Correction des exercices 13 à 14 — Suites numériques — Manuel Al Moufid

Correction des exercices 13 à 14 — Suites numériques

Manuel Al Moufid · 2e Bac Sciences Mathématiques

13 14

Ces deux exercices mobilisent plusieurs techniques importantes pour l’étude des limites de suites. Dans l’exercice 13, les expressions proposées ne se traitent pas toutes de la même manière : certaines demandent une mise sous forme adaptée, d’autres utilisent la continuité d’une fonction, une limite usuelle ou une identité trigonométrique. L’objectif est donc de reconnaître la structure de chaque suite avant d’effectuer le calcul. L’exercice 14 exploite ensuite la fonction Arctan dans une démarche différente : on démontre d’abord une identité à l’aide de la tangente d’une différence, puis cette identité transforme une somme en somme télescopique. À chaque étape, il faut vérifier les conditions d’application des propriétés utilisées afin que le passage à la limite ou la simplification obtenue soit rigoureusement justifié.

Exercice 13

Données de l’exercice.

Déterminer la limite de chacune des suites suivantes :

\[ a_n=\sqrt{\frac{3n-4}{2n+1}},; \qquad b_n=n^2\sin\left(\frac1n\right),; \qquad c_n=\sqrt{3^n-2^n} \] \[ u_n=\cos\left(\frac{n\pi-3}{2n+1}\right),; \qquad v_n=4^n\left(1-\cos\left(\left(-\frac12\right)^n\right)\right) \] \[ w_n=\pi2^{n-1}-2^n\operatorname{Arctan}(2^n),; \qquad x_n=\sqrt[3]{\left|\frac{-2n+1}{n+1}\right|}. \]

Repère de cours — reconnaître la forme avant de calculer

Pour une suite obtenue en composant une expression avec une fonction continue, on commence par déterminer la limite de l’expression intérieure. Si cette limite appartient au domaine où la fonction est continue, on peut alors passer à la limite par composition.

Les calculs ci-dessous utilisent également plusieurs outils déjà rencontrés au lycée : les opérations sur les limites, les limites des suites géométriques, la limite usuelle du quotient trigonométrique et des identités permettant de transformer exactement certaines expressions. L’important est de faire apparaître l’outil adapté avant de conclure.

1. Limite de la suite \((a_n)\)

Méthode. La racine carrée porte sur un quotient de deux expressions affines en \(n\). On commence donc par déterminer la limite de ce quotient en divisant son numérateur et son dénominateur par \(n\). Il faut également vérifier que la suite est bien définie à partir d’un certain rang. Une fois la limite intérieure obtenue et positive, la continuité de la fonction racine carrée permet de conclure.

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Précision sur le domaine. Pour que (a_n) soit définie dans \(\mathbb R\), il faut \(\frac{3n-4}{2n+1}\ge0\). Pour \(n\in\mathbb N\), cette condition est vérifiée à partir de \(n=2\). La suppression d’un nombre fini de termes ne change pas la limite d’une suite.

On divise le numérateur et le dénominateur par \(n\) :

\[ \frac{3n-4}{2n+1}=\frac{3-\frac4n}{2+\frac1n}. \]

Lorsque \(n\to+\infty\), on a \(3-\frac4n\to3\) et \(2+\frac1n\to2\). Comme la limite du dénominateur est non nulle :

\[ \frac{3n-4}{2n+1}\longrightarrow\frac32. \]

La fonction \(t\mapsto\sqrt t\) est continue sur \([0,+\infty[\). Par conséquent :

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}a_n=\sqrt{\frac32}.} \]

Interprétation. L’expression placée sous la racine se stabilise vers le réel positif \(\frac32\). La continuité de la racine carrée permet donc de transmettre directement cette limite à la suite \((a_n)\).

2. Limite de la suite \((b_n)\)

Méthode. L’expression contient \(\sin\left(\frac1n\right)\) avec \(\frac1n\to0\). Il faut donc faire apparaître le quotient usuel \(\frac{\sin t}{t}\). La transformation utilisée dans la correction est exacte : elle isole un facteur qui tend vers \(1\), tandis que l’autre facteur tend vers \(+\infty\).

