Correction des exercices 62 à 63 — Fonction réciproque, méthode de Newton et suites — Al Moufid
Exercice 62
On considère la fonction \(f\) définie sur \(I=[0;8]\) par : \[ f(x)=\sqrt{\left(4-\sqrt[3]{x^2}\right)^3}. \]
1-a) Montrer que : \[ \lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-8}{x}=-\infty \] et interpréter géométriquement le résultat obtenu
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Pour \(x\in[0;8]\), on a :
\[ \sqrt[3]{x^2}=x^{\frac23} \qquad\text{et}\qquad f(x)=\left(4-x^{\frac23}\right)^{\frac32}. \]De plus :
\[ f(0)=4^{\frac32}=8. \]Pour \(x\gt0\), posons :
\[ u=\sqrt{4-x^{\frac23}}. \]Alors \(u\to2\) lorsque \(x\to0^+\), et :
\[ f(x)-8=u^3-2^3=(u-2)(u^2+2u+4). \]Or :
\[ u-2 = \frac{u^2-4}{u+2} = -\frac{x^{\frac23}}{u+2}. \]Par conséquent :
\[ \frac{f(x)-8}{x} = -\frac1{x^{\frac13}} \cdot \frac{u^2+2u+4}{u+2}. \]Lorsque \(x\to0^+\), on a :
\[ \frac{u^2+2u+4}{u+2} \longrightarrow \frac{4+4+4}{4}=3 \]et :
\[ \frac1{x^{\frac13}}\longrightarrow+\infty. \]1-b) Montrer que \(f\) est strictement décroissante sur \(I\)
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La fonction \(f\) est continue sur \([0;8]\). Elle est dérivable sur \(]0;8[\), car pour \(x\in]0;8[\), on a :
\[ 4-x^{\frac23}\gt0. \]Pour \(x\in]0;8[\), on dérive :
\[ f(x)=\left(4-x^{\frac23}\right)^{\frac32}. \]Donc :
\[ f'(x) = \frac32\left(4-x^{\frac23}\right)^{\frac12} \left(-\frac23x^{-\frac13}\right). \]Ainsi :
\[ f'(x) = -\frac{\sqrt{4-x^{\frac23}}}{\sqrt[3]{x}}. \]Sur \(]0;8[\), on a :
\[ \sqrt{4-x^{\frac23}}\gt0 \quad\text{et}\quad \sqrt[3]{x}\gt0. \]Donc :
\[ f'(x)\lt0. \]1-c) Montrer que \(f\) est bijective de \(I\) vers \(I\)
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La fonction \(f\) est continue et strictement décroissante sur \([0;8]\). De plus :
\[ f(0)=8 \]et :
\[ f(8)=\left(4-\sqrt[3]{64}\right)^{\frac32} = (4-4)^{\frac32}=0. \]Donc \(f\) prend toutes les valeurs de \(0\) à \(8\), une seule fois chacune.
2-a) Montrer que la droite \((\Delta):y=x\) est un axe de symétrie de la courbe \(\mathcal C\)
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Pour tout \(x\in[0;8]\), on a :
\[ f(x)=\left(4-x^{\frac23}\right)^{\frac32}. \]Alors :
\[ (f(x))^{\frac23}=4-x^{\frac23}. \]Donc :
\[ f(f(x)) = \left(4-(f(x))^{\frac23}\right)^{\frac32} = \left(4-\left(4-x^{\frac23}\right)\right)^{\frac32}. \]Ainsi :
\[ f(f(x)) = \left(x^{\frac23}\right)^{\frac32} = x. \]On a donc :
\[ f^{-1}=f. \]2-b) En déduire une expression de \(f^{-1}(x)\), puis calculer : \[ \lim_{x\to8^-}\frac{f(x)}{x-8} \] et interpréter géométriquement le résultat
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D’après la question précédente :
On a :
\[ f(8)=0. \]Donc :
\[ \frac{f(x)}{x-8} = \frac{f(x)-f(8)}{x-8}. \]Cette limite représente le nombre dérivé à gauche de \(f\) en \(8\). Par symétrie par rapport à la droite \(y=x\), la demi-tangente verticale au point \(A(0,8)\) correspond à une demi-tangente horizontale au point \(B(8,0)\).
