Parcours Maths Maroc

Correction de l’exercice 48 — Suite de Fibonacci, formule de Binet et nombre d’or Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques Menu de l’exercice 48 Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Énoncé : Soit \((\phi_n)\) la suite réelle définie par : \[ \phi_0=0, \qquad \phi_1=1 \] et, pour tout \(n\in\mathbb N\) : \[ \phi_{n+2}=\phi_{n+1}+\phi_n. \] 1. Montrer par récurrence que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad \phi_n = \frac{\sqrt5}{5} \left[ \left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n \right]. \] 2. Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad \phi_{n+1}^{\,2}-\phi_n\phi_{n+2}=(-1)^n. \] 3. Établir que la suite : \[ \left( \frac{\phi_{n+1}}{\phi_n} \right)_{n\ge1} \] converge et trouver sa limite. 4. Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N\) : \[ \sum_{k=0}^...