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Précision sur l’indice. À cause du terme \(\frac1n\), la suite \((b_n)\) est considérée pour \(n\ge1\).

Afin d’utiliser la limite usuelle \(\frac{\sin t}{t}\to1\) lorsque \(t\to0\), on écrit :

\[ b_n=n\,\frac{\sin\left(\frac1n\right)}{\frac1n}. \]

Or \(\frac1n\to0\), donc :

\[ \frac{\sin\left(\frac1n\right)}{\frac1n}\longrightarrow1. \]

Comme \(n\to+\infty\), on en déduit par produit :

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}b_n=+\infty.} \]

Interprétation. Le quotient trigonométrique tend vers \(1\) et ne modifie donc pas le comportement dominant du facteur \(n\). La suite possède ainsi le même comportement asymptotique que \(n\) pour la détermination de sa limite : elle tend vers \(+\infty\).

3. Limite de la suite \((c_n)\)

Méthode. Les deux puissances \(3^n\) et \(2^n\) sont placées sous une racine. La correction factorise par la puissance dominante \(3^n\). Cette transformation fait apparaître la suite géométrique \(\left(\frac23\right)^n\), dont la raison appartient à \(]0,1[\). On peut alors étudier séparément les deux facteurs obtenus.

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On factorise l’expression sous la racine par \(3^n\) :

\[ 3^n-2^n=3^n\left(1-\left(\frac23\right)^n\right). \]

Les facteurs sont positifs pour \(n\ge1\), donc :

\[ c_n=3^{\frac n2}\sqrt{1-\left(\frac23\right)^n}. \]

Or \(3^{\frac n2}\to+\infty\) et, puisque \(0\lt\frac23\lt1\),

\[ \left(\frac23\right)^n\to0 \qquad\text{et}\qquad \sqrt{1-\left(\frac23\right)^n}\to1. \]

Par produit :

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}c_n=+\infty.} \]

Interprétation. Après factorisation, le second facteur tend vers \(1\), tandis que \(3^{n/2}\) devient arbitrairement grand. C’est donc ce facteur exponentiel qui détermine le comportement de la suite et entraîne la limite \(+\infty\).

4. Limite de la suite \((u_n)\)

Méthode. La suite est de la forme \(\cos(y_n)\). Il faut d’abord déterminer la limite de l’argument \(y_n=\frac{n\pi-3}{2n+1}\). Comme il s’agit d’un quotient d’expressions affines en \(n\), on divise par \(n\). La fonction cosinus étant continue sur \(\mathbb R\), la limite de l’argument pourra ensuite être introduite dans le cosinus.

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On divise le numérateur et le dénominateur de l’argument par \(n\) :

\[ \frac{n\pi-3}{2n+1} =\frac{\pi-\frac3n}{2+\frac1n} \longrightarrow\frac\pi2. \]

La fonction cosinus est continue sur \(\mathbb R\). Par conséquent :

\[ \lim_{n\to+\infty}u_n=\cos\left(\frac\pi2\right). \]

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=0.} \]

Interprétation. L’argument du cosinus se rapproche de \(\frac\pi2\). La continuité du cosinus permet donc de remplacer, pour le calcul de la limite, l’argument par sa limite. On retrouve alors \(\cos\left(\frac\pi2\right)=0\).

5. Limite de la suite \((v_n)\)

Méthode. Le produit \(4^n(1-\cos t_n)\) présente une forme qui ne permet pas de conclure directement. L’identité \(1-\cos t=2\sin^2\left(\frac t2\right)\) transforme exactement le terme trigonométrique et permet de faire apparaître le quotient \(\frac{\sin y}{y}\). La suite auxiliaire \(t_n\) tend vers \(0\) puisque sa raison a une valeur absolue strictement inférieure à \(1\).

