Correction des exercices 01 à 03 — Limites de suites numériques
Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques — Suites numériques
Exercice 01
On considère les suites \((u_n)\), \((v_n)\) et \((w_n)\) définies par :
\[ u_n=\frac{1}{\sqrt{n+2}},\qquad v_n=\frac{3n+1}{n-1},\qquad w_n=n\sqrt n. \]On doit montrer, en utilisant la définition, que :
\[ \lim_{n\to+\infty}u_n=0,\qquad \lim_{n\to+\infty}v_n=3,\qquad \lim_{n\to+\infty}w_n=+\infty. \]1. Limite de \(u_n\)
Lire la réponse + Masquer la réponse −
On a :
\[ u_n=\frac{1}{\sqrt{n+2}}. \]Pour montrer que \(u_n\) tend vers \(0\), on utilise la définition. Soit \(\varepsilon\gt0\). On cherche un rang \(N\) tel que, pour tout \(n\ge N\), on ait :
\[ |u_n-0|\lt \varepsilon. \]Or :
\[ |u_n-0|=\frac{1}{\sqrt{n+2}}. \]Il suffit donc d’avoir :
\[ \frac{1}{\sqrt{n+2}}\lt \varepsilon. \]Comme les deux membres sont strictement positifs, cette inégalité équivaut à :
\[ \sqrt{n+2}\gt \frac{1}{\varepsilon}. \]Donc :
\[ n+2\gt \frac{1}{\varepsilon^2}. \]Il suffit de choisir un entier naturel \(N\) tel que :
\[ N\gt \frac{1}{\varepsilon^2}-2. \]Alors, pour tout \(n\ge N\), on a :
\[ |u_n-0|\lt \varepsilon. \]Donc :
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=0.} \]2. Limite de \(v_n\)
Lire la réponse + Masquer la réponse −
On a :
\[ v_n=\frac{3n+1}{n-1}. \]Pour comparer \(v_n\) à \(3\), on calcule :
\[ v_n-3=\frac{3n+1}{n-1}-3 =\frac{3n+1-3n+3}{n-1} =\frac{4}{n-1}. \]Donc, pour \(n\gt1\) :
\[ |v_n-3|=\frac{4}{n-1}. \]Soit \(\varepsilon\gt0\). Il suffit de choisir un entier naturel \(N\) tel que :
\[ N\gt 1+\frac{4}{\varepsilon}. \]Alors, pour tout \(n\ge N\), on a :
\[ |v_n-3|=\frac{4}{n-1}\lt \varepsilon. \]Donc :
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}v_n=3.} \]3. Limite de \(w_n\)
Lire la réponse + Masquer la réponse −
On a :
\[ w_n=n\sqrt n=n^{\frac32}. \]Pour montrer que \(w_n\) tend vers \(+\infty\), on utilise la définition. Soit \(A\gt0\). On cherche un rang \(N\) tel que, pour tout \(n\ge N\), on ait :
\[ w_n\gt A. \]Comme :
\[ w_n=n^{\frac32}, \]il suffit d’avoir :
\[ n^{\frac32}\gt A. \]Cela est réalisé dès que :
\[ n\gt A^{\frac23}. \]On choisit donc un entier naturel \(N\) tel que :
\[ N\gt A^{\frac23}. \]Alors, pour tout \(n\ge N\), on a :
\[ w_n=n^{\frac32}\gt A. \]Donc :
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}w_n=+\infty.} \]Exercice 02
1. Première limite
On calcule :
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(n^3-5n^2-6n+7\right). \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
On factorise par \(n^3\), qui est le terme dominant :
\[ n^3-5n^2-6n+7 = n^3\left(1-\frac{5}{n}-\frac{6}{n^2}+\frac{7}{n^3}\right). \]Lorsque \(n\to+\infty\), on a :
\[ 1-\frac{5}{n}-\frac{6}{n^2}+\frac{7}{n^3}\to1. \]Comme \(n^3\to+\infty\), on obtient :
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}\left(n^3-5n^2-6n+7\right)=+\infty.} \]2. Deuxième limite
On calcule :
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3n^2-6n^4}{2n^2+5}. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Le terme dominant du numérateur est \(-6n^4\), et celui du dénominateur est \(2n^2\). On peut écrire :
\[ \frac{3n^2-6n^4}{2n^2+5} = \frac{n^2(3-6n^2)}{n^2\left(2+\frac{5}{n^2}\right)} = \frac{3-6n^2}{2+\frac{5}{n^2}}. \]Le numérateur tend vers \(-\infty\), tandis que le dénominateur tend vers \(2\). Donc :
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}\frac{3n^2-6n^4}{2n^2+5}=-\infty.} \]3. Troisième limite
On calcule :
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3n^2-5n+2}{4-n^3}. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
