Correction des exercices 01 à 03 — Suites numériques Manuel Al Moufid · 2e Bac Sciences Mathématiques

Correction des exercices 01 à 03 — Suites numériques

Manuel Al Moufid · 2e Bac Sciences Mathématiques

01 02 03

Ces trois exercices permettent de mettre en place plusieurs méthodes fondamentales du chapitre des suites numériques. Le premier exercice demande de revenir directement aux définitions d’une limite finie et d’une limite infinie : l’élève doit comprendre comment une affirmation portant sur une limite se traduit par une condition vérifiée à partir d’un certain rang. Le deuxième exercice développe les techniques de calcul des limites lorsque l’expression doit d’abord être transformée : factorisation, simplification ou utilisation d’une identité algébrique. Enfin, le troisième exercice s’appuie principalement sur les limites des suites géométriques et sur la comparaison de différentes puissances. Dans chaque question, la priorité est donc de reconnaître la forme de la suite, d’identifier la règle du cours applicable, puis d’effectuer le calcul correspondant.

Exercice 01

Données de l’exercice.

On considère les suites \((u_n)\), \((v_n)\) et \((w_n)\) définies par :

\[ \begin{aligned} u_n&=\frac{1}{\sqrt{n+2}},\\ v_n&=\frac{3n+1}{n-1},\\ w_n&=n\sqrt n. \end{aligned} \]

Repère de cours — Définition de la limite d’une suite

Pour montrer qu’une suite converge vers un réel \(\ell\), on doit pouvoir rendre \(|u_n-\ell|\) aussi petit que l’on veut à partir d’un certain rang. Autrement dit, pour tout \(\varepsilon\gt0\), on cherche un entier \(N\) tel que \(n\ge N\) entraîne \(|u_n-\ell|\lt\varepsilon\).

Pour une limite égale à \(+\infty\), on fixe au contraire un réel \(A\gt0\) et on cherche un rang à partir duquel tous les termes vérifient \(u_n\gt A\).

Question 1

Montrer, en utilisant la définition, que :

\[ \lim_{n\to+\infty}u_n=0. \]

Méthode. On doit ici appliquer directement la définition d’une limite finie. On fixe donc \(\varepsilon\gt0\), puis on transforme \(|u_n-0|\lt\varepsilon\) afin d’obtenir une condition suffisante portant uniquement sur \(n\).

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On a :

\[ u_n=\frac{1}{\sqrt{n+2}}. \]

Pour montrer que \(u_n\) tend vers \(0\), on utilise la définition. Soit \(\varepsilon\gt0\). On cherche un rang \(N\) tel que, pour tout \(n\ge N\), on ait :

\[ |u_n-0|\lt \varepsilon. \]

Or :

\[ |u_n-0|=\frac{1}{\sqrt{n+2}}. \]

Il suffit donc d’avoir :

\[ \frac{1}{\sqrt{n+2}}\lt \varepsilon. \]

Comme les deux membres sont strictement positifs, cette inégalité équivaut à :

\[ \sqrt{n+2}\gt \frac{1}{\varepsilon}. \]

Donc :

\[ n+2\gt \frac{1}{\varepsilon^2}. \]

Il suffit de choisir un entier naturel \(N\) tel que :

\[ N\gt \frac{1}{\varepsilon^2}-2. \]

Alors, pour tout \(n\ge N\), on a :

\[ |u_n-0|\lt \varepsilon. \]

Donc :

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=0.} \]

La condition exigée par la définition est vérifiée pour tout \(\varepsilon\gt0\). Les termes de la suite peuvent donc être rendus aussi proches de \(0\) que l’on veut à partir d’un rang suffisamment grand.

Question 2

Montrer, en utilisant la définition, que :

\[ \lim_{n\to+\infty}v_n=3. \]

Méthode. La limite annoncée est \(3\). Pour appliquer la définition, on étudie donc directement la distance entre \(v_n\) et \(3\), c’est-à-dire \(|v_n-3|\), puis on cherche un rang garantissant que cette distance est inférieure à \(\varepsilon\).

