Correction des exercices 01 à 03
Limites de suites numériques · Manuel Al Moufid
Exercice 01
On considère les suites \((u_n)\), \((v_n)\) et \((w_n)\) définies par :
\[ \begin{aligned} u_n&=\frac{1}{\sqrt{n+2}},\\ v_n&=\frac{3n+1}{n-1},\\ w_n&=n\sqrt n. \end{aligned} \]On doit montrer, en utilisant la définition, que :
\[ \begin{aligned} \lim_{n\to+\infty}u_n&=0,\\ \lim_{n\to+\infty}v_n&=3,\\ \lim_{n\to+\infty}w_n&=+\infty. \end{aligned} \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
On a :
\[ u_n=\frac{1}{\sqrt{n+2}}. \]Pour montrer que \(u_n\) tend vers \(0\), on utilise la définition. Soit \(\varepsilon\gt0\). On cherche un rang \(N\) tel que, pour tout \(n\ge N\), on ait :
\[ |u_n-0|\lt \varepsilon. \]Or :
\[ |u_n-0|=\frac{1}{\sqrt{n+2}}. \]Il suffit donc d’avoir :
\[ \frac{1}{\sqrt{n+2}}\lt \varepsilon. \]Comme les deux membres sont strictement positifs, cette inégalité équivaut à :
\[ \sqrt{n+2}\gt \frac{1}{\varepsilon}. \]Donc :
\[ n+2\gt \frac{1}{\varepsilon^2}. \]Il suffit de choisir un entier naturel \(N\) tel que :
\[ N\gt \frac{1}{\varepsilon^2}-2. \]Alors, pour tout \(n\ge N\), on a :
\[ |u_n-0|\lt \varepsilon. \]Donc :
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On a :
\[ v_n=\frac{3n+1}{n-1}. \]Pour comparer \(v_n\) à \(3\), on calcule :
\[ v_n-3=\frac{3n+1}{n-1}-3 =\frac{3n+1-3n+3}{n-1} =\frac{4}{n-1}. \]Donc, pour \(n\gt1\) :
\[ |v_n-3|=\frac{4}{n-1}. \]Soit \(\varepsilon\gt0\). Il suffit de choisir un entier naturel \(N\) tel que :
\[ N\gt 1+\frac{4}{\varepsilon}. \]Alors, pour tout \(n\ge N\), on a :
\[ |v_n-3|=\frac{4}{n-1}\lt \varepsilon. \]Donc :
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On a :
\[ w_n=n\sqrt n=n^{\frac32}. \]Pour montrer que \(w_n\) tend vers \(+\infty\), on utilise la définition. Soit \(A\gt0\). On cherche un rang \(N\) tel que, pour tout \(n\ge N\), on ait :
\[ w_n\gt A. \]Comme :
\[ w_n=n^{\frac32}, \]il suffit d’avoir :
\[ n^{\frac32}\gt A. \]Cela est réalisé dès que :
\[ n\gt A^{\frac23}. \]On choisit donc un entier naturel \(N\) tel que :
\[ N\gt A^{\frac23}. \]Alors, pour tout \(n\ge N\), on a :
\[ w_n=n^{\frac32}\gt A. \]Donc :
Exercice 02
On calcule :
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(n^3-5n^2-6n+7\right). \]On calcule :
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3n^2-6n^4}{2n^2+5}. \]On calcule :
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3n^2-5n+2}{4-n^3}. \]On calcule :
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2-8n^2+5n^3}{7n^3-3}. \]On calcule :
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt[3]{n^3-n+4}-n\right). \]On calcule :
\[ \lim_{n\to+\infty}\operatorname{Arctan}\sqrt[3]{n+6}. \]On calcule :
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(n^2-n-\sqrt[3]{n}+1\right). \]On calcule :
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n-1}\right). \]On calcule :
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(n^{\frac23}-n^{\frac13}\right). \]On calcule :
\[ \lim_{n\to+\infty} \frac{n^{\frac35}+n^{\frac67}}{n^{\frac23}+n^{\frac49}}. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
On factorise par \(n^3\) :
\[ n^3-5n^2-6n+7 = n^3\left(1-\frac{5}{n}-\frac{6}{n^2}+\frac{7}{n^3}\right). \]Lorsque \(n\to+\infty\), on a :
\[ 1-\frac{5}{n}-\frac{6}{n^2}+\frac{7}{n^3}\to1. \]Comme \(n^3\to+\infty\), on obtient :
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On met \(n^2\) en facteur au numérateur et au dénominateur :
