Correction des exercices 08 à 11 — Suites numériques : monotonie et convergence — Manuel Al Moufid

Correction des exercices 08 à 11 — Suites numériques

Manuel Al Moufid · 2e Bac Sciences Mathématiques

08 09 10 11

Ces quatre exercices approfondissent l’étude des suites en reliant trois questions essentielles : comment prouver qu’une suite reste dans un intervalle, comment déterminer son sens de variation et comment en déduire sa convergence. Pour les suites définies par récurrence, on utilise souvent une récurrence afin de contrôler les termes, puis on étudie les différences successives. Lorsqu’une suite est croissante et majorée, ou décroissante et minorée, le théorème de convergence monotone permet de conclure. D’autres situations demandent une comparaison avec une suite qui tend vers \(+\infty\) ou l’utilisation d’une somme télescopique. Enfin, lorsqu’une suite récurrente est déjà connue comme convergente, la continuité de la fonction associée permet de déterminer les valeurs possibles de sa limite.

Exercice 08

Donnée de l’exercice.

On considère la suite \((u_n)\) définie par :

\[ u_0=\frac12 \qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=\frac{2u_n+1}{u_n+1} \quad\text{pour tout }n\in\mathbb N. \]

Repère de cours — Récurrence et convergence monotone

Pour contrôler une suite récurrente, on peut montrer par récurrence que ses termes restent dans un intervalle donné. Une fois la monotonie obtenue, le cours donne le théorème de convergence monotone : toute suite croissante et majorée est convergente.

Si ensuite \(u_{n+1}=f(u_n)\), que la suite converge vers \(\ell\) et que \(f\) est continue sur l’intervalle considéré, alors la limite vérifie \(\ell=f(\ell)\).

Question 1

Montrer par récurrence que, pour tout \(n\in\mathbb N^*\) :

\[ 1\le u_n\le2. \]

Méthode. La propriété commence au rang \(1\). On calcule donc \(u_1\), puis on suppose \(1\le u_n\le2\). Il faut alors vérifier que le dénominateur \(u_n+1\) est positif et montrer séparément \(u_{n+1}\ge1\) et \(u_{n+1}\le2\).

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Le terme \(u_0\) est défini et \(u_0+1=\frac32\gt0\), donc \(u_1\) existe. On calcule :

\[ u_1=\frac{2\times\frac12+1}{\frac12+1}=\frac43. \]

Ainsi, \(1\le u_1\le2\).

Supposons que, pour un entier \(n\ge1\), le terme \(u_n\) soit défini et vérifie \(1\le u_n\le2\). Alors \(u_n+1\gt0\), donc \(u_{n+1}\) est défini. De plus :

\[ u_{n+1}-1 =\frac{2u_n+1}{u_n+1}-1 =\frac{u_n}{u_n+1}\ge0, \]

et :

\[ 2-u_{n+1} =2-\frac{2u_n+1}{u_n+1} =\frac1{u_n+1}\gt0. \]

On obtient donc \(1\le u_{n+1}\le2\). L’initialisation et l’hérédité étant établies, la propriété est vraie par récurrence.

\[ \boxed{\forall n\in\mathbb N^*,\qquad 1\le u_n\le2.} \]

Tous les termes de la suite sont ainsi bien définis.

Interprétation. À partir du rang \(1\), tous les termes restent dans l’intervalle \([1,2]\). On dispose ainsi à la fois d’un encadrement et de la positivité nécessaire des dénominateurs.

Question 2

Montrer que la suite \((u_n)\) est croissante.

Méthode. La correction relie le signe de \(u_{n+1}-u_n\) à celui de la différence précédente \(u_n-u_{n-1}\). Les dénominateurs étant positifs, le signe se conserve. Il suffit alors de partir de \(u_1-u_0\gt0\).

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On a :

\[ u_1-u_0=\frac43-\frac12=\frac56\gt0. \]

Pour tout \(n\ge1\), les dénominateurs sont strictement positifs et :

\[ \begin{aligned} u_{n+1}-u_n &=\frac{2u_n+1}{u_n+1} -\frac{2u_{n-1}+1}{u_{n-1}+1}\\ &=\frac{u_n-u_{n-1}} {(u_n+1)(u_{n-1}+1)}. \end{aligned} \]

Le signe de \(u_{n+1}-u_n\) est donc le même que celui de \(u_n-u_{n-1}\). Comme \(u_1-u_0\gt0\), une récurrence sur les différences successives donne \(u_{n+1}-u_n\gt0\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

\[ \boxed{(u_n)\text{ est strictement croissante.}} \]

Interprétation. La positivité de la première différence se transmet de proche en proche : chaque terme est strictement supérieur au précédent.

