Parcours Maths Maroc

Correction des exercices 62 à 63 — Fonction réciproque, méthode de Newton et suites — Al Moufid Menu des exercices Exercice 62 Exercice 63 Exercice 62 On considère la fonction \(f\) définie sur \(I=[0;8]\) par : \[ f(x)=\sqrt{\left(4-\sqrt[3]{x^2}\right)^3}. \] 1-a) Montrer que : \[ \lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-8}{x}=-\infty \] et interpréter géométriquement le résultat obtenu Lire la réponse + Masquer la réponse − Pour \(x\in[0;8]\), on a : \[ \sqrt[3]{x^2}=x^{\frac23} \qquad\text{et}\qquad f(x)=\left(4-x^{\frac23}\right)^{\frac32}. \] De plus : \[ f(0)=4^{\frac32}=8. \] Pour \(x\gt0\), posons : \[ u=\sqrt{4-x^{\frac23}}. \] Alors \(u\to2\) lorsque \(x\to0^+\), et : \[ f(x)-8=u^3-2^3=(u-2)(u^2+2u+4). \] Or : \[ u-2 = \frac{u^2-4}{u+2} = -\frac{x^{\frac23}}{u+2}. \] Par conséquent : \[ \frac{f(x)-8}{x} = -\frac1{x^{\frac13}} \cdot \frac{u^2+2u+4}{u+2}. \] Lorsque \(x\to0^+\), on a : \[ \frac{u^2+2u+4}{u+2} \longrightarrow \frac{4+4+4}{4}=3...