\[ \frac{3n^2-6n^4}{2n^2+5} = \frac{n^2(3-6n^2)}{n^2\left(2+\frac{5}{n^2}\right)} = \frac{3-6n^2}{2+\frac{5}{n^2}}. \]Le numérateur tend vers \(-\infty\), tandis que le dénominateur tend vers \(2\). Donc :
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On factorise le numérateur et le dénominateur par \(n^3\) :
\[ \frac{3n^2-5n+2}{4-n^3} = \frac{n^3\left(\frac{3}{n}-\frac{5}{n^2}+\frac{2}{n^3}\right)} {n^3\left(\frac{4}{n^3}-1\right)}. \]Donc :
\[ \frac{3n^2-5n+2}{4-n^3} = \frac{\frac{3}{n}-\frac{5}{n^2}+\frac{2}{n^3}} {\frac{4}{n^3}-1}. \]Le numérateur tend vers \(0\), et le dénominateur tend vers \(-1\). Par conséquent :
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On factorise par \(n^3\) :
\[ \frac{2-8n^2+5n^3}{7n^3-3} = \frac{n^3\left(\frac{2}{n^3}-\frac{8}{n}+5\right)} {n^3\left(7-\frac{3}{n^3}\right)}. \]Donc :
\[ \frac{2-8n^2+5n^3}{7n^3-3} = \frac{\frac{2}{n^3}-\frac{8}{n}+5} {7-\frac{3}{n^3}}. \]En passant à la limite, on obtient :
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On utilise l’identité :
\[ a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}. \]Avec :
\[ a=\sqrt[3]{n^3-n+4} \qquad\text{et}\qquad b=n. \]Alors :
\[ \sqrt[3]{n^3-n+4}-n = \frac{(n^3-n+4)-n^3} {\left(\sqrt[3]{n^3-n+4}\right)^2+n\sqrt[3]{n^3-n+4}+n^2}. \]Donc :
\[ \sqrt[3]{n^3-n+4}-n = \frac{-n+4} {\left(\sqrt[3]{n^3-n+4}\right)^2+n\sqrt[3]{n^3-n+4}+n^2}. \]Posons \[ t_n=\sqrt[3]{1-\frac{1}{n^2}+\frac{4}{n^3}}. \] Alors \(t_n\to1\) et \(\sqrt[3]{n^3-n+4}=nt_n\). Ainsi :
\[ \sqrt[3]{n^3-n+4}-n = \frac{-1+\frac4n}{n\left(t_n^2+t_n+1\right)}. \]Le numérateur tend vers \(-1\), tandis que le dénominateur tend vers \(+\infty\). Ainsi :
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On a :
\[ \sqrt[3]{n+6}\to+\infty. \]Et :
\[ \lim_{x\to+\infty}\operatorname{Arctan}x=\frac{\pi}{2}. \]Donc :
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On factorise par \(n^2\) :
\[ n^2-n-\sqrt[3]{n}+1 = n^2\left(1-\frac{1}{n}-\frac{1}{n^{5/3}}+\frac{1}{n^2}\right). \]Le facteur entre parenthèses tend vers \(1\), et \(n^2\to+\infty\). Donc :
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On utilise encore l’identité :
\[ a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}. \]Avec :
\[ a=\sqrt[3]{n+1} \qquad\text{et}\qquad b=\sqrt[3]{n-1}. \]Alors :
\[ \sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n-1} = \frac{(n+1)-(n-1)} {\left(\sqrt[3]{n+1}\right)^2+\sqrt[3]{n+1}\sqrt[3]{n-1}+\left(\sqrt[3]{n-1}\right)^2}. \]Donc :
\[ \sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n-1} = \frac{2} {\left(\sqrt[3]{n+1}\right)^2+\sqrt[3]{n+1}\sqrt[3]{n-1}+\left(\sqrt[3]{n-1}\right)^2}. \]Le dénominateur tend vers \(+\infty\). Par conséquent :
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On factorise par \(n^{1/3}\) :
\[ n^{\frac23}-n^{\frac13} = n^{\frac13}\left(n^{\frac13}-1\right). \]Lorsque \(n\to+\infty\), on a :
\[ n^{\frac13}\to+\infty \qquad\text{et}\qquad n^{\frac13}-1\to+\infty. \]Donc :
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Le plus grand exposant au numérateur est \(\frac67\), et le plus grand exposant au dénominateur est \(\frac23\). On factorise par les puissances correspondantes :
\[ \frac{n^{\frac35}+n^{\frac67}}{n^{\frac23}+n^{\frac49}} = \frac{n^{\frac67}\left(n^{\frac35-\frac67}+1\right)} {n^{\frac23}\left(1+n^{\frac49-\frac23}\right)}. \]Ainsi :
\[ \frac{n^{\frac35}+n^{\frac67}}{n^{\frac23}+n^{\frac49}} = n^{\frac67-\frac23} \cdot \frac{n^{-\frac9{35}}+1}{1+n^{-\frac29}}. \]Or :
