Correction Examen national 2026 — Mathématiques — PC/SVT
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Matière : Mathématiques
Filières : Sciences Physiques et Sciences de la Vie et de la Terre
Session : Ordinaire 2026
Exercice 1 : Géométrie dans l'espace
On travaille dans un repère orthonormé direct \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\). On considère : \[ A(-1,0,1),\quad B(-3,2,2),\quad C(-1,1,2),\quad D(2,7,-4), \] et la droite \((\Delta)\) passant par \(D\) et dirigée par \(\vec u=(2,1,2)\).
Exercice 1 — 1.a. Montrer que \(\vect{AB}\wedge\vect{AC}=\vec i+2\vec j-2\vec k\)
D'après la relation de Chasles : \[ \vect{AB}=\vect{AO}+\vect{OB}=-\vect{OA}+\vect{OB}=\vect{OB}-\vect{OA}. \] Or : \[ \vect{OA}=(-1,0,1),\qquad \vect{OB}=(-3,2,2). \] Donc : \[ \vect{AB}=(-3,2,2)-(-1,0,1)=(-2,2,1). \]
De même : \[ \vect{AC}=\vect{AO}+\vect{OC}=-\vect{OA}+\vect{OC}=\vect{OC}-\vect{OA}. \] Or \(\vect{OC}=(-1,1,2)\), donc : \[ \vect{AC}=(-1,1,2)-(-1,0,1)=(0,1,1). \]
Puisque le repère est orthonormé direct, on utilise la formule analytique du produit vectoriel : \[ \vect{AB}\wedge\vect{AC} = \begin{vmatrix} \vec i&\vec j&\vec k\\ -2&2&1\\ 0&1&1 \end{vmatrix}. \] Ainsi : \[ \vect{AB}\wedge\vect{AC} =(2\cdot1-1\cdot1)\vec i -\bigl((-2)\cdot1-1\cdot0\bigr)\vec j +\bigl((-2)\cdot1-2\cdot0\bigr)\vec k. \] Donc : \[ \vect{AB}\wedge\vect{AC}=\vec i+2\vec j-2\vec k. \]
\[
\boxed{\vect{AB}\wedge\vect{AC}=(1,2,-2)}.
\]
Exercice 1 — 1.b. Déduire une équation cartésienne du plan \((ABC)\)
Le vecteur \[ \vec n=\vect{AB}\wedge\vect{AC}=(1,2,-2) \] est un vecteur normal au plan \((ABC)\). Donc une équation cartésienne de ce plan est : \[ x+2y-2z+d=0. \] Comme \(A(-1,0,1)\in(ABC)\), on remplace : \[ -1+2\cdot0-2\cdot1+d=0. \] Donc : \[ -3+d=0,\qquad d=3. \]
\[
\boxed{(ABC):\ x+2y-2z+3=0}.
\]
Exercice 1 — 1.c. Calculer \(\vec u\cdot(\vect{AB}\wedge\vect{AC})\), puis déduire que \((\Delta)\parallel(ABC)\)
On a : \[ \vec u=(2,1,2),\qquad \vect{AB}\wedge\vect{AC}=(1,2,-2). \] Donc : \[ \vec u\cdot(\vect{AB}\wedge\vect{AC}) =2\cdot1+1\cdot2+2\cdot(-2)=0. \] Ainsi \(\vec u\perp\vec n\). Or \(\vec n\) est normal au plan \((ABC)\), donc \(\vec u\) est parallèle au plan \((ABC)\). Comme \((\Delta)\) est dirigée par \(\vec u\), on obtient : \[ (\Delta)\parallel(ABC). \] On peut vérifier que \(D\notin(ABC)\) : \[ 2+2\cdot7-2(-4)+3=27\neq0. \] Donc \((\Delta)\) n'est pas contenue dans \((ABC)\).
\[
\boxed{(\Delta)\parallel(ABC)}.