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Posons :

\[ t_n=\left(-\frac12\right)^n. \]

Puisque \(\left|-\frac12\right|\lt1\), on a \(t_n\to0\). L’identité \(1-\cos t=2\sin^2\left(\frac t2\right)\) donne :

\[ v_n=2\cdot4^n\sin^2\left(\frac{t_n}{2}\right). \]

On fait apparaître la limite usuelle du sinus :

\[ \begin{aligned} v_n &=2\cdot4^n\left(\frac{t_n}{2}\right)^2 \left(\frac{\sin\left(\frac{t_n}{2}\right)}{\frac{t_n}{2}}\right)^2\\ &=\frac{4^nt_n^2}{2} \left(\frac{\sin\left(\frac{t_n}{2}\right)}{\frac{t_n}{2}}\right)^2. \end{aligned} \]

Or :

\[ t_n^2=\left(\frac14\right)^n \qquad\text{donc}\qquad 4^nt_n^2=1. \]

Ainsi :

\[ v_n=\frac12 \left(\frac{\sin\left(\frac{t_n}{2}\right)}{\frac{t_n}{2}}\right)^2. \]

Comme \(\frac{t_n}{2}\to0\), le quotient tend vers \(1\). Par conséquent :

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}v_n=\frac12.} \]

Interprétation. L’identité trigonométrique fait disparaître l’apparente difficulté créée par le produit entre \(4^n\) et \(1-\cos(t_n)\). Les puissances se compensent exactement puisque \(4^nt_n^2=1\), et il ne reste qu’un quotient trigonométrique dont la limite vaut \(1\).

6. Limite de la suite \((w_n)\)

Méthode. La différence \(\frac\pi2-\operatorname{Arctan}(2^n)\) tend vers \(0\), alors que \(2^n\) tend vers \(+\infty\). La correction évite de traiter directement ce produit en utilisant l’identité valable pour \(t\gt0\) reliant \(\operatorname{Arctan}(t)\) et \(\operatorname{Arctan}\left(\frac1t\right)\). On fait ainsi apparaître un quotient en un argument qui tend vers \(0\).

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Comme \(\pi2^{n-1}=2^n\frac\pi2\), on factorise par \(2^n\) :

\[ w_n=2^n\left(\frac\pi2-\operatorname{Arctan}(2^n)\right). \]

Pour tout \(t\gt0\), on a :

\[ \operatorname{Arctan}(t) +\operatorname{Arctan}\left(\frac1t\right) =\frac\pi2. \]

Comme \(2^n\gt0\), il vient :

\[ w_n=2^n\operatorname{Arctan}\left(\frac1{2^n}\right) =\frac{\operatorname{Arctan}\left(\frac1{2^n}\right)}{\frac1{2^n}}. \]

Or \(\frac1{2^n}\to0\) et \(\frac{\operatorname{Arctan}(t)}t\to1\) lorsque \(t\to0\). Par conséquent :

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}w_n=1.} \]

Interprétation. La transformation remplace le produit initial par un quotient évalué au voisinage de \(0\). La limite de ce quotient vaut \(1\), ce qui donne directement la limite de \((w_n)\) sans introduire de méthode extérieure au cadre du lycée.

7. Limite de la suite \((x_n)\)

Méthode. La racine cubique est appliquée à la valeur absolue d’un quotient. On commence donc par calculer la limite du quotient en divisant par \(n\). On utilise ensuite successivement la continuité de la valeur absolue puis celle de la fonction racine cubique.

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On divise le numérateur et le dénominateur par \(n\) :

\[ \frac{-2n+1}{n+1} =\frac{-2+\frac1n}{1+\frac1n} \longrightarrow-2. \]

La fonction valeur absolue est continue sur \(\mathbb R\), donc :

\[ \left|\frac{-2n+1}{n+1}\right| \longrightarrow|-2|=2. \]

La fonction \(t\mapsto\sqrt[3]t\) est continue sur \(\mathbb R\). Par conséquent :

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}x_n=\sqrt[3]{2}.} \]

Interprétation. Le quotient intérieur tend vers \(-2\), mais la valeur absolue transforme cette limite en \(2\). La dernière composition par la racine cubique conduit donc à la limite \(\sqrt[3]{2}\).

Exercice 14

Repère de cours — Arctan et somme télescopique

Pour démontrer une égalité entre deux angles à l’aide de leur tangente, l’égalité des tangentes ne suffit pas à elle seule : il faut également placer les deux angles dans un intervalle sur lequel la fonction tangente est injective. C’est précisément le rôle des encadrements établis dans la première question.