Question 3

En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.

Méthode. Les deux conditions du théorème de convergence monotone sont maintenant réunies : la suite est croissante et majorée par \(2\). Une fois sa convergence établie, la continuité de la fonction associée permet d’identifier sa limite.

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La suite \((u_n)\) est croissante et majorée par \(2\). D’après le théorème de convergence monotone, elle est donc convergente.

Notons \(\ell\) sa limite. Comme \(1\le\ell\le2\) et que la fonction \(x\mapsto\frac{2x+1}{x+1}\) est continue sur \([1,2]\), le passage à la limite donne :

\[ \ell=\frac{2\ell+1}{\ell+1}. \]

Ainsi, \(\ell^2-\ell-1=0\). Parmi les deux solutions, seule \(\frac{1+\sqrt5}{2}\) appartient à \([1,2]\).

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=\frac{1+\sqrt5}{2}.} \]

Interprétation. Le théorème prouve d’abord la convergence. L’équation obtenue ensuite par continuité sert seulement à déterminer la valeur de la limite.

Exercice 09

Donnée de l’exercice.

Soit \((u_n)\) la suite numérique définie par :

\[ u_0=2 \qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=\frac12(1+u_n)^2 \quad\text{pour tout }n\in\mathbb N. \]

Repère de cours — Monotonie et comparaison

Pour étudier la monotonie, on peut examiner le signe de \(u_{n+1}-u_n\). Si l’on obtient ensuite une minoration de la forme \(u_n\ge v_n\) avec \(v_n\to+\infty\), le résultat sur les limites et l’ordre permet de conclure que \(u_n\to+\infty\).

Question 1

Montrer que la suite \((u_n)\) est croissante.

Méthode. On calcule directement \(u_{n+1}-u_n\). Si cette différence est strictement positive pour tout \(n\), la définition de la monotonie donne immédiatement que la suite est strictement croissante.

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La relation de récurrence est polynomiale en \(u_n\) ; tous les termes sont donc définis. Pour tout \(n\in\mathbb N\) :

\[ \begin{aligned} u_{n+1}-u_n &=\frac12(1+u_n)^2-u_n\\ &=\frac12\left(1+2u_n+u_n^2\right)-u_n\\ &=\frac{u_n^2+1}{2}\gt0. \end{aligned} \]

\[ \boxed{(u_n)\text{ est strictement croissante.}} \]

Interprétation. Chaque différence successive est positive ; les termes augmentent donc strictement avec le rang.

Question 2.a

Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N\) :

\[ u_{n+1}-u_n\ge\frac52. \]

Méthode. Comme la suite est croissante et \(u_0=2\), on dispose de la minoration \(u_n\ge2\). On l’utilise dans l’expression déjà obtenue de \(u_{n+1}-u_n\).

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La suite est croissante et \(u_0=2\), donc \(u_n\ge2\) pour tout \(n\in\mathbb N\). Ainsi, \(u_n^2\ge4\), puis :

\[ u_{n+1}-u_n =\frac{u_n^2+1}{2} \ge\frac{4+1}{2}=\frac52. \]

\[ \boxed{\forall n\in\mathbb N,\qquad u_{n+1}-u_n\ge\frac52.} \]

Interprétation. Les termes n’augmentent pas seulement : chaque passage au terme suivant ajoute au moins \(\frac52\).

Question 2.b

En déduire que, pour tout \(n\in\mathbb N\) :

\[ u_n\ge2+\frac{5n}{2}. \]

Préciser alors la limite de la suite \((u_n)\).

Méthode. On additionne les inégalités précédentes de \(k=0\) à \(k=n-1\). La somme des différences \(u_{k+1}-u_k\) est télescopique et se réduit à \(u_n-u_0\). La minoration obtenue permet ensuite la comparaison avec une suite tendant vers \(+\infty\).

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Pour \(n\ge1\), on somme les inégalités \(u_{k+1}-u_k\ge\frac52\) de \(k=0\) à \(k=n-1\) :

\[ \begin{aligned} u_n-u_0 &=\sum_{k=0}^{n-1}(u_{k+1}-u_k)\\ &\ge\sum_{k=0}^{n-1}\frac52 =\frac{5n}{2}. \end{aligned} \]

Comme \(u_0=2\), on obtient \(u_n\ge2+\frac{5n}{2}\). Cette inégalité reste vraie pour \(n=0\).

Or \(2+\frac{5n}{2}\to+\infty\). Le théorème de comparaison donne donc \(u_n\to+\infty\).

\[ \boxed{\forall n\in\mathbb N,\qquad u_n\ge2+\frac{5n}{2}.} \] \[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty.} \]

Interprétation. La suite est située au-dessus d’une expression affine qui tend vers \(+\infty\) ; elle doit donc elle-même tendre vers \(+\infty\).

