Correction des exercices 08 à 11 — Monotonie et convergence des suites
Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques — Suites numériques
Exercice 08
On considère la suite \((u_n)\) définie par :
\[ u_0=\frac12 \qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=\frac{2u_n+1}{u_n+1} \quad\text{pour tout } n\in\mathbb N. \]On veut montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N^*\), on a :
\[ 1\le u_n\le2. \]Puis on étudiera la monotonie de la suite et on conclura sur sa convergence.
1. Encadrement de \(u_n\)
Lire la réponse +Masquer la réponse −
On raisonne par récurrence à partir du rang \(1\), car \(u_0=\frac12\) n’appartient pas à l’intervalle \([1,2]\).
Calculons d’abord \(u_1\) :
\[ u_1=\frac{2u_0+1}{u_0+1} = \frac{2\cdot\frac12+1}{\frac12+1} = \frac{2}{\frac32} = \frac43. \]Donc :
\[ 1\le u_1\le2. \]Supposons maintenant que, pour un certain entier \(n\ge1\), on ait :
\[ 1\le u_n\le2. \]On doit montrer que :
\[ 1\le u_{n+1}\le2. \]D’après la relation de récurrence :
\[ u_{n+1}=\frac{2u_n+1}{u_n+1}. \]Comme \(u_n\ge1\), on a \(u_n+1\gt0\). On calcule :
\[ u_{n+1}-1 = \frac{2u_n+1}{u_n+1}-1 = \frac{u_n}{u_n+1}. \]Or \(u_n\ge1\), donc :
\[ \frac{u_n}{u_n+1}\ge0. \]Ainsi :
\[ u_{n+1}\ge1. \]D’autre part :
\[ 2-u_{n+1} = 2-\frac{2u_n+1}{u_n+1} = \frac{2u_n+2-2u_n-1}{u_n+1} = \frac{1}{u_n+1}. \]Comme \(u_n+1\gt0\), on a :
\[ 2-u_{n+1}\gt0. \]Donc :
\[ u_{n+1}\le2. \]Par récurrence, on obtient :
\[ \boxed{(\forall n\in\mathbb N^*)\qquad 1\le u_n\le2.} \]2. Monotonie de la suite
Lire la réponse +Masquer la réponse −
Pour comparer deux termes consécutifs, on peut utiliser la relation de récurrence. On remarque d’abord que :
\[ u_{n+1}=\frac{2u_n+1}{u_n+1}. \]Pour \(n\ge1\), on a aussi :
\[ u_n=\frac{2u_{n-1}+1}{u_{n-1}+1}. \]On calcule alors :
\[ u_{n+1}-u_n = \frac{2u_n+1}{u_n+1} - \frac{2u_{n-1}+1}{u_{n-1}+1}. \]En réduisant au même dénominateur :
\[ u_{n+1}-u_n = \frac{(2u_n+1)(u_{n-1}+1)-(2u_{n-1}+1)(u_n+1)} {(u_n+1)(u_{n-1}+1)}. \]Le numérateur se simplifie :
\[ (2u_n+1)(u_{n-1}+1)-(2u_{n-1}+1)(u_n+1) = u_n-u_{n-1}. \]Donc :
\[ u_{n+1}-u_n = \frac{u_n-u_{n-1}}{(u_n+1)(u_{n-1}+1)}. \]Or les dénominateurs sont strictement positifs. Ainsi, le signe de \(u_{n+1}-u_n\) est le même que celui de \(u_n-u_{n-1}\).