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On a :

\[ v_n=\frac{3n+1}{n-1}. \]

Pour comparer \(v_n\) à \(3\), on calcule :

\[ v_n-3=\frac{3n+1}{n-1}-3 =\frac{3n+1-3n+3}{n-1} =\frac{4}{n-1}. \]

Donc, pour \(n\gt1\) :

\[ |v_n-3|=\frac{4}{n-1}. \]

Soit \(\varepsilon\gt0\). Il suffit de choisir un entier naturel \(N\) tel que :

\[ N\gt 1+\frac{4}{\varepsilon}. \]

Alors, pour tout \(n\ge N\), on a :

\[ |v_n-3|=\frac{4}{n-1}\lt \varepsilon. \]

Donc :

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}v_n=3.} \]

À partir d’un rang suffisamment grand, la distance entre \(v_n\) et \(3\) devient aussi petite que l’on veut. C’est exactement la définition de la convergence de \((v_n)\) vers \(3\).

Question 3

Montrer, en utilisant la définition, que :

\[ \lim_{n\to+\infty}w_n=+\infty. \]

Méthode. Pour une limite égale à \(+\infty\), on ne travaille plus avec \(\varepsilon\). On fixe un seuil \(A\gt0\) et on cherche un rang à partir duquel tous les termes de la suite dépassent ce seuil.

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On a :

\[ w_n=n\sqrt n=n^{\frac32}. \]

Pour montrer que \(w_n\) tend vers \(+\infty\), on utilise la définition. Soit \(A\gt0\). On cherche un rang \(N\) tel que, pour tout \(n\ge N\), on ait :

\[ w_n\gt A. \]

Comme :

\[ w_n=n^{\frac32}, \]

il suffit d’avoir :

\[ n^{\frac32}\gt A. \]

Cela est réalisé dès que :

\[ n\gt A^{\frac23}. \]

On choisit donc un entier naturel \(N\) tel que :

\[ N\gt A^{\frac23}. \]

Alors, pour tout \(n\ge N\), on a :

\[ w_n=n^{\frac32}\gt A. \]

Donc :

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}w_n=+\infty.} \]

Quel que soit le nombre positif \(A\) choisi, tous les termes de la suite dépassent finalement \(A\). La suite diverge donc bien vers \(+\infty\).

Exercice 02

Repère de cours — Calcul d’une limite après transformation

Lorsque les opérations usuelles permettent de conclure directement, on applique les règles sur les limites des sommes, produits et quotients. En présence d’une forme indéterminée, il faut d’abord transformer l’expression : factoriser par une puissance dominante, simplifier ou utiliser une identité algébrique adaptée.

Question 1

Calculer :

\[ \lim_{n\to+\infty}\left(n^3-5n^2-6n+7\right). \]

Méthode. Le terme de plus haut degré est \(n^3\). On le met en facteur afin de faire apparaître un facteur tendant vers \(1\).

Afficher la correction Masquer la correction

On factorise par \(n^3\) :

\[ n^3-5n^2-6n+7 = n^3\left(1-\frac{5}{n}-\frac{6}{n^2}+\frac{7}{n^3}\right). \]

Lorsque \(n\to+\infty\), on a :

\[ 1-\frac{5}{n}-\frac{6}{n^2}+\frac{7}{n^3}\to1. \]

Comme \(n^3\to+\infty\), on obtient :

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}\left(n^3-5n^2-6n+7\right)=+\infty.} \]

Le facteur entre parenthèses tend vers \(1\). Le comportement de l’expression est donc gouverné par le terme dominant \(n^3\), qui tend vers \(+\infty\).

Question 2

Calculer :

\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3n^2-6n^4}{2n^2+5}. \]

Méthode. La correction simplifie le quotient en mettant \(n^2\) en facteur au numérateur et au dénominateur. On pourra alors appliquer les règles usuelles sur les limites.