Exercice 10

Donnée de l’exercice.

On considère la suite \((u_n)_{n\ge1}\) définie, pour tout \(n\in\mathbb N^*\), par :

\[ u_n=1+\frac1{2^3}+\frac1{3^3}+\cdots+\frac1{n^3}. \]

Repère de cours — Suite croissante et majorée

La croissance d’une somme partielle s’étudie naturellement en comparant \(u_{n+1}\) et \(u_n\). Pour prouver ensuite la convergence, il suffit d’obtenir un majorant indépendant de \(n\). Ici, la majoration repose sur une somme télescopique.

Question 1

Montrer que la suite \((u_n)_{n\ge1}\) est croissante.

Méthode. Entre \(u_n\) et \(u_{n+1}\), un seul nouveau terme apparaît. On écrit donc \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\) puis on étudie le signe de leur différence.

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La suite est explicitement définie pour tout \(n\ge1\). On a :

\[ u_{n+1}=u_n+\frac1{(n+1)^3}. \]

Ainsi, pour tout \(n\ge1\) :

\[ u_{n+1}-u_n=\frac1{(n+1)^3}\gt0. \]

\[ \boxed{(u_n)_{n\ge1}\text{ est strictement croissante.}} \]

Interprétation. À chaque rang, on ajoute un terme strictement positif ; la somme partielle augmente donc strictement.

Question 2

Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N^*\) :

\[ u_n\le2-\frac1n. \]

Méthode. On majore chaque terme \(1/k^3\) par une différence de deux fractions consécutives. Avant de passer aux inverses, on vérifie que les quantités sont positives. La sommation fait ensuite apparaître une somme télescopique.

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Pour \(n=1\), on a \(u_1=1=2-\frac11\).

Soit maintenant \(n\ge2\). Pour tout entier \(k\ge2\), les nombres considérés sont strictement positifs et :

\[ k(k-1)\le k^3. \]

En passant aux inverses, puis en décomposant la fraction :

\[ \frac1{k^3} \le\frac1{k(k-1)} =\frac1{k-1}-\frac1k. \]

En sommant de \(k=2\) à \(k=n\), on obtient une somme télescopique :

\[ \begin{aligned} u_n &=1+\sum_{k=2}^{n}\frac1{k^3}\\ &\le1+\sum_{k=2}^{n}\left(\frac1{k-1}-\frac1k\right)\\ &=1+1-\frac1n =2-\frac1n. \end{aligned} \]

\[ \boxed{\forall n\in\mathbb N^*,\qquad u_n\le2-\frac1n.} \]

Interprétation. La somme est ainsi contrôlée par une expression strictement inférieure à \(2\), ce qui fournit le majorant nécessaire pour la convergence.

Question 3

En déduire que la suite \((u_n)_{n\ge1}\) est convergente.

Méthode. Il suffit maintenant de réunir les deux résultats précédents : \((u_n)\) est croissante et elle est majorée par \(2\). Le théorème de convergence monotone s’applique directement.

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La suite \((u_n)\) est croissante. De plus, pour tout \(n\ge1\) :

\[ u_n\le2-\frac1n\lt2. \]

Elle est donc majorée par \(2\). D’après le théorème de convergence monotone, elle est convergente.

\[ \boxed{(u_n)_{n\ge1}\text{ est convergente.}} \]

Interprétation. La croissance seule ne suffisait pas. C’est l’existence du majorant \(2\) qui permet d’appliquer le théorème de convergence monotone.

Exercice 11

Donnée de l’exercice.

Soit \((u_n)\) la suite numérique définie par :

\[ u_0=1 \qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=\sqrt[3]{3u_n+1}-1 \quad\text{pour tout }n\in\mathbb N. \]

Repère de cours — Intervalle stable et point fixe

Pour une suite récurrente, une première étape classique consiste à montrer par récurrence que les termes restent dans un intervalle stable. On étudie ensuite la monotonie, puis on applique le théorème de convergence monotone.

Après avoir établi la convergence, la continuité de la fonction \(x\mapsto\sqrt[3]{3x+1}-1\) permet de passer à la limite dans la relation de récurrence. On conserve alors seulement les solutions compatibles avec l’encadrement déjà démontré.

Question 1

Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N\) :

\[ 0\le u_n\le1. \]

Méthode. On raisonne par récurrence. L’hypothèse \(0\le u_n\le1\) permet d’encadrer \(3u_n+1\). Comme la fonction racine cubique est croissante sur \(\mathbb R\), l’ordre est conservé.