\]
Exercice 1 — 2.a. Vérifier que \(\vect{\Omega D}\cdot\vec u=0\), puis déduire le rayon de \((S)\)
Le centre de la sphère est \(\Omega(0,3,0)\). On écrit : \[ \vect{\Omega D}=\vect{\Omega O}+\vect{OD}=-\vect{O\Omega}+\vect{OD} =\vect{OD}-\vect{O\Omega}. \] Or : \[ \vect{OD}=(2,7,-4),\qquad \vect{O\Omega}=(0,3,0). \] Donc : \[ \vect{\Omega D}=(2,7,-4)-(0,3,0)=(2,4,-4). \] Alors : \[ \vect{\Omega D}\cdot\vec u=(2,4,-4)\cdot(2,1,2)=4+4-8=0. \] Donc \(\vect{\Omega D}\perp \vec u\). Comme \(D\in(\Delta)\) et \(\vec u\) dirige \((\Delta)\), le point \(D\) est le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur \((\Delta)\). Ainsi : \[ d(\Omega,(\Delta))=\Omega D. \] On calcule : \[ \Omega D=\sqrt{2^2+4^2+(-4)^2}=\sqrt{36}=6. \] La sphère \((S)\) est tangente à \((\Delta)\), donc son rayon est : \[ R=d(\Omega,(\Delta))=6. \]
\[
\boxed{R=6}.
\]
Exercice 1 — 2.b. Calculer \(d(\Omega,(ABC))\), puis le rayon du cercle \((\Gamma)\)
Le plan \((ABC)\) a pour équation : \[ x+2y-2z+3=0. \] La distance du point \(\Omega(0,3,0)\) à ce plan est : \[ d(\Omega,(ABC)) = \frac{|0+2\cdot3-2\cdot0+3|} {\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}} = \frac9{3}=3. \] Le rayon de la sphère est \(R=6\). Comme \(3\lt 6\), le plan coupe la sphère suivant un cercle \((\Gamma)\). Son rayon \(r\) vérifie : \[ r^2=R^2-d^2=6^2-3^2=36-9=27. \] Donc : \[ r=3\sqrt3. \]
\[
\boxed{d(\Omega,(ABC))=3,\qquad r=3\sqrt3}.
\]
Exercice 1 — 2.c. Vérifier que \(\vect{C\Omega}=\vect{AB}\wedge\vect{AC}\), puis conclure
On écrit : \[ \vect{C\Omega}=\vect{CO}+\vect{O\Omega}=-\vect{OC}+\vect{O\Omega} =\vect{O\Omega}-\vect{OC}. \] Or : \[ \vect{O\Omega}=(0,3,0),\qquad \vect{OC}=(-1,1,2). \] Donc : \[ \vect{C\Omega}=(0,3,0)-(-1,1,2)=(1,2,-2). \] D'après 1.a : \[ \vect{AB}\wedge\vect{AC}=(1,2,-2). \] Donc : \[ \vect{C\Omega}=\vect{AB}\wedge\vect{AC}. \] Or \(\vect{AB}\wedge\vect{AC}\) est normal au plan \((ABC)\). Ainsi \(\vect{C\Omega}\) est normal à \((ABC)\). Comme \(C\in(ABC)\), le point \(C\) est le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur le plan. Donc \(C\) est le centre du cercle d'intersection.
\[
\boxed{C\text{ est le centre du cercle }(\Gamma)}.
\]
Exercice 2 : Nombres complexes
On considère : \[ a=\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i,\qquad b=e^{i\frac{\pi}{12}},\qquad c=1. \]
Exercice 2 — 1.a. Écrire \(a\) sous forme trigonométrique
On reconnaît : \[ \frac{\sqrt3}{2}=\cos\frac{\pi}{6},\qquad \frac12=\sin\frac{\pi}{6}. \] Donc : \[ a=\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}. \]
\[
\boxed{a=e^{i\frac{\pi}{6}}}.
