Correction examen blanc 1 — Exercice 3 — Arithmétique

Correction examen blanc 1 — Exercice 3

Niveau : 2e Bac Sciences Mathématiques
Type : Examen blanc
Exercice : 3
Thème : Arithmétique — PGCD, divisibilité, Fermat et congruences

Remarque importante :
Cette page contient une correction pédagogique personnelle. L’objectif est de présenter les méthodes de résolution dans un style clair et conforme au niveau 2e Bac Sciences Mathématiques.

Accès rapide :
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Pour tout \(n\in\mathbb N\), on pose :

\[ A_n=2^n-1 \]

1)

Soient \(m,n\in\mathbb N^*\), avec \(m\leq n\).

On écrit la division euclidienne de \(n\) par \(m\) :

\[ n=mq+r \]

avec :

\[ q\in\mathbb N \qquad\text{et}\qquad 0\leq r<m \]

Comme :

\[ A_m=2^m-1 \]

alors :

\[ 2^m\equiv1 \ [A_m] \]

Donc :

\[ 2^n=2^{mq+r}=(2^m)^q2^r\equiv2^r \ [A_m] \]

\[ \boxed{ 2^n\equiv2^r \ [A_m] } \]

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2)

D’après la question précédente :

\[ 2^n\equiv2^r \ [A_m] \]

Donc :

\[ 2^n-1\equiv2^r-1 \ [A_m] \]

C’est-à-dire :

\[ A_n\equiv A_r \ [A_m] \]

Ainsi, \(A_n\) et \(A_r\) ont le même reste modulo \(A_m\). Donc :

\[ \boxed{ A_n\wedge A_m=A_r\wedge A_m } \]

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3)

En appliquant l’algorithme d’Euclide à \(n\) et \(m\), et en utilisant la question précédente à chaque étape, on obtient :

\[ \boxed{ A_n\wedge A_m=A_{n\wedge m} } \]

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4)

On a :

\[ A_m\mid A_n \Longleftrightarrow A_n\wedge A_m=A_m \]

D’après la question précédente :

\[ A_n\wedge A_m=A_{n\wedge m} \]

Donc :

\[ A_m\mid A_n \Longleftrightarrow A_{n\wedge m}=A_m \]

Or la suite \((A_k)\) est strictement croissante, donc :

\[ A_{n\wedge m}=A_m \Longleftrightarrow n\wedge m=m \]

C’est équivalent à :

\[ m\mid n \]

\[ \boxed{ A_m\mid A_n \Longleftrightarrow m\mid n } \]

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5)

On a :

\[ A_{2026}=2^{2026}-1 \]

Or :

\[ 2026=2\times1013 \]

Donc :

\[ A_{2026} = 2^{2\times1013}-1 = (2^{1013})^2-1 \]

D’où :

\[ A_{2026} = (2^{1013}-1)(2^{1013}+1) \]

\[ \boxed{ A_{2026}=A_{1013}(2^{1013}+1) } \]

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6)

Soit :

\[ d=A_{1013}\wedge(2^{1013}+1) \]

Alors :

\[ d\mid 2^{1013}-1 \]

et :

\[ d\mid 2^{1013}+1 \]

Donc :

\[ d\mid \bigl((2^{1013}+1)-(2^{1013}-1)\bigr) \]

Ainsi :

\[ d\mid2 \]

Or \(2^{1013}-1\) est impair, donc \(d\) est impair. D’où :

\[ d=1 \]

\[ \boxed{ A_{1013}\wedge(2^{1013}+1)=1 } \]

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7)

D’après la question 3 :

\[ A_{2027}\wedge A_{2026} = A_{2027\wedge2026} \]

Or :

\[ 2027\wedge2026=1 \]

Donc :

\[ A_{2027}\wedge A_{2026}=A_1 \]

Comme :

\[ A_1=2^1-1=1 \]

\[ \boxed{ A_{2027}\wedge A_{2026}=1 } \]

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8)

Comme :

\[ A_{2027}\wedge A_{2026}=1 \]

alors :

\[ 2^{2027}-1 \]

et :

\[ 2^{2026}-1 \]

sont premiers entre eux.

\[ \boxed{ 2^{2027}-1 \text{ et } 2^{2026}-1 \text{ sont premiers entre eux} } \]