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La racine cubique est définie sur \(\mathbb R\), donc chaque terme existe dès que le précédent est défini.

Initialisation. On a \(u_0=1\), donc \(0\le u_0\le1\).

Hérédité. Supposons que, pour un entier \(n\in\mathbb N\), \(0\le u_n\le1\). Alors :

\[ 1\le3u_n+1\le4. \]

La fonction racine cubique étant croissante sur \(\mathbb R\), on obtient :

\[ 1\le\sqrt[3]{3u_n+1}\le\sqrt[3]{4}\lt2. \]

Après soustraction de \(1\) :

\[ 0\le u_{n+1}\lt1. \]

L’initialisation et l’hérédité donnent le résultat par récurrence.

\[ \boxed{\forall n\in\mathbb N,\qquad 0\le u_n\le1.} \]

L’intervalle \([0,1]\) est stable et tous les termes sont bien définis.

Interprétation. Tous les termes restent dans \([0,1]\). Cette information sera utilisée à la fois pour la monotonie et pour le choix final de la limite.

Question 2

Étudier la monotonie de la suite \((u_n)\).

Méthode. On cherche à montrer \(u_{n+1}\le u_n\). Comme la fonction cube est strictement croissante sur \(\mathbb R\), l’inégalité comportant la racine cubique peut être transformée en une inégalité algébrique équivalente.

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Pour tout \(n\in\mathbb N\), on a \(u_n\ge0\). Comme la fonction cube est strictement croissante sur \(\mathbb R\) :

\[ \begin{aligned} u_{n+1}\le u_n &\iff \sqrt[3]{3u_n+1}\le u_n+1\\ &\iff 3u_n+1\le(u_n+1)^3\\ &\iff 0\le u_n^3+3u_n^2\\ &\iff 0\le u_n^2(u_n+3). \end{aligned} \]

La dernière inégalité est vraie puisque \(u_n\ge0\). Ainsi, \(u_{n+1}\le u_n\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

\[ \boxed{(u_n)\text{ est décroissante.}} \]

Interprétation. L’encadrement obtenu à la première question garantit précisément le signe nécessaire pour conclure que chaque terme est inférieur ou égal au précédent.

Question 3

En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.

Méthode. La suite est décroissante et minorée par \(0\), donc le théorème de convergence monotone donne sa convergence. Une fois cette convergence acquise, on passe à la limite dans la relation de récurrence grâce à la continuité de la fonction associée.

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La suite \((u_n)\) est décroissante et minorée par \(0\). D’après le théorème de convergence monotone, elle est donc convergente.

Notons \(\ell\) sa limite. On sait que \(0\le\ell\le1\). La fonction \(x\mapsto\sqrt[3]{3x+1}-1\) est continue sur \([0,1]\), donc :

\[ \ell=\sqrt[3]{3\ell+1}-1. \]

Ainsi :

\[ (\ell+1)^3=3\ell+1 \iff \ell^2(\ell+3)=0. \]

Les solutions sont \(0\) et \(-3\), mais seule \(0\) appartient à \([0,1]\).

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=0.} \]

Interprétation. L’équation du point fixe fournit deux solutions algébriques, mais l’encadrement \(0\le\ell\le1\) permet de retenir uniquement \(\ell=0\).

À retenir

• Pour une suite récurrente, contrôler d’abord les termes par récurrence lorsqu’un intervalle stable est nécessaire.
• La monotonie peut être étudiée par le signe de \(u_{n+1}-u_n\) ou par une comparaison directe entre deux termes consécutifs.
• Une suite croissante et majorée, ou décroissante et minorée, est convergente.
• L’équation \(\ell=f(\ell)\) sert à déterminer une limite après avoir établi la convergence ; elle ne remplace pas la preuve de convergence.

Conclusion générale.

Ces exercices mettent en place une démarche essentielle pour l’étude des suites : obtenir d’abord des informations sur les termes, étudier ensuite la monotonie, puis vérifier les hypothèses d’un théorème de convergence. Les exercices 08 et 11 montrent particulièrement le rôle d’un intervalle stable dans une suite récurrente. L’exercice 09 utilise une minoration obtenue par sommation pour établir une limite infinie, tandis que l’exercice 10 transforme une majoration terme à terme en somme télescopique. Dans chaque cas, la conclusion repose sur une règle précise dont les conditions ont été vérifiées avant son application.

Ressources liées

• Suites numériques — Al Moufid
• Correction des exercices 04 à 07
• Exercices résolus — Al Moufid

Correction rédigée par Professeur Hammou Boudraa — Parcours Maths Maroc (PMM)
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt

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