\]
Exercice 2 — 1.b. Vérifier que \(b^2=a\) et \(b\overline b=1\)
On a : \[ b=e^{i\frac{\pi}{12}}. \] Donc : \[ b^2=\left(e^{i\frac{\pi}{12}}\right)^2=e^{i\frac{\pi}{6}}=a. \] De plus : \[ b\overline b=|b|^2. \] Or : \[ |b|=\left|e^{i\frac{\pi}{12}}\right|=1. \] Donc : \[ b\overline b=1. \]
\[
\boxed{b^2=a,\qquad b\overline b=1}.
\]
Exercice 2 — 1.c. Montrer que \(a-1=(2-\sqrt3)i(a+1)\)
On calcule : \[ a+1=\frac{\sqrt3+2}{2}+\frac12 i. \] Donc : \[ i(a+1)=\frac{\sqrt3+2}{2}i-\frac12. \] Ainsi : \[ (2-\sqrt3)i(a+1) = (2-\sqrt3)\left(-\frac12+\frac{\sqrt3+2}{2}i\right). \] D'où : \[ (2-\sqrt3)i(a+1) = -\frac{2-\sqrt3}{2} + \frac{(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)}2 i. \] Or : \[ (2-\sqrt3)(2+\sqrt3)=1. \] Donc : \[ (2-\sqrt3)i(a+1)=\frac{\sqrt3-2}{2}+\frac12 i. \] D'autre part : \[ a-1=\frac{\sqrt3}{2}-1+\frac12 i = \frac{\sqrt3-2}{2}+\frac12 i. \] Par conséquent : \[ a-1=(2-\sqrt3)i(a+1). \]
\[
\boxed{a-1=(2-\sqrt3)i(a+1)}.
\]
Exercice 2 — 2.a. Vérifier que \(d=b(b+\overline b)\), puis montrer que \(O,B,D\) sont alignés
La translation de vecteur \(\vect{OC}\) a pour écriture : \[ z'=z+c. \] Comme \(c=1\) et \(T(A)=D\), on a : \[ d=a+1. \] D'autre part : \[ b(b+\overline b)=b^2+b\overline b. \] D'après 1.b : \[ b^2=a,\qquad b\overline b=1. \] Donc : \[ b(b+\overline b)=a+1=d. \]
\[
\boxed{d=b(b+\overline b)}.
\]
Pour montrer l'alignement, on utilise le critère : si \(\dfrac{z_2}{z_1}\in\R\), alors les vecteurs d'affixes \(z_1\) et \(z_2\) sont colinéaires.
Les affixes de \(\vect{OB}\) et \(\vect{OD}\) sont respectivement \(b\) et \(d\). Comme \(b\neq0\) : \[ \frac db=b+\overline b. \] Or : \[ b+\overline b=2\operatorname{Re}(b)\in\R. \] Donc \(\vect{OB}\) et \(\vect{OD}\) sont colinéaires.
\[
\boxed{O,B,D\text{ sont alignés}}.
\]
Exercice 2 — 2.b. Déduire que \(\arg(d)\equiv\dfrac{\pi}{12}\ [2\pi]\)
On a : \[ d=b(b+\overline b). \] Or : \[ b+\overline b=2\cos\frac{\pi}{12}. \] Comme \(0\lt \frac{\pi}{12}\lt \frac{\pi}{2}\), on a : \[ \cos\frac{\pi}{12}\gt 0. \] Donc \(b+\overline b\) est réel strictement positif. Multiplier par un réel strictement positif ne change pas l'argument : \[ \arg(d)\equiv\arg(b)\ [2\pi]. \] Or : \[ b=e^{i\frac{\pi}{12}}. \]
\[
\boxed{\arg(d)\equiv\frac{\pi}{12}\ [2\pi]}.
\]
Exercice 2 — 3.a. Vérifier que \(\dfrac{a-c}{d}=(2-\sqrt3)i\), puis déduire que \((AC)\perp(OD)\)
Comme \(c=1\) et \(d=a+1\) : \[ \frac{a-c}{d}=\frac{a-1}{a+1}. \] D'après 1.c : \[ a-1=(2-\sqrt3)i(a+1). \] Donc : \[ \frac{a-1}{a+1}=(2-\sqrt3)i. \]
\[
\boxed{\frac{a-c}{d}=(2-\sqrt3)i}.