Afficher la correction Masquer la correction

On met \(n^2\) en facteur au numérateur et au dénominateur :

\[ \frac{3n^2-6n^4}{2n^2+5} = \frac{n^2(3-6n^2)}{n^2\left(2+\frac{5}{n^2}\right)} = \frac{3-6n^2}{2+\frac{5}{n^2}}. \]

Le numérateur tend vers \(-\infty\), tandis que le dénominateur tend vers \(2\). Donc :

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}\frac{3n^2-6n^4}{2n^2+5}=-\infty.} \]

Le dénominateur tend vers le réel positif \(2\), tandis que le numérateur devient arbitrairement négatif. Le quotient tend donc vers \(-\infty\).

Question 3

Calculer :

\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3n^2-5n+2}{4-n^3}. \]

Méthode. Le dénominateur contient un terme de degré \(3\). La factorisation par \(n^3\) permet de transformer le quotient en une expression dont le numérateur et le dénominateur ont des limites finies.

Afficher la correction Masquer la correction

On factorise le numérateur et le dénominateur par \(n^3\) :

\[ \frac{3n^2-5n+2}{4-n^3} = \frac{n^3\left(\frac{3}{n}-\frac{5}{n^2}+\frac{2}{n^3}\right)} {n^3\left(\frac{4}{n^3}-1\right)}. \]

Donc :

\[ \frac{3n^2-5n+2}{4-n^3} = \frac{\frac{3}{n}-\frac{5}{n^2}+\frac{2}{n^3}} {\frac{4}{n^3}-1}. \]

Le numérateur tend vers \(0\), et le dénominateur tend vers \(-1\). Par conséquent :

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}\frac{3n^2-5n+2}{4-n^3}=0.} \]

Le numérateur tend vers \(0\), tandis que le dénominateur tend vers une valeur non nulle. Le quotient tend donc vers \(0\).

Question 4

Calculer :

\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2-8n^2+5n^3}{7n^3-3}. \]

Méthode. Les termes dominants du numérateur et du dénominateur sont de degré \(3\). La factorisation par \(n^3\) permet de faire apparaître leur rapport.

Afficher la correction Masquer la correction

On factorise par \(n^3\) :

\[ \frac{2-8n^2+5n^3}{7n^3-3} = \frac{n^3\left(\frac{2}{n^3}-\frac{8}{n}+5\right)} {n^3\left(7-\frac{3}{n^3}\right)}. \]

Donc :

\[ \frac{2-8n^2+5n^3}{7n^3-3} = \frac{\frac{2}{n^3}-\frac{8}{n}+5} {7-\frac{3}{n^3}}. \]

En passant à la limite, on obtient :

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}\frac{2-8n^2+5n^3}{7n^3-3}=\frac{5}{7}.} \]

Après division par \(n^3\), les termes de plus faible degré disparaissent à la limite. Il reste donc le rapport des coefficients dominants, soit \(\frac57\).

Question 5

Calculer :

\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt[3]{n^3-n+4}-n\right). \]

Méthode. La différence ne permet pas un passage direct à la limite. La correction utilise l’identité relative à la différence de deux cubes afin de transformer l’expression en un quotient exploitable.

Afficher la correction Masquer la correction

On utilise l’identité :

\[ a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}. \]

Avec :

\[ a=\sqrt[3]{n^3-n+4} \qquad\text{et}\qquad b=n. \]

Alors :

\[ \sqrt[3]{n^3-n+4}-n = \frac{(n^3-n+4)-n^3} {\left(\sqrt[3]{n^3-n+4}\right)^2+n\sqrt[3]{n^3-n+4}+n^2}. \]

Donc :

\[ \sqrt[3]{n^3-n+4}-n = \frac{-n+4} {\left(\sqrt[3]{n^3-n+4}\right)^2+n\sqrt[3]{n^3-n+4}+n^2}. \]

Posons

\[ t_n=\sqrt[3]{1-\frac{1}{n^2}+\frac{4}{n^3}}. \]

Alors \(t_n\to1\) et \(\sqrt[3]{n^3-n+4}=nt_n\). Ainsi :

\[ \sqrt[3]{n^3-n+4}-n = \frac{-1+\frac4n}{n\left(t_n^2+t_n+1\right)}. \]

Le numérateur tend vers \(-1\), tandis que le dénominateur tend vers \(+\infty\). Ainsi :

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt[3]{n^3-n+4}-n\right)=0.} \]

La transformation fait apparaître un numérateur tendant vers un réel non nul et un dénominateur qui tend vers \(+\infty\). Le quotient tend donc vers \(0\).

