Correction de l’exercice 48 — Suite de Fibonacci, formule de Binet et nombre d’or
Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques
Énoncé :
Soit \((\phi_n)\) la suite réelle définie par : \[ \phi_0=0, \qquad \phi_1=1 \] et, pour tout \(n\in\mathbb N\) : \[ \phi_{n+2}=\phi_{n+1}+\phi_n. \] 1. Montrer par récurrence que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad \phi_n = \frac{\sqrt5}{5} \left[ \left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n \right]. \] 2. Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad \phi_{n+1}^{\,2}-\phi_n\phi_{n+2}=(-1)^n. \] 3. Établir que la suite : \[ \left( \frac{\phi_{n+1}}{\phi_n} \right)_{n\ge1} \] converge et trouver sa limite.
4. Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N\) : \[ \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\phi_k=\phi_{2n} \] et : \[ \sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}\phi_k=-\phi_n. \]
Soit \((\phi_n)\) la suite réelle définie par : \[ \phi_0=0, \qquad \phi_1=1 \] et, pour tout \(n\in\mathbb N\) : \[ \phi_{n+2}=\phi_{n+1}+\phi_n. \] 1. Montrer par récurrence que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad \phi_n = \frac{\sqrt5}{5} \left[ \left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n \right]. \] 2. Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad \phi_{n+1}^{\,2}-\phi_n\phi_{n+2}=(-1)^n. \] 3. Établir que la suite : \[ \left( \frac{\phi_{n+1}}{\phi_n} \right)_{n\ge1} \] converge et trouver sa limite.
4. Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N\) : \[ \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\phi_k=\phi_{2n} \] et : \[ \sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}\phi_k=-\phi_n. \]
Notations utiles :
Posons : \[ \alpha=\frac{1+\sqrt5}{2} \qquad\text{et}\qquad \beta=\frac{1-\sqrt5}{2}. \] Ces deux nombres sont les solutions de : \[ x^2-x-1=0. \] Ils vérifient donc : \[ \alpha^2=\alpha+1, \qquad \beta^2=\beta+1. \] On a également : \[ \alpha+\beta=1, \qquad \alpha-\beta=\sqrt5, \qquad \alpha\beta=-1. \]
Posons : \[ \alpha=\frac{1+\sqrt5}{2} \qquad\text{et}\qquad \beta=\frac{1-\sqrt5}{2}. \] Ces deux nombres sont les solutions de : \[ x^2-x-1=0. \] Ils vérifient donc : \[ \alpha^2=\alpha+1, \qquad \beta^2=\beta+1. \] On a également : \[ \alpha+\beta=1, \qquad \alpha-\beta=\sqrt5, \qquad \alpha\beta=-1. \]
1. Formule explicite de la suite
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Comme :
\[ \frac{\sqrt5}{5} = \frac1{\sqrt5}, \]la formule demandée peut s’écrire :
\[ \phi_n = \frac{\alpha^n-\beta^n}{\sqrt5}. \]La relation de récurrence étant d’ordre deux, la démonstration nécessite deux initialisations.
Initialisation au rang \(0\)
\[ \frac{\alpha^0-\beta^0}{\sqrt5} = \frac{1-1}{\sqrt5} = 0. \]Or :
\[ \phi_0=0. \]La propriété est donc vraie au rang \(0\).
Initialisation au rang \(1\)
\[ \frac{\alpha-\beta}{\sqrt5} = \frac{\sqrt5}{\sqrt5} = 1. \]Or :
\[ \phi_1=1. \]La propriété est donc vraie au rang \(1\).