\]
Le nombre \((2-\sqrt3)i\) est imaginaire pur non nul. Donc les vecteurs d'affixes \(a-c\) et \(d\) sont orthogonaux. Or \(a-c\) est l'affixe de \(\vect{CA}\), et \(d\) est l'affixe de \(\vect{OD}\). Donc : \[ (CA)\perp(OD). \] Ainsi : \[ (AC)\perp(OD). \]
\[
\boxed{(AC)\perp(OD)}.
\]
Exercice 2 — 3.b. Montrer que \(OCDA\) est un losange
Comme \(D\) est l'image de \(A\) par la translation de vecteur \(\vect{OC}\), on a : \[ \vect{AD}=\vect{OC}. \] De plus : \[ d=a+1, \] donc : \[ d-c=(a+1)-1=a. \] Le nombre \(d-c\) est l'affixe de \(\vect{CD}\), et \(a\) est l'affixe de \(\vect{OA}\). Donc : \[ \vect{CD}=\vect{OA}. \] Ainsi, \(OCDA\) est un parallélogramme.
De plus : \[ OC=|c|=1,\qquad OA=|a|=1. \] Un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur est un losange.
\[
\boxed{OCDA\text{ est un losange}}.
\]
Exercice 3 : Probabilités
L'urne contient : \[ 5\text{ boules blanches},\quad 4\text{ boules noires},\quad 2\text{ boules vertes}. \] On tire simultanément trois boules. Comme le tirage est simultané, l'ordre ne compte pas. On utilise donc les combinaisons, avec la notation du cours : $\Comb{n}{p}$ se lit « $p$ parmi $n$ ».
Le nombre total de boules est : \[ 5+4+2=11. \] Le nombre total de tirages possibles est : \[ \operatorname{Card}(\Omega)=\Comb{11}{3}=165. \]
On considère : \[ A:\text{ « les trois boules tirées sont de même couleur »}, \] \[ B:\text{ « tirer au moins une boule verte »}. \]
Exercice 3 — 1.a. Montrer que \(p(A)=\dfrac{14}{165}\)
L'événement \(A\) se réalise si les trois boules sont toutes blanches ou toutes noires. Le cas de trois boules vertes est impossible, car il n'y a que deux boules vertes.
Nombre de tirages de trois boules blanches : \[ \Comb{5}{3}=10. \] Nombre de tirages de trois boules noires : \[ \Comb{4}{3}=4. \] Donc : \[ \operatorname{Card}(A)=\Comb{5}{3}+\Comb{4}{3}=10+4=14. \] Ainsi : \[ p(A)=\frac{\operatorname{Card}(A)}{\operatorname{Card}(\Omega)} = \frac{14}{165}. \]
\[
\boxed{p(A)=\frac{14}{165}}.
\]
Exercice 3 — 1.b. Calculer \(p(\overline B)\), puis déduire \(p(B)\)
L'événement contraire de \(B\) est : \[ \overline B:\text{ « ne tirer aucune boule verte »}. \] Cela signifie que les trois boules sont choisies parmi les boules blanches et noires. Leur nombre est : \[ 5+4=9. \] Donc : \[ \operatorname{Card}(\overline B)=\Comb{9}{3}=84. \] Ainsi : \[ p(\overline B)=\frac{84}{165}. \] En simplifiant par \(3\) : \[ p(\overline B)=\frac{28}{55}. \] Donc : \[ p(B)=1-p(\overline B)=1-\frac{28}{55}=\frac{27}{55}. \]
\[
\boxed{p(\overline B)=\frac{28}{55}\quad\text{et}\quad p(B)=\frac{27}{55}}.