On factorise le numérateur et le dénominateur par \(n^3\) :
\[ \frac{3n^2-5n+2}{4-n^3} = \frac{n^3\left(\frac{3}{n}-\frac{5}{n^2}+\frac{2}{n^3}\right)} {n^3\left(\frac{4}{n^3}-1\right)}. \]Donc :
\[ \frac{3n^2-5n+2}{4-n^3} = \frac{\frac{3}{n}-\frac{5}{n^2}+\frac{2}{n^3}} {\frac{4}{n^3}-1}. \]Le numérateur tend vers \(0\), et le dénominateur tend vers \(-1\). Par conséquent :
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}\frac{3n^2-5n+2}{4-n^3}=0.} \]4. Quatrième limite
On calcule :
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2-8n^2+5n^3}{7n^3-3}. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
On factorise par \(n^3\) :
\[ \frac{2-8n^2+5n^3}{7n^3-3} = \frac{n^3\left(\frac{2}{n^3}-\frac{8}{n}+5\right)} {n^3\left(7-\frac{3}{n^3}\right)}. \]Donc :
\[ \frac{2-8n^2+5n^3}{7n^3-3} = \frac{\frac{2}{n^3}-\frac{8}{n}+5} {7-\frac{3}{n^3}}. \]En passant à la limite, on obtient :
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}\frac{2-8n^2+5n^3}{7n^3-3}=\frac{5}{7}.} \]5. Cinquième limite
On calcule :
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt[3]{n^3-n+4}-n\right). \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
On utilise l’identité :
\[ a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}. \]Avec :
\[ a=\sqrt[3]{n^3-n+4} \qquad\text{et}\qquad b=n. \]Alors :
\[ \sqrt[3]{n^3-n+4}-n = \frac{(n^3-n+4)-n^3} {\left(\sqrt[3]{n^3-n+4}\right)^2+n\sqrt[3]{n^3-n+4}+n^2}. \]Donc :
\[ \sqrt[3]{n^3-n+4}-n = \frac{-n+4} {\left(\sqrt[3]{n^3-n+4}\right)^2+n\sqrt[3]{n^3-n+4}+n^2}. \]Le numérateur est de l’ordre de \(n\), tandis que le dénominateur est de l’ordre de \(n^2\). Donc le quotient tend vers \(0\). Ainsi :
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt[3]{n^3-n+4}-n\right)=0.} \]6. Sixième limite
On calcule :
\[ \lim_{n\to+\infty}\operatorname{Arctan}\sqrt[3]{n+6}. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
On a :
\[ \sqrt[3]{n+6}\to+\infty. \]Et :
\[ \lim_{x\to+\infty}\operatorname{Arctan}x=\frac{\pi}{2}. \]Donc :
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}\operatorname{Arctan}\sqrt[3]{n+6}=\frac{\pi}{2}.} \]7. Septième limite
On calcule :
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(n^2-n-\sqrt[3]{n}+1\right). \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
On factorise par \(n^2\) :
\[ n^2-n-\sqrt[3]{n}+1 = n^2\left(1-\frac{1}{n}-\frac{1}{n^{5/3}}+\frac{1}{n^2}\right). \]Le facteur entre parenthèses tend vers \(1\), et \(n^2\to+\infty\). Donc :
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}\left(n^2-n-\sqrt[3]{n}+1\right)=+\infty.} \]8. Huitième limite
On calcule :
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n-1}\right). \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
On utilise encore l’identité :
\[ a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}. \]Avec :
\[ a=\sqrt[3]{n+1} \qquad\text{et}\qquad b=\sqrt[3]{n-1}. \]Alors :
\[ \sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n-1} = \frac{(n+1)-(n-1)} {\left(\sqrt[3]{n+1}\right)^2+\sqrt[3]{n+1}\sqrt[3]{n-1}+\left(\sqrt[3]{n-1}\right)^2}. \]Donc :
\[ \sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n-1} = \frac{2} {\left(\sqrt[3]{n+1}\right)^2+\sqrt[3]{n+1}\sqrt[3]{n-1}+\left(\sqrt[3]{n-1}\right)^2}. \]Le dénominateur tend vers \(+\infty\). Par conséquent :
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n-1}\right)=0.} \]9. Neuvième limite
On calcule :
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(n^{\frac23}-n^{\frac13}\right). \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
On factorise par \(n^{1/3}\) :
\[ n^{\frac23}-n^{\frac13} = n^{\frac13}\left(n^{\frac13}-1\right). \]Lorsque \(n\to+\infty\), on a :