Calculons le premier écart :
\[ u_1-u_0=\frac43-\frac12=\frac{8-3}{6}=\frac56\gt0. \]Par récurrence sur les différences, on obtient :
\[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad u_{n+1}-u_n\ge0. \]Donc la suite \((u_n)\) est croissante.
\[ \boxed{(u_n)\text{ est croissante.}} \]3. Convergence de la suite
Lire la réponse +Masquer la réponse −
La suite \((u_n)\) est croissante et elle est majorée par \(2\). D’après le théorème de convergence monotone, toute suite croissante et majorée est convergente.
\[ \boxed{(u_n)\text{ est convergente.}} \]Exercice 09
On considère la suite \((u_n)\) définie par :
\[ u_0=2 \qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=\frac12(1+u_n)^2 \quad\text{pour tout } n\in\mathbb N. \]1. Monotonie de la suite
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On calcule la différence :
\[ u_{n+1}-u_n = \frac12(1+u_n)^2-u_n. \]En développant :
\[ u_{n+1}-u_n = \frac12(1+2u_n+u_n^2)-u_n = \frac12+\frac{u_n^2}{2}. \]Donc :
\[ u_{n+1}-u_n=\frac{u_n^2+1}{2}. \]Cette quantité est strictement positive pour tout \(n\), donc :
\[ u_{n+1}\gt u_n. \]Par conséquent :
\[ \boxed{(u_n)\text{ est strictement croissante.}} \]2. Minoration de \(u_{n+1}-u_n\)
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Comme la suite est croissante et \(u_0=2\), on a :
\[ u_n\ge2 \qquad\text{pour tout } n\in\mathbb N. \]Donc :
\[ u_n^2\ge4. \]D’où :
\[ u_{n+1}-u_n = \frac{u_n^2+1}{2} \ge \frac{4+1}{2} = \frac52. \]Ainsi :
\[ \boxed{(\forall n\in\mathbb N)\qquad u_{n+1}-u_n\ge\frac52.} \]3. Minoration de \(u_n\) et limite
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On utilise l’inégalité précédente :
\[ u_{n+1}-u_n\ge\frac52. \]En sommant de \(0\) à \(n-1\), on obtient :
\[ (u_1-u_0)+(u_2-u_1)+\cdots+(u_n-u_{n-1}) \ge n\cdot\frac52. \]Le membre de gauche est une somme télescopique :
\[ u_n-u_0\ge\frac{5n}{2}. \]Comme \(u_0=2\), il vient :
\[ u_n\ge2+\frac{5n}{2}. \]Donc :
\[ \boxed{(\forall n\in\mathbb N)\qquad u_n\ge2+\frac{5n}{2}.} \]Or :
\[ 2+\frac{5n}{2}\to+\infty. \]Par comparaison :
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty.} \]Exercice 10
On considère la suite \((u_n)_{n\ge1}\) définie par :
\[ u_n=1+\frac1{2^3}+\frac1{3^3}+\cdots+\frac1{n^3}. \]1. Monotonie de la suite
Lire la réponse +Masquer la réponse −
Pour tout \(n\ge1\), on a :
\[ u_{n+1}=1+\frac1{2^3}+\frac1{3^3}+\cdots+\frac1{n^3}+\frac1{(n+1)^3}. \]Donc :
\[ u_{n+1}-u_n=\frac1{(n+1)^3}. \]Or :
\[ \frac1{(n+1)^3}\gt0. \]Par conséquent :
\[ \boxed{(u_n)_{n\ge1}\text{ est croissante.}} \]2. Majoration de \(u_n\)
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On veut montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N^*\) :
\[ u_n\le2-\frac1n. \]Pour tout entier \(k\ge2\), on a :
\[ k(k-1)\le k^3. \]Les deux membres sont strictement positifs, donc en passant aux inverses :
\[ \frac1{k^3}\le\frac1{k(k-1)}. \]Or :
\[ \frac1{k(k-1)} = \frac1{k-1}-\frac1k. \]Ainsi :
\[ \sum_{k=2}^{n}\frac1{k^3} \le \sum_{k=2}^{n}\left(\frac1{k-1}-\frac1k\right). \]La somme à droite est télescopique :
\[ \sum_{k=2}^{n}\left(\frac1{k-1}-\frac1k\right) = 1-\frac1n. \]Donc :
\[ u_n = 1+\sum_{k=2}^{n}\frac1{k^3} \le 1+\left(1-\frac1n\right). \]Par conséquent :
\[ \boxed{(\forall n\in\mathbb N^*)\qquad u_n\le2-\frac1n.} \]3. Convergence de la suite
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La suite \((u_n)\) est croissante. De plus :
\[ u_n\le2-\frac1n\le2. \]Donc \((u_n)\) est majorée par \(2\). Une suite croissante et majorée est convergente.
