Correction de l’exercice 32 — Suite homographique, contraction et suite géométrique
Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques
On considère la suite \((u_n)\) définie par : \[ u_0=3 \] et : \[ u_{n+1} = \frac{8(u_n-1)}{u_n+2} \qquad(\forall n\in\mathbb N). \] 1. Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad 2\lt u_n\lt4. \] 2. Étudier la monotonie de la suite \((u_n)\), puis en déduire qu’elle est convergente.
3.a) Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad 4-u_{n+1} \le \frac45(4-u_n). \] 3.b) En déduire que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad 4-u_n \le \left(\frac45\right)^n, \] puis déterminer la limite de \((u_n)\).
4. On pose, pour tout \(n\in\mathbb N\) : \[ v_n= \frac{u_n-4}{u_n-2}. \] a) Montrer que \((v_n)\) est géométrique, puis déterminer sa raison et son premier terme.
b) Exprimer \(v_n\), puis \(u_n\), en fonction de \(n\).
c) Retrouver la limite de la suite \((u_n)\).
5. Pour tout \(n\in\mathbb N^*\), on pose : \[ S_n=v_0+v_1+\cdots+v_{n-1}. \] Exprimer \(S_n\) en fonction de \(n\), puis déterminer : \[ \lim_{n\to+\infty}S_n. \]
1. Encadrement de la suite
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Montrons par récurrence que :
\[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad 2\lt u_n\lt4. \]Initialisation
Pour \(n=0\), on a :
\[ u_0=3. \]Donc :
\[ 2\lt u_0\lt4. \]La propriété est vraie au rang \(0\).
Hérédité
Supposons que, pour un certain entier \(n\in\mathbb N\), on ait :
\[ 2\lt u_n\lt4. \]En particulier :
\[ u_n+2\gt0. \]Calculons d’abord \(u_{n+1}-2\) :
\[ \begin{aligned} u_{n+1}-2 &= \frac{8(u_n-1)}{u_n+2}-2\\ &= \frac{8u_n-8-2u_n-4}{u_n+2}\\ &= \frac{6u_n-12}{u_n+2}\\ &= \frac{6(u_n-2)}{u_n+2}. \end{aligned} \]Comme :
\[ u_n-2\gt0 \qquad\text{et}\qquad u_n+2\gt0, \]on obtient :
\[ u_{n+1}-2\gt0. \]Donc :
\[ u_{n+1}\gt2. \]Calculons maintenant \(4-u_{n+1}\) :
\[ \begin{aligned} 4-u_{n+1} &= 4-\frac{8(u_n-1)}{u_n+2}\\ &= \frac{4(u_n+2)-8(u_n-1)}{u_n+2}\\ &= \frac{4u_n+8-8u_n+8}{u_n+2}\\ &= \frac{16-4u_n}{u_n+2}\\ &= \frac{4(4-u_n)}{u_n+2}. \end{aligned} \]Comme :
\[ 4-u_n\gt0 \qquad\text{et}\qquad u_n+2\gt0, \]on obtient :
\[ 4-u_{n+1}\gt0. \]Donc :
\[ u_{n+1}\lt4. \]Par conséquent :
\[ 2\lt u_{n+1}\lt4. \]Par récurrence :
\[ \boxed{ (\forall n\in\mathbb N)\qquad 2\lt u_n\lt4. } \]L’intervalle \(]2,4[\) est stable par la fonction : \[ f(x)=\frac{8(x-1)}{x+2}. \] Cet encadrement garantit que \(u_n+2\ne0\) et \(u_n-2\ne0\), ce qui justifie toutes les divisions utilisées ensuite.
