Parcours Maths Maroc

Correction de l’exercice 32 — Suite homographique, contraction et suite géométrique Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques Menu de l’exercice 32 Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Question 5 Énoncé : On considère la suite \((u_n)\) définie par : \[ u_0=3 \] et : \[ u_{n+1} = \frac{8(u_n-1)}{u_n+2} \qquad(\forall n\in\mathbb N). \] 1. Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad 2\lt u_n\lt4. \] 2. Étudier la monotonie de la suite \((u_n)\), puis en déduire qu’elle est convergente. 3.a) Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad 4-u_{n+1} \le \frac45(4-u_n). \] 3.b) En déduire que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad 4-u_n \le \left(\frac45\right)^n, \] puis déterminer la limite de \((u_n)\). 4. On pose, pour tout \(n\in\mathbb N\) : \[ v_n= \frac{u_n-4}{u_n-2}. \...