Parcours Maths Maroc

Correction des exercices 08 à 11 — Monotonie et convergence des suites Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques — Suites numériques Menu des exercices Exercice 08 Exercice 09 Exercice 10 Exercice 11 Exercice 08 On considère la suite \((u_n)\) définie par : \[ u_0=\frac12 \qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=\frac{2u_n+1}{u_n+1} \quad\text{pour tout } n\in\mathbb N. \] On veut montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N^*\), on a : \[ 1\le u_n\le2. \] Puis on étudiera la monotonie de la suite et on conclura sur sa convergence. 1. Encadrement de \(u_n\) Lire la réponse + Masquer la réponse − On raisonne par récurrence à partir du rang \(1\), car \(u_0=\frac12\) n’appartient pas à l’intervalle \([1,2]\). Calculons d’abord \(u_1\) : \[ u_1=\frac{2u_0+1}{u_0+1} = \frac{2\cdot\frac12+1}{\frac12+1} = \frac{2}{\frac32} = \frac43. \] Donc : \[ 1\le u_1\le2. \] Supposon...