Question 6

Calculer :

\[ \lim_{n\to+\infty}\operatorname{Arctan}\sqrt[3]{n+6}. \]

Méthode. On commence par déterminer la limite de l’argument \(\sqrt[3]{n+6}\), puis on utilise la limite connue de la fonction \(\operatorname{Arctan}\) en \(+\infty\).

Afficher la correction Masquer la correction

On a :

\[ \sqrt[3]{n+6}\to+\infty. \]

Et :

\[ \lim_{x\to+\infty}\operatorname{Arctan}x=\frac{\pi}{2}. \]

Donc :

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}\operatorname{Arctan}\sqrt[3]{n+6}=\frac{\pi}{2}.} \]

L’argument de la fonction \(\operatorname{Arctan}\) tend vers \(+\infty\). On retrouve donc la limite de cette fonction à l’infini, qui vaut \(\frac{\pi}{2}\).

Question 7

Calculer :

\[ \lim_{n\to+\infty}\left(n^2-n-\sqrt[3]{n}+1\right). \]

Méthode. Le terme \(n^2\) est la puissance dominante. On le met donc en facteur afin de comparer l’expression à \(n^2\).

Afficher la correction Masquer la correction

On factorise par \(n^2\) :

\[ n^2-n-\sqrt[3]{n}+1 = n^2\left(1-\frac{1}{n}-\frac{1}{n^{5/3}}+\frac{1}{n^2}\right). \]

Le facteur entre parenthèses tend vers \(1\), et \(n^2\to+\infty\). Donc :

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}\left(n^2-n-\sqrt[3]{n}+1\right)=+\infty.} \]

Le facteur entre parenthèses tend vers \(1\) et devient donc positif à partir d’un certain rang. Le comportement de l’expression est alors celui de \(n^2\), donc la limite vaut \(+\infty\).

Question 8

Calculer :

\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n-1}\right). \]

Méthode. La différence de deux racines cubiques conduit à une forme qui ne permet pas de conclure directement. On utilise donc encore l’identité portant sur \(a^3-b^3\).

Afficher la correction Masquer la correction

On utilise encore l’identité :

\[ a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}. \]

Avec :

\[ a=\sqrt[3]{n+1} \qquad\text{et}\qquad b=\sqrt[3]{n-1}. \]

Alors :

\[ \sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n-1} = \frac{(n+1)-(n-1)} {\left(\sqrt[3]{n+1}\right)^2+\sqrt[3]{n+1}\sqrt[3]{n-1}+\left(\sqrt[3]{n-1}\right)^2}. \]

Donc :

\[ \sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n-1} = \frac{2} {\left(\sqrt[3]{n+1}\right)^2+\sqrt[3]{n+1}\sqrt[3]{n-1}+\left(\sqrt[3]{n-1}\right)^2}. \]

Le dénominateur tend vers \(+\infty\). Par conséquent :

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n-1}\right)=0.} \]

Après transformation, le numérateur est constant tandis que le dénominateur tend vers \(+\infty\). Le quotient tend donc vers \(0\).

Question 9

Calculer :

\[ \lim_{n\to+\infty}\left(n^{\frac23}-n^{\frac13}\right). \]

Méthode. On factorise par \(n^{1/3}\). Cette transformation permet d’obtenir un produit de deux facteurs dont le comportement est immédiat.

Afficher la correction Masquer la correction

On factorise par \(n^{1/3}\) :

\[ n^{\frac23}-n^{\frac13} = n^{\frac13}\left(n^{\frac13}-1\right). \]

Lorsque \(n\to+\infty\), on a :

\[ n^{\frac13}\to+\infty \qquad\text{et}\qquad n^{\frac13}-1\to+\infty. \]

Donc :

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}\left(n^{\frac23}-n^{\frac13}\right)=+\infty.} \]

Les deux facteurs deviennent positifs et tendent tous les deux vers \(+\infty\). Leur produit tend donc lui aussi vers \(+\infty\).