3) Tracer dans le même repère les courbes \(\mathcal C\) et \(\mathcal C'\)
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Comme \(f^{-1}=f\), la courbe \(\mathcal C'\) de \(f^{-1}\) est la même que la courbe \(\mathcal C\).
Pour tracer la courbe, on utilise les informations suivantes :
- la courbe passe par \(A(0,8)\) et \(B(8,0)\) ;
- elle est strictement décroissante sur \([0;8]\) ;
- elle est symétrique par rapport à la droite \(y=x\) ;
- elle admet une demi-tangente verticale en \(A(0,8)\) ;
- elle admet une demi-tangente horizontale en \(B(8,0)\).
4) Montrer que la suite de Newton vérifie \(x_{n+1}=4\sqrt[3]{x_n}\)
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Soit \((x_n)\) la suite numérique définie par : \[ x_0=2\sqrt2, \qquad x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \quad(n\in\mathbb N). \]
Pour \(x\in]0;8[\), on a :
\[ f(x)=\left(4-x^{\frac23}\right)^{\frac32} \]et :
\[ f'(x) = -\frac{\sqrt{4-x^{\frac23}}}{\sqrt[3]{x}}. \]Donc :
\[ \frac{f(x)}{f'(x)} = -\sqrt[3]{x}\left(4-x^{\frac23}\right). \]Ainsi :
\[ x-\frac{f(x)}{f'(x)} = x+\sqrt[3]{x}\left(4-x^{\frac23}\right). \]Or :
\[ \sqrt[3]{x}\cdot x^{\frac23}=x. \]Donc :
\[ x-\frac{f(x)}{f'(x)} = 4\sqrt[3]{x}. \]Par conséquent :
\[ x_{n+1}=4\sqrt[3]{x_n}. \]4-a) Montrer que \(\forall n\in\mathbb N,\ 2\sqrt2\leq x_n\lt8\)
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On a :
\[ x_0=2\sqrt2, \]donc :
\[ 2\sqrt2\leq x_0\lt8. \]Supposons que, pour un certain \(n\in\mathbb N\), on ait :
\[ 2\sqrt2\leq x_n\lt8. \]Comme la fonction \(x\mapsto4\sqrt[3]{x}\) est strictement croissante sur \([0;+\infty[\), on obtient :
\[ 4\sqrt[3]{2\sqrt2} \leq x_{n+1} \lt 4\sqrt[3]{8}. \]Or :
\[ \sqrt[3]{2\sqrt2}=\sqrt2 \qquad\text{et}\qquad \sqrt[3]{8}=2. \]Donc :
\[ 4\sqrt2\leq x_{n+1}\lt8. \]En particulier :
\[ 2\sqrt2\leq x_{n+1}\lt8. \]4-b) Étudier la monotonie de \((x_n)\) et sa convergence
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Pour tout \(n\in\mathbb N\), on a :
\[ x_{n+1}-x_n = 4\sqrt[3]{x_n}-x_n. \]Posons :
\[ t_n=\sqrt[3]{x_n}. \]Comme :
\[ 2\sqrt2\leq x_n\lt8, \]on a :
\[ 0\lt t_n\leq2. \]Alors :
\[ x_{n+1}-x_n = 4t_n-t_n^3 = t_n(4-t_n^2). \]Puisque \(0\lt t_n\leq2\), on a :
\[ 4-t_n^2\geq0. \]Donc :
\[ x_{n+1}-x_n\geq0. \]D’après la question précédente, elle est majorée par \(8\). Donc elle est convergente.