Hérédité
Supposons que, pour un certain entier \(n\in\mathbb N\), on ait :
\[ \phi_n = \frac{\alpha^n-\beta^n}{\sqrt5} \]et :
\[ \phi_{n+1} = \frac{\alpha^{n+1}-\beta^{n+1}}{\sqrt5}. \]D’après la relation de récurrence :
\[ \phi_{n+2} = \phi_{n+1}+\phi_n. \]Donc :
\[ \begin{aligned} \phi_{n+2} &= \frac{\alpha^{n+1}-\beta^{n+1}}{\sqrt5} + \frac{\alpha^n-\beta^n}{\sqrt5}\\ &= \frac{ \alpha^n(\alpha+1) - \beta^n(\beta+1) }{\sqrt5}. \end{aligned} \]Or :
\[ \alpha+1=\alpha^2 \qquad\text{et}\qquad \beta+1=\beta^2. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} \phi_{n+2} &= \frac{ \alpha^n\alpha^2 - \beta^n\beta^2 }{\sqrt5}\\ &= \frac{ \alpha^{n+2}-\beta^{n+2} }{\sqrt5}. \end{aligned} \]La propriété est donc héréditaire.
Par récurrence :
\[ \boxed{ (\forall n\in\mathbb N)\qquad \phi_n = \frac{\alpha^n-\beta^n}{\sqrt5}. } \]En remplaçant \(\alpha\) et \(\beta\) :
\[ \boxed{ \phi_n = \frac{\sqrt5}{5} \left[ \left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n \right]. } \]
Remarque pédagogique :
Cette expression est appelée formule de Binet. Elle transforme la définition récurrente de la suite de Fibonacci en une formule explicite dépendant directement de \(n\).
Cette expression est appelée formule de Binet. Elle transforme la définition récurrente de la suite de Fibonacci en une formule explicite dépendant directement de \(n\).
2. Identité de Cassini
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Pour tout \(n\in\mathbb N\), posons :
\[ D_n = \phi_{n+1}^{\,2} - \phi_n\phi_{n+2}. \]Calculons \(D_{n+1}\) :
\[ D_{n+1} = \phi_{n+2}^{\,2} - \phi_{n+1}\phi_{n+3}. \]Or :
\[ \phi_{n+3} = \phi_{n+2}+\phi_{n+1}. \]Donc :
\[ \begin{aligned} D_{n+1} &= \phi_{n+2}^{\,2} - \phi_{n+1} \left( \phi_{n+2}+\phi_{n+1} \right)\\ &= \phi_{n+2}^{\,2} - \phi_{n+1}\phi_{n+2} - \phi_{n+1}^{\,2}\\ &= \phi_{n+2} \left( \phi_{n+2}-\phi_{n+1} \right) - \phi_{n+1}^{\,2}. \end{aligned} \]Comme :
\[ \phi_{n+2} = \phi_{n+1}+\phi_n, \]on a :
\[ \phi_{n+2}-\phi_{n+1} = \phi_n. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} D_{n+1} &= \phi_n\phi_{n+2} - \phi_{n+1}^{\,2}\\ &= -D_n. \end{aligned} \]La suite \((D_n)\) est donc géométrique de raison \(-1\).
De plus :
\[ \begin{aligned} D_0 &= \phi_1^{\,2} - \phi_0\phi_2\\ &= 1^2-0\times1\\ &= 1. \end{aligned} \]Par conséquent :
\[ D_n = (-1)^nD_0 = (-1)^n. \]Finalement :
\[ \boxed{ (\forall n\in\mathbb N)\qquad \phi_{n+1}^{\,2} - \phi_n\phi_{n+2} = (-1)^n. } \]
Idée utile :
Lorsqu’une expression contient trois termes successifs d’une suite récurrente, il est souvent efficace de la considérer comme le terme général d’une nouvelle suite.
Lorsqu’une expression contient trois termes successifs d’une suite récurrente, il est souvent efficace de la considérer comme le terme général d’une nouvelle suite.
3. Limite du quotient de deux termes consécutifs
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Pour tout entier \(n\ge1\), on a :
\[ \phi_n\gt0. \]Le quotient :
\[ \frac{\phi_{n+1}}{\phi_n} \]est donc bien défini.