Question 10

Calculer :

\[ \lim_{n\to+\infty} \frac{n^{\frac35}+n^{\frac67}}{n^{\frac23}+n^{\frac49}}. \]

Méthode. On repère la plus grande puissance au numérateur et la plus grande puissance au dénominateur. On factorise ensuite par ces puissances afin de faire apparaître le facteur dominant.

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Le plus grand exposant au numérateur est \(\frac67\), et le plus grand exposant au dénominateur est \(\frac23\). On factorise par les puissances correspondantes :

\[ \frac{n^{\frac35}+n^{\frac67}}{n^{\frac23}+n^{\frac49}} = \frac{n^{\frac67}\left(n^{\frac35-\frac67}+1\right)} {n^{\frac23}\left(1+n^{\frac49-\frac23}\right)}. \]

Ainsi :

\[ \frac{n^{\frac35}+n^{\frac67}}{n^{\frac23}+n^{\frac49}} = n^{\frac67-\frac23} \cdot \frac{n^{-\frac9{35}}+1}{1+n^{-\frac29}}. \]

Or :

\[ \frac67-\frac23=\frac{18-14}{21}=\frac4{21}. \]

Donc \(n^{4/21}\to+\infty\), et le second facteur tend vers \(1\). Par conséquent :

\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty} \frac{n^{\frac35}+n^{\frac67}}{n^{\frac23}+n^{\frac49}} =+\infty. } \]

Le quotient restant après factorisation tend vers \(1\), alors que \(n^{4/21}\) tend vers \(+\infty\). C’est donc ce facteur dominant qui détermine la limite.

Exercice 03

Repère de cours — Limites des suites géométriques

Pour une suite géométrique de terme \(q^n\), le comportement dépend de la valeur de \(q\). Lorsque \(|q|\lt1\), on a \(q^n\to0\). Lorsque \(q\gt1\), on a \(q^n\to+\infty\). Dans les expressions comportant plusieurs puissances, une factorisation peut être nécessaire avant d’appliquer ces résultats.

Question 1

Calculer la limite de la suite définie par :

\[ a_n=\left(-\frac12\right)^n+\left(\frac32\right)^n. \]

Méthode. On étudie séparément les deux suites géométriques. La première a une raison de valeur absolue inférieure à \(1\), alors que la seconde a une raison supérieure à \(1\).

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On a :

\[ \left(-\frac12\right)^n\to0 \qquad\text{et}\qquad \left(\frac32\right)^n\to+\infty. \]

Donc :

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}a_n=+\infty.} \]

Le terme \(\left(-\frac12\right)^n\) disparaît à la limite, tandis que \(\left(\frac32\right)^n\) croît sans borne. La somme tend donc vers \(+\infty\).

Question 2

Calculer la limite de la suite définie par :

\[ b_n=\left(\frac53\right)^n+\left(\frac29\right)^n. \]

Méthode. Les deux termes sont des suites géométriques. On utilise directement le critère portant sur leur raison.

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On a :

\[ \left(\frac53\right)^n\to+\infty \qquad\text{et}\qquad \left(\frac29\right)^n\to0. \]

Donc :

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}b_n=+\infty.} \]

Le premier terme tend vers \(+\infty\) alors que le second tend vers \(0\). La somme tend donc vers \(+\infty\).

Question 3

Calculer la limite de la suite définie par :

\[ c_n=\frac{7^n-5^n}{3^n}. \]

Méthode. Après division par \(3^n\), les deux termes obtenus tendent vers \(+\infty\). La différence est donc indéterminée. On factorise par \(\left(\frac73\right)^n\), qui correspond à la plus grande base.