2. Monotonie et convergence
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Pour tout \(n\in\mathbb N\), calculons :
\[ \begin{aligned} u_{n+1}-u_n &= \frac{8(u_n-1)}{u_n+2}-u_n\\ &= \frac{8u_n-8-u_n(u_n+2)}{u_n+2}\\ &= \frac{8u_n-8-u_n^2-2u_n}{u_n+2}\\ &= \frac{-u_n^2+6u_n-8}{u_n+2}. \end{aligned} \]Or :
\[ -u_n^2+6u_n-8 = -(u_n-2)(u_n-4). \]Donc :
\[ u_{n+1}-u_n = \frac{(u_n-2)(4-u_n)}{u_n+2}. \]D’après la première question :
\[ u_n-2\gt0, \qquad 4-u_n\gt0 \]et :
\[ u_n+2\gt0. \]Ainsi :
\[ u_{n+1}-u_n\gt0. \]Par conséquent :
\[ \boxed{ (u_n)\text{ est strictement croissante}. } \]De plus, la suite est majorée par \(4\). D’après le théorème de convergence monotone :
\[ \boxed{ (u_n)\text{ est convergente}. } \]Notons :
\[ \lim_{n\to+\infty}u_n=\ell. \]Comme la suite est croissante et \(u_0=3\), on a :
\[ 3\le u_n\lt4. \]Donc :
\[ 3\le\ell\le4. \]En passant à la limite dans la relation de récurrence :
\[ \ell = \frac{8(\ell-1)}{\ell+2}. \]Comme \(\ell+2\ne0\), on obtient :
\[ \ell(\ell+2)=8(\ell-1). \]Donc :
\[ \ell^2+2\ell=8\ell-8. \]Ainsi :
\[ \ell^2-6\ell+8=0. \]En factorisant :
\[ (\ell-2)(\ell-4)=0. \]Les solutions possibles sont :
\[ \ell=2 \qquad\text{ou}\qquad \ell=4. \]Or :
\[ \ell\ge3. \]La valeur \(2\) est donc impossible. Finalement :
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}u_n=4. } \]3. Contraction de l’écart à \(4\)
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3.a) Inégalité de contraction
D’après le calcul effectué à la première question :
\[ 4-u_{n+1} = \frac{4(4-u_n)}{u_n+2}. \]Comme la suite est croissante et \(u_0=3\), on a :
\[ u_n\ge3. \]Donc :
\[ u_n+2\ge5. \]Par conséquent :
\[ \frac4{u_n+2} \le \frac45. \]Comme \(4-u_n\gt0\), on obtient :
\[ \boxed{ 4-u_{n+1} \le \frac45(4-u_n). } \]L’encadrement \(u_n\gt2\) donnerait seulement : \[ \frac4{u_n+2}\lt1. \] Pour obtenir précisément le coefficient \(\frac45\), il faut utiliser la croissance de la suite : \[ u_n\ge u_0=3. \]
3.b) Encadrement de \(4-u_n\)
Montrons par récurrence que :
\[ 0\lt 4-u_n \le \left(\frac45\right)^n. \]Pour \(n=0\) :
\[ 4-u_0=4-3=1. \]Or :
\[ \left(\frac45\right)^0=1. \]Donc :
\[ 0\lt4-u_0 \le \left(\frac45\right)^0. \]Supposons maintenant que :
\[ 4-u_n \le \left(\frac45\right)^n. \]D’après la question précédente :
\[ \begin{aligned} 4-u_{n+1} &\le \frac45(4-u_n)\\ &\le \frac45 \left(\frac45\right)^n\\ &= \left(\frac45\right)^{n+1}. \end{aligned} \]Par récurrence :
\[ \boxed{ 0\lt 4-u_n \le \left(\frac45\right)^n. } \]Or :
\[ \left(\frac45\right)^n \longrightarrow0. \]D’après le théorème d’encadrement :
\[ 4-u_n\longrightarrow0. \]Donc :
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}u_n=4. } \]4. Étude de la suite auxiliaire \((v_n)\)
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Pour tout \(n\in\mathbb N\), on pose :
\[ v_n= \frac{u_n-4}{u_n-2}. \]Cette suite est bien définie, car :
\[ u_n\gt2. \]4.a) Nature de la suite \((v_n)\)
Calculons :
\[ \begin{aligned} u_{n+1}-4 &= \frac{8(u_n-1)}{u_n+2}-4\\ &= \frac{8u_n-8-4u_n-8}{u_n+2}\\ &= \frac{4(u_n-4)}{u_n+2}. \end{aligned} \]D’autre part :
\[ \begin{aligned} u_{n+1}-2 &= \frac{8(u_n-1)}{u_n+2}-2\\ &= \frac{8u_n-8-2u_n-4}{u_n+2}\\ &= \frac{6(u_n-2)}{u_n+2}. \end{aligned} \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} v_{n+1} &= \frac{u_{n+1}-4}{u_{n+1}-2}\\ &= \frac{ \dfrac{4(u_n-4)}{u_n+2} }{ \dfrac{6(u_n-2)}{u_n+2} }\\ &= \frac46 \frac{u_n-4}{u_n-2}\\ &= \frac23v_n. \end{aligned} \]Donc :
\[ \boxed{ (v_n)\text{ est géométrique de raison }\frac23. } \]Son premier terme est :