D’après la formule de Binet :
\[ \phi_n = \frac{\alpha^n-\beta^n}{\sqrt5}. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} \frac{\phi_{n+1}}{\phi_n} &= \frac{ \dfrac{\alpha^{n+1}-\beta^{n+1}}{\sqrt5} }{ \dfrac{\alpha^n-\beta^n}{\sqrt5} }\\ &= \frac{ \alpha^{n+1}-\beta^{n+1} }{ \alpha^n-\beta^n }. \end{aligned} \]En factorisant \(\alpha^{n+1}\) au numérateur et \(\alpha^n\) au dénominateur :
\[ \frac{\phi_{n+1}}{\phi_n} = \alpha \frac{ 1-\left(\dfrac{\beta}{\alpha}\right)^{n+1} }{ 1-\left(\dfrac{\beta}{\alpha}\right)^n }. \]Or :
\[ \left|\frac{\beta}{\alpha}\right| \lt1. \]En effet :
\[ |\beta| = \frac{\sqrt5-1}{2} \lt \frac{1+\sqrt5}{2} = \alpha. \]Donc :
\[ \left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^n \longrightarrow0. \]Par conséquent :
\[ \frac{ 1-\left(\dfrac{\beta}{\alpha}\right)^{n+1} }{ 1-\left(\dfrac{\beta}{\alpha}\right)^n } \longrightarrow1. \]Ainsi :
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty} \frac{\phi_{n+1}}{\phi_n} = \alpha = \frac{1+\sqrt5}{2}. } \]
Interprétation :
Le nombre : \[ \frac{1+\sqrt5}{2} \] est appelé le nombre d’or.
Le nombre : \[ \frac{1+\sqrt5}{2} \] est appelé le nombre d’or.
Lien avec la question 2 :
L’identité de Cassini donne : \[ \frac{\phi_{n+2}}{\phi_{n+1}} - \frac{\phi_{n+1}}{\phi_n} = \frac{(-1)^{n+1}}{\phi_n\phi_{n+1}}. \] Elle montre que les quotients successifs oscillent alternativement autour de leur limite.
L’identité de Cassini donne : \[ \frac{\phi_{n+2}}{\phi_{n+1}} - \frac{\phi_{n+1}}{\phi_n} = \frac{(-1)^{n+1}}{\phi_n\phi_{n+1}}. \] Elle montre que les quotients successifs oscillent alternativement autour de leur limite.
4. Identités obtenues par le binôme de Newton
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4.a) Première identité
Montrons que :
\[ \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\phi_k = \phi_{2n}. \]D’après la formule de Binet :
\[ \phi_k = \frac{\alpha^k-\beta^k}{\sqrt5}. \]Donc :
\[ \begin{aligned} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\phi_k &= \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{\alpha^k-\beta^k}{\sqrt5}\\ &= \frac1{\sqrt5} \left[ \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\alpha^k - \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\beta^k \right]. \end{aligned} \]D’après le binôme de Newton :
\[ \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\alpha^k = (1+\alpha)^n \]et :
\[ \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\beta^k = (1+\beta)^n. \]Ainsi :
\[ \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\phi_k = \frac{ (1+\alpha)^n-(1+\beta)^n }{\sqrt5}. \]Or :
\[ 1+\alpha=\alpha^2 \qquad\text{et}\qquad 1+\beta=\beta^2. \]Donc :
\[ \begin{aligned} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\phi_k &= \frac{ \alpha^{2n}-\beta^{2n} }{\sqrt5}\\ &= \phi_{2n}. \end{aligned} \]Par conséquent :
\[ \boxed{ \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\phi_k = \phi_{2n}. } \]4.b) Deuxième identité
Montrons que :
\[ \sum_{k=0}^{n} (-1)^k\binom{n}{k}\phi_k = -\phi_n. \]En utilisant la formule de Binet :
\[ \begin{aligned} \sum_{k=0}^{n} (-1)^k\binom{n}{k}\phi_k &= \frac1{\sqrt5} \sum_{k=0}^{n} (-1)^k\binom{n}{k} \left( \alpha^k-\beta^k \right)\\ &= \frac1{\sqrt5} \left[ \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}(-\alpha)^k - \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}(-\beta)^k \right]. \end{aligned} \]D’après le binôme de Newton :
\[ \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}(-\alpha)^k = (1-\alpha)^n \]et :