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On écrit :

\[ c_n=\left(\frac73\right)^n-\left(\frac53\right)^n. \]

Pour éviter une forme indéterminée de type \(+\infty-(+\infty)\), on factorise par \(\left(\frac73\right)^n\) :

\[ c_n=\left(\frac73\right)^n \left(1-\left(\frac57\right)^n\right). \]

Comme :

\[ \left(\frac57\right)^n\to0, \]

on a :

\[ 1-\left(\frac57\right)^n\to1. \]

Et comme \(\left(\frac73\right)^n\to+\infty\), on obtient :

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}c_n=+\infty.} \]

Le facteur entre parenthèses tend vers \(1\). Le comportement de la suite est donc celui de \(\left(\frac73\right)^n\), qui tend vers \(+\infty\).

Question 4

Calculer la limite de la suite définie par :

\[ d_n=\frac{2^n-1}{7^n+1}. \]

Méthode. On divise le numérateur et le dénominateur par \(7^n\). On fait ainsi apparaître des suites géométriques dont les raisons ont une valeur absolue inférieure à \(1\).

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On divise le numérateur et le dénominateur par \(7^n\) :

\[ d_n= \frac{\left(\frac27\right)^n-\frac{1}{7^n}} {1+\frac{1}{7^n}}. \]

Or :

\[ \left(\frac27\right)^n\to0 \qquad\text{et}\qquad \frac{1}{7^n}\to0. \]

Donc :

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}d_n=0.} \]

Le numérateur tend vers \(0\) et le dénominateur vers \(1\). La suite converge donc vers \(0\).

Question 5

Calculer la limite de la suite définie par :

\[ e_n=\frac{2^n-5^n}{4^n+9^n}. \]

Méthode. Le terme \(9^n\) est la plus grande puissance du dénominateur. La correction divise donc tous les termes par \(9^n\) afin de faire apparaître uniquement des rapports géométriques de raison inférieure à \(1\).

Afficher la correction Masquer la correction

On divise le numérateur et le dénominateur par \(9^n\) :

\[ e_n= \frac{\left(\frac29\right)^n-\left(\frac59\right)^n} {\left(\frac49\right)^n+1}. \]

Or :

\[ \left(\frac29\right)^n\to0,\qquad \left(\frac59\right)^n\to0,\qquad \left(\frac49\right)^n\to0. \]

Donc :

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}e_n=0.} \]

Tous les termes géométriques présents dans l’expression réduite tendent vers \(0\). Le numérateur tend donc vers \(0\) et le dénominateur vers \(1\).

Question 6

Calculer la limite de la suite définie par :

\[ u_n=\left(\frac73\right)^n-(2017)^n. \]

Méthode. Les deux termes tendent vers \(+\infty\), ce qui produit une forme indéterminée. On factorise par \((2017)^n\) afin de comparer directement les deux puissances.

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On factorise par \((2017)^n\) :

\[ u_n=(2017)^n \left[ \left(\frac{7}{3\cdot2017}\right)^n-1 \right]. \]

Comme :

\[ 0\lt \frac{7}{3\cdot2017}\lt1, \]

on a :

\[ \left(\frac{7}{3\cdot2017}\right)^n\to0. \]

Donc le facteur entre crochets tend vers \(-1\), tandis que \((2017)^n\to+\infty\). Par conséquent :

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=-\infty.} \]

Le facteur entre crochets tend vers \(-1\), alors que \((2017)^n\) devient arbitrairement grand. Le produit tend donc vers \(-\infty\).

Question 7

Calculer la limite de la suite définie par :

\[ v_n=\frac{4^n-(-2)^n}{3^n+(-2)^n}. \]

Méthode. On divise le numérateur et le dénominateur par \(3^n\). On fait alors apparaître les suites géométriques \(\left(\frac43\right)^n\) et \(\left(-\frac23\right)^n\).

Afficher la correction Masquer la correction

On divise le numérateur et le dénominateur par \(3^n\) :

\[ v_n= \frac{\left(\frac43\right)^n-\left(-\frac23\right)^n} {1+\left(-\frac23\right)^n}. \]

On a :

\[ \left(-\frac23\right)^n\to0 \qquad\text{et}\qquad \left(\frac43\right)^n\to+\infty. \]

Le dénominateur tend vers \(1\), tandis que le numérateur tend vers \(+\infty\). Donc :

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}v_n=+\infty.} \]

Le dénominateur tend vers \(1\), tandis que le numérateur est dominé par \(\left(\frac43\right)^n\), qui tend vers \(+\infty\). Le quotient tend donc vers \(+\infty\).