4-c) Déterminer la limite de \((x_n)\)
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Soit :
\[ \ell=\lim_{n\to+\infty}x_n. \]Comme :
\[ 2\sqrt2\leq x_n\lt8, \]on a :
\[ 2\sqrt2\leq\ell\leq8. \]En passant à la limite dans la relation :
\[ x_{n+1}=4\sqrt[3]{x_n}, \]on obtient :
\[ \ell=4\sqrt[3]{\ell}. \]Comme \(\ell\gt0\), on divise par \(\sqrt[3]{\ell}\) :
\[ \ell^{\frac23}=4. \]Donc :
\[ \ell=8. \]Exercice 63
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \[ I=]\sqrt3;+\infty[ \] par : \[ f(x)=\frac12\left(\frac3x+x\right). \]
1-a) Montrer que \(f\) est strictement croissante sur \(I\)
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La fonction \(f\) est dérivable sur \(I\), car \(x\neq0\) sur \(I\). On a :
\[ f'(x)=\frac12\left(1-\frac3{x^2}\right). \]Pour \(x\in I\), on a :
\[ x\gt\sqrt3. \]Donc :
\[ x^2\gt3. \]Ainsi :
\[ 1-\frac3{x^2}\gt0. \]Donc :
\[ f'(x)\gt0. \]1-b) En déduire que : \[ \forall x\in I,\qquad f(x)\geq\sqrt3 \]
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On a :
\[ \lim_{x\to\sqrt3^+}f(x) = \frac12\left(\frac3{\sqrt3}+\sqrt3\right) = \sqrt3. \]Comme \(f\) est strictement croissante sur \(I\), on a, pour tout \(x\in I\) :
2-a) Montrer que : \[ \forall x\in I,\qquad 0\leq f'(x)\leq\frac12 \]
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Pour \(x\in I\), on a :
\[ f'(x)=\frac12\left(1-\frac3{x^2}\right). \]Comme \(x^2\gt3\), on a :
\[ 0\lt\frac3{x^2}\lt1. \]Donc :
\[ 0\lt1-\frac3{x^2}\lt1. \]En multipliant par \(\dfrac12\), on obtient :
2-b) En déduire que pour tout \(x\in I\) : \[ 0\leq f(x)-\sqrt3\leq\frac12(x-\sqrt3) \]
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Soit \(x\in I\). La fonction \(f\) est continue sur \([\sqrt3,x]\) si on prolonge \(f\) en posant :
\[ f(\sqrt3)=\sqrt3, \]et elle est dérivable sur \(]\sqrt3,x[\).
D’après le théorème des accroissements finis, il existe \(c\in]\sqrt3,x[\) tel que :
\[ f(x)-f(\sqrt3) = (x-\sqrt3)f'(c). \]Or :
\[ 0\leq f'(c)\leq\frac12. \]Comme \(x-\sqrt3\gt0\), on obtient :
3) Étude de la suite \((u_n)\)
On considère la suite numérique \((u_n)\) définie par : \[ u_0=4, \qquad u_{n+1}=f(u_n) \quad\text{pour tout }n\in\mathbb N. \]
3-a) Montrer que \(\forall n\in\mathbb N,\ u_n\gt\sqrt3\)
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On a :
\[ u_0=4\gt\sqrt3. \]Supposons que :
\[ u_n\gt\sqrt3. \]Alors \(u_n\in I\), et d’après la question 1-b :
\[ u_{n+1}=f(u_n)\gt\sqrt3. \]3-b) En déduire que pour tout \(n\in\mathbb N\) : \[ 0\leq u_{n+1}-\sqrt3\leq \frac12(u_n-\sqrt3) \]
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Comme \(u_n\in I\), on applique l’inégalité de la question 2-b à \(x=u_n\). On obtient :
\[ 0\leq f(u_n)-\sqrt3\leq\frac12(u_n-\sqrt3). \]Or :
\[ u_{n+1}=f(u_n). \]3-c) Montrer par récurrence que : \[ \forall n\in\mathbb N,\qquad 0\leq u_n-\sqrt3\leq\left(\frac12\right)^n(4-\sqrt3) \] puis en déduire que \((u_n)\) est convergente
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Pour \(n=0\), on a :
\[ 0\leq u_0-\sqrt3=4-\sqrt3 = \left(\frac12\right)^0(4-\sqrt3). \]La propriété est donc vraie au rang \(0\).
Supposons maintenant que :
\[ 0\leq u_n-\sqrt3\leq\left(\frac12\right)^n(4-\sqrt3). \]D’après la question précédente :
\[ 0\leq u_{n+1}-\sqrt3\leq\frac12(u_n-\sqrt3). \]Donc :
\[ 0\leq u_{n+1}-\sqrt3 \leq \frac12\left(\frac12\right)^n(4-\sqrt3). \]C’est-à-dire :
\[ 0\leq u_{n+1}-\sqrt3 \leq \left(\frac12\right)^{n+1}(4-\sqrt3). \]Comme :
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac12\right)^n(4-\sqrt3)=0, \]on obtient, par encadrement :
\[ \lim_{n\to+\infty}(u_n-\sqrt3)=0. \]Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt
Travail personnel destiné à l’accompagnement des élèves de 2e Bac Sciences Mathématiques.
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