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9)

On a :

\[ \sqrt{2027}\lt46 \]

Les nombres premiers inférieurs ou égaux à \(45\) sont :

\[ 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43 \]

On vérifie qu’aucun de ces nombres ne divise \(2027\).

\[ \boxed{ 2027 \text{ est un nombre premier} } \]

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10)

Comme \(2027\) est premier et \(2027\nmid2\), d’après le petit théorème de Fermat :

\[ 2^{2026}\equiv1 \ [2027] \]

Donc :

\[ 2027\mid 2^{2026}-1 \]

C’est-à-dire :

\[ \boxed{ 2027\mid A_{2026} } \]

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11)

D’après la question 5 :

\[ A_{2026}=A_{1013}(2^{1013}+1) \]

et d’après la question précédente :

\[ 2027\mid A_{2026} \]

Donc :

\[ 2027\mid A_{1013}(2^{1013}+1) \]

Comme \(2027\) est premier, d’après le lemme de Gauss :

\[ \boxed{ 2027\mid A_{1013} \quad\text{ou}\quad 2027\mid (2^{1013}+1) } \]

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12)

On a :

\[ 45^2=2025\equiv -2 \ [2027] \]

Donc :

\[ (45^2)^{1013}\equiv (-2)^{1013} \ [2027] \]

C’est-à-dire :

\[ 45^{2026}\equiv -2^{1013} \ [2027] \]

Or \(2027\) est premier et \(2027\nmid45\), donc d’après Fermat :

\[ 45^{2026}\equiv1 \ [2027] \]

Ainsi :

\[ -2^{1013}\equiv1 \ [2027] \]

D’où :

\[ \boxed{ 2^{1013}\equiv -1 \ [2027] } \]

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13)

D’après la question précédente :

\[ 2^{1013}+1\equiv0 \ [2027] \]

Donc :

\[ 2027\mid 2^{1013}+1 \]

De plus :

\[ A_{1013}=2^{1013}-1\equiv -2 \ [2027] \]

Donc :

\[ 2027\nmid A_{1013} \]

\[ \boxed{ 2027\mid 2^{1013}+1 \quad\text{et}\quad 2027\nmid A_{1013} } \]

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14)

D’après Fermat :

\[ 2^{2026}\equiv1 \ [2027] \]

Or :

\[ 2\cdot2^{2025}=2^{2026} \]

Donc :

\[ 2\cdot2^{2025}\equiv1 \ [2027] \]

\[ \boxed{ 2^{2025} \text{ est l’inverse de } 2 \text{ modulo } 2027 } \]

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15)

On cherche le reste de la division euclidienne de \(2^{2025}\) par \(2027\).

Comme \(2^{2025}\) est l’inverse de \(2\) modulo \(2027\), et comme :

\[ 2\times1014=2028\equiv1 \ [2027] \]

alors :

\[ 2^{2025}\equiv1014 \ [2027] \]

\[ \boxed{ \text{Le reste demandé est }1014 } \]

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16)

D’après Fermat :

\[ 2^{2026}\equiv1 \ [2027] \]

Donc :

\[ 2^{2027}=2\cdot2^{2026}\equiv2 \ [2027] \]

De plus :

\[ A_{2027}=2^{2027}-1\equiv1 \ [2027] \]

tandis que :

\[ A_{2026}=2^{2026}-1\equiv0 \ [2027] \]

Ainsi le résultat est cohérent avec :

\[ A_{2027}\wedge A_{2026}=1 \]

\[ \boxed{ A_{2027}\equiv1 \ [2027] \quad\text{et}\quad A_{2026}\equiv0 \ [2027] } \]

Remarque pédagogique.
Cet exercice repose sur trois idées essentielles :

1. L’utilisation de l’algorithme d’Euclide pour établir \[ A_n\wedge A_m=A_{n\wedge m} \] 2. Le lien entre divisibilité de \(A_m\) par \(A_n\) et divisibilité de \(m\) par \(n\)
3. L’utilisation du petit théorème de Fermat et du lemme de Gauss pour travailler modulo \(2027\)

La congruence \[ 45^2\equiv -2 \ [2027] \] est le point clé qui permet d’obtenir \[ 2^{1013}\equiv -1 \ [2027] \]