\[ \boxed{(u_n)_{n\ge1}\text{ est convergente.}} \]Exercice 11
On considère la suite \((u_n)\) définie par :
\[ u_0=1 \qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=\sqrt[3]{3u_n+1}-1 \quad\text{pour tout } n\in\mathbb N. \]1. Encadrement de \(u_n\)
Lire la réponse +Masquer la réponse −
Montrons par récurrence que :
\[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad 0\le u_n\le1. \]Pour \(n=0\), on a :
\[ u_0=1. \]Donc :
\[ 0\le u_0\le1. \]Supposons maintenant que, pour un certain entier \(n\), on ait :
\[ 0\le u_n\le1. \]Alors :
\[ 1\le3u_n+1\le4. \]Comme la fonction \(x\mapsto \sqrt[3]{x}\) est croissante sur \(\mathbb R\), on obtient :
\[ 1\le \sqrt[3]{3u_n+1}\le \sqrt[3]{4}. \]Or \(\sqrt[3]{4}\lt2\), donc :
\[ 0\le \sqrt[3]{3u_n+1}-1\lt1. \]C’est-à-dire :
\[ 0\le u_{n+1}\le1. \]Par récurrence :
\[ \boxed{(\forall n\in\mathbb N)\qquad 0\le u_n\le1.} \]2. Monotonie de la suite
Lire la réponse +Masquer la réponse −
On veut comparer \(u_{n+1}\) et \(u_n\). D’après la relation de récurrence :
\[ u_{n+1}\le u_n \]équivaut à :
\[ \sqrt[3]{3u_n+1}-1\le u_n. \]Donc :
\[ \sqrt[3]{3u_n+1}\le u_n+1. \]Comme \(u_n\ge0\), les deux membres sont positifs. On peut donc élever au cube :
\[ 3u_n+1\le (u_n+1)^3. \]Or :
\[ (u_n+1)^3=u_n^3+3u_n^2+3u_n+1. \]L’inégalité devient :
\[ 3u_n+1\le u_n^3+3u_n^2+3u_n+1. \]Ce qui équivaut à :
\[ 0\le u_n^3+3u_n^2. \]C’est-à-dire :
\[ 0\le u_n^2(u_n+3). \]Cette inégalité est vraie puisque \(u_n\ge0\). Donc :
\[ u_{n+1}\le u_n. \]Ainsi :
\[ \boxed{(u_n)\text{ est décroissante.}} \]3. Convergence de la suite
Lire la réponse +Masquer la réponse −
La suite \((u_n)\) est décroissante et minorée par \(0\). D’après le théorème de convergence monotone, toute suite décroissante et minorée est convergente.
\[ \boxed{(u_n)\text{ est convergente.}} \]Cette correction concerne les exercices 08 à 11 du chapitre Suites numériques du manuel Al Moufid, niveau 2e Bac Sciences Mathématiques. Ces exercices portent sur la monotonie des suites, les suites bornées et le critère de convergence monotone.
L’objectif est de savoir montrer qu’une suite est convergente en deux étapes : établir d’abord qu’elle est monotone, puis montrer qu’elle est bornée. Cette méthode est fondamentale dans l’étude des suites numériques.
Pour étudier la monotonie d’une suite récurrente, on peut comparer \(u_{n+1}\) et \(u_n\), ou bien étudier le signe de \(u_{n+1}-u_n\). Lorsque la suite est définie par une fonction, il faut aussi vérifier que l’intervalle où vivent les termes est stable.
Dans ce bloc, on a utilisé les méthodes suivantes :
1. Montrer qu’un intervalle est stable par récurrence.
2. Étudier la monotonie avec le signe de \(u_{n+1}-u_n\).
3. Utiliser une somme télescopique pour obtenir une majoration.
4. Conclure avec le théorème de convergence monotone : une suite croissante majorée converge, et une suite décroissante minorée converge.
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- Préparation aux devoirs surveillés — 2e Bac Sciences Mathématiques
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt
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