La seconde partie utilise ensuite une somme télescopique. Lorsqu’un terme \(u_k\) s’écrit sous la forme \(A_k-A_{k+1}\), les termes intermédiaires se compensent dans la somme \(u_1+u_2+\cdots+u_n\). Il reste alors uniquement le premier terme et le dernier terme non simplifié.

1. Démonstration de l’identité

Montrer que pour tout \(x\in]0,+\infty[\) :

\[ \operatorname{Arctan}\left(\frac1{1+x+x^2}\right) =\operatorname{Arctan}\left(\frac1x\right) -\operatorname{Arctan}\left(\frac1{1+x}\right). \]

Méthode. On introduit les deux angles qui apparaissent dans le membre de droite. Comme \(x\gt0\), leurs arguments sont positifs et ordonnés. La croissance de la fonction Arctan permet alors de situer leur différence dans \(]0,\frac\pi2[\). On calcule ensuite la tangente de cette différence. L’encadrement des angles permettra finalement d’utiliser l’injectivité de la tangente sans ambiguïté.

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Soit \(x\in]0,+\infty[\). Posons :

\[ \alpha=\operatorname{Arctan}\left(\frac1x\right) \qquad\text{et}\qquad \beta=\operatorname{Arctan}\left(\frac1{1+x}\right). \]

Comme \(x\gt0\), on a :

\[ 0\lt\frac1{1+x}\lt\frac1x. \]

La fonction \(\operatorname{Arctan}\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\), donc :

\[ 0\lt\beta\lt\alpha\lt\frac\pi2 \qquad\text{et par conséquent}\qquad 0\lt\alpha-\beta\lt\frac\pi2. \]

Calculons la tangente de la différence :

\[ \begin{aligned} \tan(\alpha-\beta) &=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\\ &=\frac{\frac1x-\frac1{1+x}}{1+\frac1{x(1+x)}}\\ &=\frac{\frac1{x(1+x)}}{\frac{x(1+x)+1}{x(1+x)}}\\ &=\frac1{x(1+x)+1}\\ &=\frac1{1+x+x^2}. \end{aligned} \]

Les deux angles \(\alpha-\beta\) et \(\operatorname{Arctan}\left(\frac1{1+x+x^2}\right)\) appartiennent à \(]0,\frac\pi2[\). La fonction tangente étant injective sur \(]-\frac\pi2,\frac\pi2[\), ils sont égaux.

\[ \boxed{ \operatorname{Arctan}\left(\frac1{1+x+x^2}\right) =\operatorname{Arctan}\left(\frac1x\right) -\operatorname{Arctan}\left(\frac1{1+x}\right) }. \]

Interprétation. L’identité obtenue est importante pour la suite de l’exercice : elle transforme une expression contenant \(1+x+x^2\) en une différence de deux termes consécutifs de même nature. C’est exactement cette structure qui permettra l’apparition d’une somme télescopique lorsque \(x\) sera remplacé par un entier \(k\).

Données pour la question 2.

Posons pour tout \(n\in\mathbb N^*\) :

\[ u_n=\operatorname{Arctan}\left(\frac1{1+n+n^2}\right) \qquad\text{et}\qquad S_n=\sum_{k=1}^{n}u_k. \]

2.a) Limite de la suite \((u_n)\)

Calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n\).

Méthode. La suite est une composition par la fonction Arctan. On commence donc par étudier l’expression intérieure \(\frac1{1+n+n^2}\). Son dénominateur tend vers \(+\infty\), donc cette fraction tend vers \(0\). La fonction Arctan étant continue en \(0\), on peut ensuite passer à la limite.

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On a :

\[ u_n=\operatorname{Arctan}\left(\frac1{1+n+n^2}\right). \]

Comme \(1+n+n^2\to+\infty\), on obtient :

\[ \frac1{1+n+n^2}\longrightarrow0. \]

La fonction \(\operatorname{Arctan}\) est continue en \(0\). Donc :

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=\operatorname{Arctan}(0)=0.} \]

Interprétation. L’argument de la fonction Arctan devient de plus en plus petit et tend vers \(0\). La continuité de la fonction en ce point transmet directement cette limite à la suite \((u_n)\).

2.b) Expression et limite de \(S_n\)

Exprimer \(S_n\) en fonction de \(n\). Préciser \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}S_n\).