\]
Exercice 3 — 2. Calculer \(p(A\cup B)\)
On utilise la formule : \[ p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B). \] L'événement \(A\cap B\) signifie : les trois boules sont de même couleur et il y a au moins une boule verte. Cela impose que les trois boules soient vertes. Or l'urne ne contient que deux boules vertes. Donc : \[ A\cap B=\varnothing. \] Ainsi : \[ p(A\cap B)=0. \] Donc : \[ p(A\cup B)=p(A)+p(B). \] Alors : \[ p(A\cup B)=\frac{14}{165}+\frac{27}{55}. \] Comme : \[ \frac{27}{55}=\frac{81}{165}, \] on obtient : \[ p(A\cup B)=\frac{14}{165}+\frac{81}{165}=\frac{95}{165}=\frac{19}{33}. \]
\[
\boxed{p(A\cup B)=\frac{19}{33}}.
\]
Exercice 3 — 3.a. Loi de probabilité de \(X\)
La variable aléatoire \(X\) associe à chaque tirage le nombre de boules vertes tirées. Comme l'urne contient seulement deux boules vertes et qu'on tire trois boules, les valeurs possibles de \(X\) sont : \[ 0,\quad 1,\quad 2. \]
Pour \(X=0\), on ne tire aucune boule verte. On choisit donc les trois boules parmi les \(9\) boules non vertes : \[ p(X=0)= \frac{\Comb{2}{0}\Comb{9}{3}}{\Comb{11}{3}} = \frac{84}{165} = \frac{28}{55}. \]
Pour \(X=1\), on tire une boule verte et deux boules non vertes : \[ p(X=1)= \frac{\Comb{2}{1}\Comb{9}{2}}{\Comb{11}{3}} = \frac{2\times36}{165} = \frac{72}{165} = \frac{24}{55}. \]
Pour \(X=2\), on tire deux boules vertes et une boule non verte : \[ p(X=2)= \frac{\Comb{2}{2}\Comb{9}{1}}{\Comb{11}{3}} = \frac{9}{165} = \frac3{55}. \]
\[
\boxed{
\begin{array}{c|ccc}
x_i&0&1&2\\ \hline
p(X=x_i)&\dfrac{28}{55}&\dfrac{24}{55}&\dfrac3{55}
\end{array}}
\]
Exercice 3 — 3.b. Montrer que \(E(X)=\dfrac6{11}\)
Par définition de l'espérance : \[ E(X)=\sum x_i\,p(X=x_i). \] Donc : \[ E(X) = 0\cdot\frac{28}{55} + 1\cdot\frac{24}{55} + 2\cdot\frac3{55}. \] Ainsi : \[ E(X)=\frac{24}{55}+\frac6{55}=\frac{30}{55}=\frac6{11}. \]
\[
\boxed{E(X)=\frac6{11}}.
\]
Problème : fonctions numériques, suites et calcul intégral
Partie I
On considère : \[ g(x)=1-\ln x,\qquad h(x)=x^2e^{x-1} \] sur \(]0,+\infty[\).
Partie I — 1.a. Calculer \(g(1)\) et \(h(1)\)
On a : \[ g(1)=1-\ln1. \] Or : \[ \ln1=0. \] Donc : \[ g(1)=1. \] De plus : \[ h(1)=1^2e^{1-1}=e^0=1. \]
\[
\boxed{g(1)=1\quad\text{et}\quad h(1)=1}.
\]
Partie I — 1.b. Résoudre \(g(x)=0\) dans \(]0,+\infty[\)
On résout : \[ g(x)=0. \] Donc : \[ 1-\ln x=0. \] Ainsi : \[ \ln x=1. \] Or \(\ln e=1\). Comme la fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0,+\infty[\), on obtient : \[ x=e. \]
\[
\boxed{x=e}.
