=-h\). Lorsque \(h\to0\), on a aussi \(u\to0\), et : \[ \frac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h} = \frac{f(x_0)-f(x_0+u)}{-u} = \frac{f(x_0+u)-f(x_0)}{u}. \] Comme \(f\) est dérivable en \...

Correction de l’exercice 75 — Étude de fonctions, inégalité des accroissements finis et suite de fonctions — Al Moufid Menu des parties 1. Étude de h 2. Étude de f 3. Accroissements finis 4. Suite uₙ(x) 5. Fonction limite C 1) Étude de la fonction \(h\) On considère la fonction \(h\) définie sur \(\mathbb{R}_+^{\ast}\) par : \[ h(x)=\frac1x-2\operatorname{Arctan}x. \] Montrer que l’équation \(h(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\) dans \(\mathbb{R}_+^{\ast}\), avec : \[ \frac{\sqrt3}{3}\lt\alpha\lt1. \] Puis étudier le signe de \(h(x)\) sur \(\mathbb{R}_+^{\ast}\). 1-a) Existence et unicité de \(\alpha\) Lire la réponse + Masquer la réponse − La fonction \(h\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+^{\ast}\), car les fonctions \(x\mapsto\dfrac1x\) et \(x\mapsto\operatorname{Arctan}x\) sont dérivables sur cet intervalle. Pour tout \(x\gt0\), on a : \[ h'(x)=-\frac1{x^2}-\frac2{1+x^2}. \] Les deux termes du membre de droit...

Correction détaillée des exercices 57 à 61 Exercices de perfectionnement — Continuité, limites et partie entière — Manuel Al Moufid Présentation : Chaque question est rappelée intégralement avant sa correction. Les méthodes utilisées restent conformes au programme de 2e Bac Sciences Mathématiques : limites usuelles, factorisation, encadrement, continuité et théorème des valeurs intermédiaires. Organisation : Chercher d’abord la question, puis ouvrir uniquement la correction correspondante. Aucun développement limité et aucune règle de l’Hôpital ne sont utilisés. Menu des exercices Exercice 57 Exercice 58 Exercice 59 Exercice 60 Exercice 61 Exercice 57 Menu des questions — Exercice 57 Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Méthodes — Exercice 57 : utiliser les identités \(x^k-1=(x-1)(1+x+\cdots+x^{k-1})\), \(1-a_1\cdots a_n=(1-a_1)+a_1(1-a_2)+\cdots\), ainsi que les limites usuelles \(\displaystyle\frac{\sin u}{u}\to1\) et ...