Méthode. La première question a précisément été conçue pour transformer chaque terme \(u_k\). On applique donc l’identité démontrée avec \(x=k\). Le terme \(u_k\) devient alors la différence de deux termes consécutifs. En développant la somme, les termes intermédiaires se simplifient deux à deux : on obtient une somme télescopique. Il restera ensuite à calculer la limite du dernier terme.

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Pour tout entier \(k\ge1\), l’identité démontrée à la première question, appliquée à \(x=k\), donne :

\[ u_k=\operatorname{Arctan}\left(\frac1k\right) -\operatorname{Arctan}\left(\frac1{k+1}\right). \]

Donc :

\[ S_n=\sum_{k=1}^{n} \left[\operatorname{Arctan}\left(\frac1k\right) -\operatorname{Arctan}\left(\frac1{k+1}\right)\right]. \]

En développant les premiers et les derniers termes :

\[ \begin{aligned} S_n &=\left[\operatorname{Arctan}(1)-\operatorname{Arctan}\left(\frac12\right)\right]\\ &\quad+\left[\operatorname{Arctan}\left(\frac12\right)-\operatorname{Arctan}\left(\frac13\right)\right]\\ &\quad+\cdots\\ &\quad+\left[\operatorname{Arctan}\left(\frac1n\right)-\operatorname{Arctan}\left(\frac1{n+1}\right)\right]. \end{aligned} \]

Tous les termes intermédiaires se simplifient. La somme est télescopique :

\[ S_n=\operatorname{Arctan}(1) -\operatorname{Arctan}\left(\frac1{n+1}\right). \]

Comme \(\operatorname{Arctan}(1)=\frac\pi4\), on obtient :

\[ S_n=\frac\pi4-\operatorname{Arctan}\left(\frac1{n+1}\right). \]

Enfin, \(\frac1{n+1}\to0\) et, par continuité de \(\operatorname{Arctan}\) en \(0\), \(\operatorname{Arctan}\left(\frac1{n+1}\right)\to0\).

\[ \boxed{S_n=\frac\pi4-\operatorname{Arctan}\left(\frac1{n+1}\right)} \] \[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}S_n=\frac\pi4.} \]

Interprétation. L’identité de la première question révèle la structure cachée de la somme : chaque terme négatif est compensé par le terme positif suivant. Il ne subsiste donc que le premier terme, \(\operatorname{Arctan}(1)=\frac\pi4\), et un dernier terme qui tend vers \(0\). La somme \(S_n\) se rapproche ainsi de \(\frac\pi4\).

À retenir

• Pour une suite composée, déterminer d’abord la limite de l’expression intérieure, puis vérifier que la fonction extérieure est continue au point obtenu.
• Une limite usuelle ne doit pas être invoquée sur une expression qui ne possède pas encore la forme correspondante : il faut d’abord effectuer une transformation exacte.
• Lorsque des puissances de bases différentes interviennent, une factorisation adaptée peut faire apparaître une suite géométrique dont la limite est connue.
• Pour une identité utilisant Arctan et la tangente, le contrôle de l’intervalle des angles est indispensable avant d’utiliser l’injectivité de la tangente.
• Dans une somme télescopique, il est utile d’écrire explicitement les premiers termes et le dernier terme afin de voir les simplifications et d’éviter une erreur d’indice.

Conclusion générale.

Ces deux exercices montrent que le calcul d’une limite de suite commence par l’identification de sa forme. Une expression composée conduit à étudier d’abord l’expression intérieure puis à utiliser la continuité ; une puissance géométrique demande de contrôler sa raison ; une expression trigonométrique peut nécessiter une identité exacte afin de faire apparaître une limite usuelle.

L’exercice 14 ajoute une idée structurante : une identité bien démontrée peut transformer une somme apparemment complexe en somme télescopique. Les termes intermédiaires disparaissent alors et la limite se déduit du terme restant. La rigueur repose dans tous les cas sur la même démarche : reconnaître l’outil, vérifier ses conditions, effectuer le calcul puis interpréter le résultat.

Ressources liées

• Suites numériques — Al Moufid
• Correction de l’exercice 12
• Exercices résolus — Al Moufid

Correction rédigée par Professeur Hammou Boudraa — Parcours Maths Maroc (PMM)
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt

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