\]
Partie I — 2.a. Justifier graphiquement le signe de \(h(x)-g(x)\)
D'après le graphique, sur l'intervalle \(]0,1[\), la courbe \((\mathcal C_h)\) est au-dessous de la courbe \((\mathcal C_g)\). Donc : \[ h(x)\lt g(x)\quad\text{pour tout }x\in]0,1[. \] Ainsi : \[ h(x)-g(x)\lt 0\quad\text{sur } ]0,1[. \]
Sur l'intervalle \(]1,+\infty[\), la courbe \((\mathcal C_h)\) est au-dessus de la courbe \((\mathcal C_g)\). Donc : \[ h(x)\gt g(x)\quad\text{pour tout }x\in]1,+\infty[. \] Ainsi : \[ h(x)-g(x)\gt 0\quad\text{sur } ]1,+\infty[. \]
\[
\boxed{
\begin{cases}
h(x)-g(x)\lt 0 & \text{sur } ]0,1[,\\
h(x)-g(x)\gt 0 & \text{sur } ]1,+\infty[.
\end{cases}}
\]
Partie I — 2.b. En utilisant une intégration par parties, montrer que \(\displaystyle\int_1^e g(x)\,dx=e-2\)
Comme : \[ g(x)=1-\ln x, \] on écrit : \[ \int_1^e g(x)\,dx = \int_1^e1\,dx-\int_1^e\ln x\,dx. \] On a : \[ \int_1^e1\,dx=e-1. \]
Il reste à calculer \(\displaystyle\int_1^e\ln x\,dx\). On utilise une intégration par parties. On choisit : \[ u(x)=\ln x,\qquad v'(x)=1. \] Alors : \[ u'(x)=\frac1x,\qquad v(x)=x. \] D'après la formule : \[ \int_a^b u(x)v'(x)\,dx = [u(x)v(x)]_a^b-\int_a^b u'(x)v(x)\,dx, \] on obtient : \[ \int_1^e\ln x\,dx = [x\ln x]_1^e-\int_1^e\frac1x\cdot x\,dx. \] Donc : \[ \int_1^e\ln x\,dx = [x\ln x]_1^e-\int_1^e1\,dx. \] Or : \[ [x\ln x]_1^e=e\ln e-1\ln1=e, \] et : \[ \int_1^e1\,dx=e-1. \] Donc : \[ \int_1^e\ln x\,dx=e-(e-1)=1. \] Par conséquent : \[ \int_1^e g(x)\,dx=(e-1)-1=e-2. \]
\[
\boxed{\int_1^e g(x)\,dx=e-2}.
\]
Partie I — 2.c. Vérifier que \(H\) est une primitive de \(h\), puis calculer \(\displaystyle\int_0^1 h(x)\,dx\)
On considère : \[ H(x)=e^{x-1}(x^2-2x+2). \] Pour montrer que \(H\) est une primitive de \(h\), on calcule \(H'(x)\).
La fonction \(H\) est un produit. Donc : \[ H'(x) = (e^{x-1})'(x^2-2x+2) + e^{x-1}(x^2-2x+2)'. \] Or : \[ (e^{x-1})'=e^{x-1},\qquad (x^2-2x+2)'=2x-2. \] Donc : \[ H'(x) = e^{x-1}(x^2-2x+2) + e^{x-1}(2x-2). \] Ainsi : \[ H'(x)=e^{x-1}(x^2-2x+2+2x-2)=x^2e^{x-1}. \] Or : \[ h(x)=x^2e^{x-1}. \] Donc : \[ H'(x)=h(x). \] Ainsi, \(H\) est une primitive de \(h\) sur \(]0,+\infty[\).
Pour calculer \(\displaystyle\int_0^1h(x)\,dx\), on remarque que l'expression \(x^2e^{x-1}\) se prolonge continûment en \(0\), avec la valeur \(0\). On utilise alors : \[ \int_0^1h(x)\,dx=H(1)-H(0). \] On calcule : \[ H(1)=e^0(1-2+2)=1, \] et : \[ H(0)=e^{-1}(0-0+2)=\frac2e. \] Donc : \[ \int_0^1h(x)\,dx=1-\frac2e. \]
\[
\boxed{\int_0^1h(x)\,dx=1-\frac2e}.