\[ \frac67-\frac23=\frac{18-14}{21}=\frac4{21}. \]Donc \(n^{4/21}\to+\infty\), et le second facteur tend vers \(1\). Par conséquent :
Exercice 03
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On a :
\[ \left(-\frac12\right)^n\to0 \qquad\text{et}\qquad \left(\frac32\right)^n\to+\infty. \]Donc :
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On a :
\[ \left(\frac53\right)^n\to+\infty \qquad\text{et}\qquad \left(\frac29\right)^n\to0. \]Donc :
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On écrit :
\[ c_n=\left(\frac73\right)^n-\left(\frac53\right)^n. \]Pour éviter une forme indéterminée de type \(+\infty-(+\infty)\), on factorise par \(\left(\frac73\right)^n\) :
\[ c_n=\left(\frac73\right)^n \left(1-\left(\frac57\right)^n\right). \]Comme :
\[ \left(\frac57\right)^n\to0, \]on a :
\[ 1-\left(\frac57\right)^n\to1. \]Et comme \(\left(\frac73\right)^n\to+\infty\), on obtient :
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On divise le numérateur et le dénominateur par \(7^n\) :
\[ d_n= \frac{\left(\frac27\right)^n-\frac{1}{7^n}} {1+\frac{1}{7^n}}. \]Or :
\[ \left(\frac27\right)^n\to0 \qquad\text{et}\qquad \frac{1}{7^n}\to0. \]Donc :
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On divise le numérateur et le dénominateur par \(9^n\) :
\[ e_n= \frac{\left(\frac29\right)^n-\left(\frac59\right)^n} {\left(\frac49\right)^n+1}. \]Or :
\[ \left(\frac29\right)^n\to0,\qquad \left(\frac59\right)^n\to0,\qquad \left(\frac49\right)^n\to0. \]Donc :
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On factorise par \((2017)^n\) :
\[ u_n=(2017)^n \left[ \left(\frac{7}{3\cdot2017}\right)^n-1 \right]. \]Comme :
\[ 0\lt \frac{7}{3\cdot2017}\lt1, \]on a :
\[ \left(\frac{7}{3\cdot2017}\right)^n\to0. \]Donc le facteur entre crochets tend vers \(-1\), tandis que \((2017)^n\to+\infty\). Par conséquent :
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On divise le numérateur et le dénominateur par \(3^n\) :
\[ v_n= \frac{\left(\frac43\right)^n-\left(-\frac23\right)^n} {1+\left(-\frac23\right)^n}. \]On a :
\[ \left(-\frac23\right)^n\to0 \qquad\text{et}\qquad \left(\frac43\right)^n\to+\infty. \]Le dénominateur tend vers \(1\), tandis que le numérateur tend vers \(+\infty\). Donc :
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On écrit :
\[ w_n=2^{\frac n5}-2^{\frac n3}. \]Comme \(\frac13\gt\frac15\), on factorise par \(2^{n/3}\) :
\[ w_n=2^{\frac n3} \left(2^{\frac n5-\frac n3}-1\right) = 2^{\frac n3} \left(2^{-\frac{2n}{15}}-1\right). \]Or :
\[ 2^{-\frac{2n}{15}}\to0. \]Donc le facteur entre parenthèses tend vers \(-1\), et \(2^{n/3}\to+\infty\). Par conséquent :
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On sépare les deux termes :
\[ x_n= \frac{2^{n+1}}{3^{2n-1}} + \frac{3^{n+1}}{3^{2n-1}}. \]Pour le premier terme :
\[ \frac{2^{n+1}}{3^{2n-1}} = \frac{2\cdot 2^n}{\frac{1}{3}\cdot 3^{2n}} = 6\left(\frac29\right)^n. \]Pour le second terme :
\[ \frac{3^{n+1}}{3^{2n-1}} = 3^{2-n} = 9\left(\frac13\right)^n. \]Donc :
\[ x_n=6\left(\frac29\right)^n+9\left(\frac13\right)^n. \]Or :
\[ \left(\frac29\right)^n\to0 \qquad\text{et}\qquad \left(\frac13\right)^n\to0. \]Ainsi :
- Exercice 01 : appliquer directement la définition de la limite.
- Exercice 02 : factoriser par une puissance adaptée de \(n\) ou transformer l’expression algébriquement.
- Exercice 03 : utiliser les limites des suites géométriques et comparer les rapports de puissances.
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