\[ \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}(-\beta)^k = (1-\beta)^n. \]Donc :
\[ \sum_{k=0}^{n} (-1)^k\binom{n}{k}\phi_k = \frac{ (1-\alpha)^n-(1-\beta)^n }{\sqrt5}. \]Comme :
\[ \alpha+\beta=1, \]on a :
\[ 1-\alpha=\beta \qquad\text{et}\qquad 1-\beta=\alpha. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} \sum_{k=0}^{n} (-1)^k\binom{n}{k}\phi_k &= \frac{\beta^n-\alpha^n}{\sqrt5}\\ &= -\frac{\alpha^n-\beta^n}{\sqrt5}\\ &= -\phi_n. \end{aligned} \]Par conséquent :
\[ \boxed{ \sum_{k=0}^{n} (-1)^k\binom{n}{k}\phi_k = -\phi_n. } \]
Réponse finale de l’exercice 48 :
\[
\boxed{
\phi_n
=
\frac1{\sqrt5}
\left[
\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n
-
\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n
\right]
}
\]
\[
\boxed{
\phi_{n+1}^{\,2}
-
\phi_n\phi_{n+2}
=
(-1)^n
}
\]
\[
\boxed{
\lim_{n\to+\infty}
\frac{\phi_{n+1}}{\phi_n}
=
\frac{1+\sqrt5}{2}
}
\]
\[
\boxed{
\sum_{k=0}^{n}
\binom{n}{k}\phi_k
=
\phi_{2n}
}
\]
\[
\boxed{
\sum_{k=0}^{n}
(-1)^k\binom{n}{k}\phi_k
=
-\phi_n
}
\]
Présentation :
Cet article propose une correction détaillée de l’exercice 48 de la partie Exercices de perfectionnement du chapitre Suites numériques du manuel Al Moufid. L’exercice porte sur la suite de Fibonacci, sa formule explicite, l’identité de Cassini, la limite du quotient de deux termes consécutifs et deux identités obtenues à l’aide du binôme de Newton.
Cet article propose une correction détaillée de l’exercice 48 de la partie Exercices de perfectionnement du chapitre Suites numériques du manuel Al Moufid. L’exercice porte sur la suite de Fibonacci, sa formule explicite, l’identité de Cassini, la limite du quotient de deux termes consécutifs et deux identités obtenues à l’aide du binôme de Newton.
Objectif pédagogique :
Savoir résoudre une récurrence linéaire d’ordre deux, utiliser une formule explicite pour calculer une limite et transformer des sommes contenant des coefficients binomiaux.
Savoir résoudre une récurrence linéaire d’ordre deux, utiliser une formule explicite pour calculer une limite et transformer des sommes contenant des coefficients binomiaux.
Plan de résolution :
- Introduire les deux racines de l’équation \(x^2-x-1=0\).
- Démontrer la formule explicite par une récurrence à deux rangs.
- Étudier une expression auxiliaire pour établir l’identité de Cassini.
- Utiliser la formule explicite pour calculer la limite du quotient.
- Appliquer le binôme de Newton aux deux sommes de la question 4.
Formule explicite
\[
\phi_n
=
\frac{\alpha^n-\beta^n}{\sqrt5}.
\]
Elle permet d’étudier directement le comportement de la suite.
Identité de Cassini
\[
\phi_{n+1}^{\,2}
-
\phi_n\phi_{n+2}
=
(-1)^n.
\]
Nombre d’or
\[
\frac{\phi_{n+1}}{\phi_n}
\longrightarrow
\frac{1+\sqrt5}{2}.
\]
Binôme de Newton
Les deux sommes se transforment en puissances
de \(1+\alpha\), \(1+\beta\), \(1-\alpha\) et \(1-\beta\).
À retenir :
La formule explicite d’une suite récurrente facilite le calcul de ses limites et la démonstration d’identités. Dans cet exercice, les relations : \[ \alpha^2=\alpha+1, \qquad \beta^2=\beta+1 \] constituent le lien principal entre la récurrence de Fibonacci et le binôme de Newton.
La formule explicite d’une suite récurrente facilite le calcul de ses limites et la démonstration d’identités. Dans cet exercice, les relations : \[ \alpha^2=\alpha+1, \qquad \beta^2=\beta+1 \] constituent le lien principal entre la récurrence de Fibonacci et le binôme de Newton.
Ressources liées :
Préparé par :
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt
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