\]
Partie I — 2.d. Calculer l'aire du domaine hachuré
D'après le graphique, le domaine hachuré est composé de deux parties : \[ \text{une partie sous }(\mathcal C_h)\text{ sur }[0,1], \] et : \[ \text{une partie sous }(\mathcal C_g)\text{ sur }[1,e]. \] Donc son aire est : \[ \mathcal A= \int_0^1h(x)\,dx+\int_1^e g(x)\,dx. \] D'après les questions précédentes : \[ \int_0^1h(x)\,dx=1-\frac2e, \] et : \[ \int_1^e g(x)\,dx=e-2. \] Donc : \[ \mathcal A=1-\frac2e+e-2=e-1-\frac2e. \] Comme le graphique est donné dans un repère orthonormé, l'aire obtenue par l'intégrale est exprimée en unités d'aire.
\[
\boxed{\mathcal A=e-1-\frac2e\ \text{unités d\,aire}}.
\]
Partie II
On considère : \[ f(x)=e^{x-1}-\frac{\ln x}{x} \] sur \(]0,+\infty[\).
Partie II — 1.a. Vérifier que \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty\), puis interpréter
On a : \[ f(x)=e^{x-1}-\frac{\ln x}{x}. \] Quand \(x\to0^+\), on a : \[ e^{x-1}\to e^{-1}. \]
Pour étudier \(\dfrac{\ln x}{x}\), on pose : \[ X=\frac1x. \] Alors : \[ x\to0^+\Longleftrightarrow X\to+\infty. \] De plus : \[ \frac{\ln x}{x} = X\ln\left(\frac1X\right) = -X\ln X. \] Or : \[ X\ln X\to+\infty \quad\text{quand }X\to+\infty. \] Donc : \[ \frac{\ln x}{x}\to-\infty. \] Ainsi : \[ -\frac{\ln x}{x}\to+\infty. \] Par conséquent : \[ f(x)\to+\infty. \]
\[
\boxed{\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty}.
\]
\[
\boxed{x=0\text{ est une asymptote verticale à }(\mathcal C_f)}.
\]
Partie II — 1.b. Vérifier que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\)
Quand \(x\to+\infty\), on a : \[ e^{x-1}\to+\infty, \] et, d'après la limite usuelle : \[ \frac{\ln x}{x}\to0. \] Donc : \[ e^{x-1}-\frac{\ln x}{x}\to+\infty. \]
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}.
\]
Partie II — 1.c. Montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x=+\infty\), puis interpréter
On écrit : \[ \frac{f(x)}x = \frac{e^{x-1}}x-\frac{\ln x}{x^2}. \]
D'une part : \[ \frac{e^{x-1}}x = \frac1e\cdot\frac{e^x}{x}. \] D'après les limites usuelles de la fonction exponentielle : \[ \frac{e^x}{x}\to+\infty. \] Donc : \[ \frac{e^{x-1}}x\to+\infty. \]
D'autre part : \[ \frac{\ln x}{x^2} = \frac{\ln x}{x}\cdot\frac1x. \] Or : \[ \frac{\ln x}{x}\to0 \quad\text{et}\quad \frac1x\to0. \] Donc : \[ \frac{\ln x}{x^2}\to0. \] Ainsi : \[ \frac{f(x)}x\to+\infty. \]
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x=+\infty}.
\]
\[
\boxed{(\mathcal C_f)\text{ admet au voisinage de }+\infty
\text{ une branche parabolique de direction }(Oy).}
\]
Partie II — 2.a. Montrer que \(\displaystyle f'(x)=\frac{h(x)-g(x)}{x^2}\)
La fonction \(f\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\), car elle est formée à partir de fonctions dérivables sur cet intervalle et \(x\neq0\).