Question 8

Calculer la limite de la suite définie par :

\[ w_n=\sqrt[5]{2^n}-\sqrt[3]{2^n}. \]

Méthode. Les deux termes tendent vers \(+\infty\). On compare donc leurs puissances : \(\frac13\gt\frac15\), ce qui conduit à factoriser par \(2^{n/3}\).

Afficher la correction Masquer la correction

On écrit :

\[ w_n=2^{\frac n5}-2^{\frac n3}. \]

Comme \(\frac13\gt\frac15\), on factorise par \(2^{n/3}\) :

\[ w_n=2^{\frac n3} \left(2^{\frac n5-\frac n3}-1\right) = 2^{\frac n3} \left(2^{-\frac{2n}{15}}-1\right). \]

Or :

\[ 2^{-\frac{2n}{15}}\to0. \]

Donc le facteur entre parenthèses tend vers \(-1\), et \(2^{n/3}\to+\infty\). Par conséquent :

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}w_n=-\infty.} \]

La puissance \(2^{n/3}\) est dominante. Le facteur qui l’accompagne tend vers \(-1\), ce qui entraîne une divergence vers \(-\infty\).

Question 9

Calculer la limite de la suite définie par :

\[ x_n=\frac{2^{n+1}+3^{n+1}}{3^{2n-1}}. \]

Méthode. La correction sépare les deux fractions puis les réécrit comme des constantes multipliées par des suites géométriques. Les raisons obtenues sont strictement comprises entre \(0\) et \(1\).

Afficher la correction Masquer la correction

On sépare les deux termes :

\[ x_n= \frac{2^{n+1}}{3^{2n-1}} + \frac{3^{n+1}}{3^{2n-1}}. \]

Pour le premier terme :

\[ \frac{2^{n+1}}{3^{2n-1}} = \frac{2\cdot 2^n}{\frac{1}{3}\cdot 3^{2n}} = 6\left(\frac29\right)^n. \]

Pour le second terme :

\[ \frac{3^{n+1}}{3^{2n-1}} = 3^{2-n} = 9\left(\frac13\right)^n. \]

Donc :

\[ x_n=6\left(\frac29\right)^n+9\left(\frac13\right)^n. \]

Or :

\[ \left(\frac29\right)^n\to0 \qquad\text{et}\qquad \left(\frac13\right)^n\to0. \]

Ainsi :

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}x_n=0.} \]

Les deux suites géométriques tendent vers \(0\). La somme \(x_n\) tend donc elle aussi vers \(0\).

Point d’attention — énoncé du manuel.

Dans le scan du manuel, deux limites de l’exercice 02 apparaissent deux fois à l’identique :

\[ \frac{3n^2-5n+2}{4-n^3} \qquad\text{et}\qquad \frac{2-8n^2+5n^3}{7n^3-3}. \]

Chaque limite est donc traitée une seule fois dans la correction.

Conclusion générale.

Ces trois exercices mettent en évidence trois réflexes fondamentaux. Lorsqu’une question demande explicitement d’utiliser la définition, il faut traduire la limite par une condition sur les termes à partir d’un certain rang. Pour les calculs algébriques, on doit reconnaître les termes dominants et transformer l’expression avant de passer à la limite lorsqu’une forme indéterminée apparaît. Enfin, pour les expressions faisant intervenir des puissances, les limites des suites géométriques constituent un outil essentiel.

La méthode générale est donc toujours la même : identifier la forme de la suite, choisir la règle adaptée, vérifier que ses conditions sont satisfaites, effectuer le calcul, puis interpréter le résultat obtenu.

Ressources liées

• Suites numériques — Al Moufid
• Exercices résolus — Al Moufid

Correction rédigée par Professeur Hammou Boudraa — Parcours Maths Maroc (PMM)
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt

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