\[ \begin{aligned} v_0 &= \frac{u_0-4}{u_0-2}\\ &= \frac{3-4}{3-2}\\ &= -1. \end{aligned} \]Ainsi :
\[ \boxed{ v_0=-1. } \]4.b) Expressions de \(v_n\) et \(u_n\)
Comme \((v_n)\) est géométrique de premier terme \(-1\) et de raison \(\frac23\), on obtient :
\[ \boxed{ v_n = -\left(\frac23\right)^n. } \]D’après la définition de \(v_n\) :
\[ v_n = \frac{u_n-4}{u_n-2}. \]Donc :
\[ v_n(u_n-2)=u_n-4. \]En développant :
\[ v_nu_n-2v_n=u_n-4. \]Ainsi :
\[ u_n(v_n-1)=2v_n-4. \]Comme \(v_n\ne1\), on obtient :
\[ u_n = \frac{2v_n-4}{v_n-1}. \]En remplaçant \(v_n\) par \(-\left(\frac23\right)^n\) :
\[ u_n = \frac{ -2\left(\frac23\right)^n-4 }{ -\left(\frac23\right)^n-1 }. \]En multipliant le numérateur et le dénominateur par \(-1\) :
\[ \boxed{ u_n = \frac{ 4+2\left(\frac23\right)^n }{ 1+\left(\frac23\right)^n }. } \]On peut aussi écrire :
\[ \boxed{ u_n = 2\, \frac{ 2+\left(\frac23\right)^n }{ 1+\left(\frac23\right)^n }. } \]4.c) Retrouver la limite
Comme :
\[ \left(\frac23\right)^n \longrightarrow0, \]on obtient :
\[ \begin{aligned} \lim_{n\to+\infty}u_n &= \lim_{n\to+\infty} \frac{ 4+2\left(\frac23\right)^n }{ 1+\left(\frac23\right)^n }\\ &= \frac{4}{1}\\ &=4. \end{aligned} \]Donc :
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}u_n=4. } \]Les nombres \(2\) et \(4\) sont les deux points fixes de la transformation homographique. Le quotient : \[ \frac{u_n-4}{u_n-2} \] transforme la relation homographique en une relation géométrique simple.
5. Calcul de la somme \(S_n\)
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Pour tout \(n\in\mathbb N^*\), on pose :
\[ S_n = v_0+v_1+\cdots+v_{n-1}. \]Comme :
\[ v_k = -\left(\frac23\right)^k, \]on obtient :
\[ S_n = - \sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac23\right)^k. \]La somme géométrique donne :
\[ \sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac23\right)^k = \frac{ 1-\left(\frac23\right)^n }{ 1-\frac23 }. \]Donc :
\[ \begin{aligned} S_n &= - \frac{ 1-\left(\frac23\right)^n }{ 1-\frac23 }\\ &= -3 \left[ 1-\left(\frac23\right)^n \right]. \end{aligned} \]Ainsi :
\[ \boxed{ S_n = 3 \left[ \left(\frac23\right)^n-1 \right]. } \]Comme :
\[ \left(\frac23\right)^n \longrightarrow0, \]on obtient :
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}S_n=-3. } \]Cet article propose une correction détaillée de l’exercice 32 de la partie Exercices de perfectionnement du chapitre Suites numériques du manuel Al Moufid. L’exercice étudie une suite homographique à l’aide d’un intervalle stable, de la monotonie, d’une contraction de l’écart à la limite et d’une suite auxiliaire géométrique.
Savoir étudier complètement une suite définie par une transformation homographique : vérifier sa bonne définition, construire un intervalle stable, démontrer sa convergence, contrôler l’erreur \(4-u_n\), puis obtenir une expression explicite grâce à un changement de suite.
- Montrer que tous les termes restent dans l’intervalle \(]2,4[\).
- Étudier le signe de \(u_{n+1}-u_n\).
- Utiliser le théorème de convergence monotone.
- Contrôler l’écart \(4-u_n\) par une suite géométrique.
- Introduire la suite \(v_n=\dfrac{u_n-4}{u_n-2}\).
- Calculer explicitement \(v_n\), \(u_n\) et la somme \(S_n\).
Une suite homographique peut être étudiée de deux manières complémentaires : la monotonie et le théorème de convergence monotone donnent l’existence et la valeur de la limite, tandis qu’une transformation utilisant les points fixes permet d’obtenir une expression explicite de la suite.
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt
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