Parcours Maths Maroc

Correction examen blanc 1 — Exercice 3 Niveau : 2e Bac Sciences Mathématiques Type : Examen blanc Exercice : 3 Thème : Arithmétique — PGCD, divisibilité, Fermat et congruences Remarque importante : Cette page contient une correction pédagogique personnelle. L’objectif est de présenter les méthodes de résolution dans un style clair et conforme au niveau 2e Bac Sciences Mathématiques. Accès rapide : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Pour tout \(n\in\mathbb N\), on pose : \[ A_n=2^n-1 \] 1) Soient \(m,n\in\mathbb N^*\), avec \(m\leq n\). On écrit la division euclidienne de \(n\) par \(m\) : \[ n=mq+r \] avec : \[ q\in\mathbb N \qquad\text{et}\qquad 0\leq r<m \] Comme : \[ A_m=2^m-1 \] alors : \[ 2^m\equiv1 \ [A_m] \] Donc : \[ 2^n=2^{mq+r}=(2^m)^q2^r\equiv2^r \ [A_m] \] \[ \boxed{ 2^n\equiv2^r \ [A_m] } \] 2) D’après la question précédente : \[ 2^n\equiv2^r \ [A_m] \] Donc : \[ 2^n-1\equiv2^r-1 \ [A...