\[ n^{\frac13}\to+\infty \qquad\text{et}\qquad n^{\frac13}-1\to+\infty. \]Donc :
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}\left(n^{\frac23}-n^{\frac13}\right)=+\infty.} \]10. Dixième limite
On calcule :
\[ \lim_{n\to+\infty} \frac{n^{\frac35}+n^{\frac67}}{n^{\frac23}+n^{\frac49}}. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Le plus grand exposant au numérateur est \(\frac67\), et le plus grand exposant au dénominateur est \(\frac23\). On factorise donc par ces puissances dominantes :
\[ \frac{n^{\frac35}+n^{\frac67}}{n^{\frac23}+n^{\frac49}} = \frac{n^{\frac67}\left(n^{\frac35-\frac67}+1\right)} {n^{\frac23}\left(1+n^{\frac49-\frac23}\right)}. \]Ainsi :
\[ \frac{n^{\frac35}+n^{\frac67}}{n^{\frac23}+n^{\frac49}} = n^{\frac67-\frac23} \cdot \frac{n^{-\frac9{35}}+1}{1+n^{-\frac29}}. \]Or :
\[ \frac67-\frac23=\frac{18-14}{21}=\frac4{21}. \]Donc \(n^{4/21}\to+\infty\), et le second facteur tend vers \(1\). Par conséquent :
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty} \frac{n^{\frac35}+n^{\frac67}}{n^{\frac23}+n^{\frac49}} =+\infty. } \]Exercice 03
1. Suite \(a_n\)
\[ a_n=\left(-\frac12\right)^n+\left(\frac32\right)^n. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
On a :
\[ \left(-\frac12\right)^n\to0 \qquad\text{et}\qquad \left(\frac32\right)^n\to+\infty. \]Donc :
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}a_n=+\infty.} \]2. Suite \(b_n\)
\[ b_n=\left(\frac53\right)^n+\left(\frac29\right)^n. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
On a :
\[ \left(\frac53\right)^n\to+\infty \qquad\text{et}\qquad \left(\frac29\right)^n\to0. \]Donc :
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}b_n=+\infty.} \]3. Suite \(c_n\)
\[ c_n=\frac{7^n-5^n}{3^n}. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
On écrit :
\[ c_n=\left(\frac73\right)^n-\left(\frac53\right)^n. \]Pour éviter une forme indéterminée de type \(+\infty-(+\infty)\), on factorise par \(\left(\frac73\right)^n\) :
\[ c_n=\left(\frac73\right)^n \left(1-\left(\frac57\right)^n\right). \]Comme :
\[ \left(\frac57\right)^n\to0, \]on a :
\[ 1-\left(\frac57\right)^n\to1. \]Et comme \(\left(\frac73\right)^n\to+\infty\), on obtient :
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}c_n=+\infty.} \]4. Suite \(d_n\)
\[ d_n=\frac{2^n-1}{7^n+1}. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
On divise le numérateur et le dénominateur par \(7^n\) :
\[ d_n= \frac{\left(\frac27\right)^n-\frac{1}{7^n}} {1+\frac{1}{7^n}}. \]Or :
\[ \left(\frac27\right)^n\to0 \qquad\text{et}\qquad \frac{1}{7^n}\to0. \]Donc :
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}d_n=0.} \]5. Suite \(e_n\)
\[ e_n=\frac{2^n-5^n}{4^n+9^n}. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Le terme dominant au numérateur est \(-5^n\), et le terme dominant au dénominateur est \(9^n\). On divise par \(9^n\) :
\[ e_n= \frac{\left(\frac29\right)^n-\left(\frac59\right)^n} {\left(\frac49\right)^n+1}. \]Or :
\[ \left(\frac29\right)^n\to0,\qquad \left(\frac59\right)^n\to0,\qquad \left(\frac49\right)^n\to0. \]Donc :
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}e_n=0.} \]6. Suite \(u_n\)
\[ u_n=\left(\frac73\right)^n-(2017)^n. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Le terme \((2017)^n\) domine \(\left(\frac73\right)^n\). Pour le justifier, on factorise par \((2017)^n\) :
\[ u_n=(2017)^n \left[ \left(\frac{7}{3\cdot2017}\right)^n-1 \right]. \]Comme :
\[ 0\lt \frac{7}{3\cdot2017}\lt1, \]on a :
\[ \left(\frac{7}{3\cdot2017}\right)^n\to0. \]Donc le facteur entre crochets tend vers \(-1\), tandis que \((2017)^n\to+\infty\). Par conséquent :
