Parcours Maths Maroc

Correction du Devoir 1 — Problèmes de synthèse sur les suites numériques Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques Menu du devoir 1 Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Question 5 Question 6 Question 7 Question 1 — Sommes contenant des puissances de \(x\) Rappel de la question : Pour \(x\in]0;1[\), calculer : \[ \lim_{n\to+\infty}\sum_{k=0}^{n}x^k \] et : \[ \lim_{n\to+\infty}\sum_{k=0}^{n}kx^k. \] Lire la réponse + Masquer la réponse − 1. Première limite Posons : \[ S_n=\sum_{k=0}^{n}x^k. \] Comme \(x\ne1\), la somme géométrique donne : \[ S_n = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}. \] Or : \[ 0\lt x\lt1. \] Donc : \[ x^{n+1}\longrightarrow0. \] Par conséquent : \[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty} \sum_{k=0}^{n}x^k = \frac1{1-x}. } \] 2. Deuxième limite Posons : \[ T_n=\sum_{k=0}^{n}kx^k. \] ...

Correction des exercices 01 à 03 — Limites de suites numériques Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques — Suites numériques Menu des exercices Exercice 01 Exercice 02 Exercice 03 Exercice 01 On considère les suites \((u_n)\), \((v_n)\) et \((w_n)\) définies par : \[ u_n=\frac{1}{\sqrt{n+2}},\qquad v_n=\frac{3n+1}{n-1},\qquad w_n=n\sqrt n. \] On doit montrer, en utilisant la définition, que : \[ \lim_{n\to+\infty}u_n=0,\qquad \lim_{n\to+\infty}v_n=3,\qquad \lim_{n\to+\infty}w_n=+\infty. \] 1. Limite de \(u_n\) Lire la réponse + Masquer la réponse − On a : \[ u_n=\frac{1}{\sqrt{n+2}}. \] Pour montrer que \(u_n\) tend vers \(0\), on utilise la définition. Soit \(\varepsilon\gt0\). On cherche un rang \(N\) tel que, pour tout \(n\ge N\), on ait : \[ |u_n-0|\lt \varepsilon. \] Or : \[ |u_n-0|=\frac{1}{\sqrt{n+2}}. \] Il suffit donc d’avoir : \[ ...