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=-\infty.} \]7. Suite \(v_n\)
\[ v_n=\frac{4^n-(-2)^n}{3^n+(-2)^n}. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
On divise le numérateur et le dénominateur par \(3^n\) :
\[ v_n= \frac{\left(\frac43\right)^n-\left(-\frac23\right)^n} {1+\left(-\frac23\right)^n}. \]On a :
\[ \left(-\frac23\right)^n\to0 \qquad\text{et}\qquad \left(\frac43\right)^n\to+\infty. \]Le dénominateur tend vers \(1\), tandis que le numérateur tend vers \(+\infty\). Donc :
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}v_n=+\infty.} \]8. Suite \(w_n\)
\[ w_n=\sqrt[5]{2^n}-\sqrt[3]{2^n}. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
On écrit :
\[ w_n=2^{\frac n5}-2^{\frac n3}. \]Comme \(\frac13\gt\frac15\), le terme \(2^{n/3}\) domine le terme \(2^{n/5}\). On factorise par \(2^{n/3}\) :
\[ w_n=2^{\frac n3} \left(2^{\frac n5-\frac n3}-1\right) = 2^{\frac n3} \left(2^{-\frac{2n}{15}}-1\right). \]Or :
\[ 2^{-\frac{2n}{15}}\to0. \]Donc le facteur entre parenthèses tend vers \(-1\), et \(2^{n/3}\to+\infty\). Par conséquent :
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}w_n=-\infty.} \]9. Suite \(x_n\)
\[ x_n=\frac{2^{n+1}+3^{n+1}}{3^{2n-1}}. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
On sépare les deux termes :
\[ x_n= \frac{2^{n+1}}{3^{2n-1}} + \frac{3^{n+1}}{3^{2n-1}}. \]Pour le premier terme :
\[ \frac{2^{n+1}}{3^{2n-1}} = \frac{2\cdot 2^n}{\frac{1}{3}\cdot 3^{2n}} = 6\left(\frac29\right)^n. \]Pour le second terme :
\[ \frac{3^{n+1}}{3^{2n-1}} = 3^{2-n} = 9\left(\frac13\right)^n. \]Donc :
\[ x_n=6\left(\frac29\right)^n+9\left(\frac13\right)^n. \]Or :
\[ \left(\frac29\right)^n\to0 \qquad\text{et}\qquad \left(\frac13\right)^n\to0. \]Ainsi :
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}x_n=0.} \]Cette correction concerne les exercices 01 à 03 du chapitre Suites numériques du manuel Al Moufid, niveau 2e Bac Sciences Mathématiques. Ces exercices portent sur les premières méthodes de calcul de limites de suites : utilisation de la définition, limites usuelles, termes dominants et suites géométriques.
L’objectif est de comprendre comment justifier une limite de suite avec une rédaction correcte : preuve par définition dans l’exercice 1, factorisation par le terme dominant dans l’exercice 2, puis comparaison des puissances et utilisation des suites géométriques dans l’exercice 3.
Avant de lire la correction, il est conseillé d’essayer chaque limite en cherchant d’abord le terme dominant. Pour les suites géométriques, il faut comparer la raison à \(1\) ou à \(-1\), selon le cas.
Dans le scan du manuel, deux limites de l’exercice 2 apparaissent deux fois : \[ \frac{3n^2-5n+2}{4-n^3} \qquad\text{et}\qquad \frac{2-8n^2+5n^3}{7n^3-3}. \] Elles seront donc traitées une seule fois dans la correction, car les deux occurrences sont identiques.
Exercice 02 :
Dans cet exercice, on utilise principalement la méthode du terme dominant. Pour une expression polynomiale ou rationnelle, on factorise par la plus grande puissance de \(n\).
Exercice 03 :
Dans cet exercice, on utilise les limites des suites géométriques. On rappelle que si \(q\gt1\), alors \(q^n\to+\infty\), et si \(|q|\lt1\), alors \(q^n\to0\).
Dans ce bloc, on a utilisé trois méthodes importantes :
1. La définition de la limite pour justifier rigoureusement une convergence ou une divergence.
2. La factorisation par le terme dominant pour calculer les limites de polynômes, quotients et expressions avec racines.
3. Les limites des suites géométriques pour comparer des puissances.
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt
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