On a : \[ f(x)=e^{x-1}-\frac{\ln x}{x}. \] D'abord : \[ (e^{x-1})'=e^{x-1}. \]
Pour dériver \(\dfrac{\ln x}{x}\), on utilise la formule : \[ \left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}. \] Ici : \[ u(x)=\ln x,\qquad v(x)=x. \] Donc : \[ u'(x)=\frac1x,\qquad v'(x)=1. \] Ainsi : \[ \left(\frac{\ln x}{x}\right)' = \frac{\frac1x\cdot x-\ln x\cdot1}{x^2} = \frac{1-\ln x}{x^2}. \] Donc : \[ f'(x) = e^{x-1} - \frac{1-\ln x}{x^2}. \] En mettant au même dénominateur : \[ f'(x) = \frac{x^2e^{x-1}-(1-\ln x)}{x^2}. \] Or : \[ h(x)=x^2e^{x-1}, \qquad g(x)=1-\ln x. \] Donc : \[ f'(x)=\frac{h(x)-g(x)}{x^2}. \]
\[
\boxed{f'(x)=\frac{h(x)-g(x)}{x^2}}.
\]
Partie II — 2.b. Dresser le tableau de variations de \(f\)
Sur \(]0,+\infty[\), on a : \[ x^2\gt 0. \] Donc le signe de \(f'(x)\) est celui de \(h(x)-g(x)\).
D'après la question 2.a de la partie I : \[ h(x)-g(x)\lt 0\quad\text{sur } ]0,1[, \] et : \[ h(x)-g(x)\gt 0\quad\text{sur } ]1,+\infty[. \] Donc : \[ f'(x)\lt 0\quad\text{sur } ]0,1[, \] et : \[ f'(x)\gt 0\quad\text{sur } ]1,+\infty[. \]
Ainsi, \(f\) est décroissante sur \(]0,1]\) et croissante sur \([1,+\infty[\).
On calcule : \[ f(1)=e^0-\frac{\ln1}{1}=1. \] En utilisant les limites déjà trouvées : \[ \lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]
Donc le tableau de variations est : \[ \boxed{ \begin{array}{c|ccc} x & 0^+ & 1 & +\infty \\ \hline f'(x) & - & 0 & + \\ \hline f(x) & +\infty & \searrow 1 \nearrow & +\infty \end{array}} \]
Partie II — 2.c. Déduire que \(\displaystyle e^{x-1}\geq1+\frac{\ln x}{x}\)
D'après le tableau de variations, \(f\) admet un minimum égal à \(1\) en \(x=1\). Donc, pour tout \(x\in]0,+\infty[\), \[ f(x)\geq1. \] Or : \[ f(x)=e^{x-1}-\frac{\ln x}{x}. \] Donc : \[ e^{x-1}-\frac{\ln x}{x}\geq1. \] Ainsi : \[ e^{x-1}\geq1+\frac{\ln x}{x}. \]
\[
\boxed{e^{x-1}\geq1+\frac{\ln x}{x}\quad\text{pour tout }x\in]0,+\infty[}.
\]
Partie II — 3. Montrer que \(f(x)=x\) admet une solution \(\alpha\) telle que \(\frac32\lt \alpha\lt 2\)
On pose : \[ F(x)=f(x)-x. \] La fonction \(F\) est continue sur : \[ \left[\frac32,2\right], \] car \(f\) est continue sur \(]0,+\infty[\).
D'après les valeurs données : \[ f\left(\frac32\right)\approx1{,}38. \] Donc : \[ F\left(\frac32\right) = f\left(\frac32\right)-\frac32 \approx 1{,}38-1{,}5\lt 0. \]
De plus : \[ f(2)\approx2{,}37. \] Donc : \[ F(2)=f(2)-2\approx2{,}37-2\gt 0. \]
Ainsi : \[ F\left(\frac32\right)\lt 0 \quad\text{et}\quad F(2)\gt 0. \] D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation \(F(x)=0\) admet au moins une solution \(\alpha\) dans : \[ \left]\frac32,2\right[. \] Or : \[ F(x)=0\Longleftrightarrow f(x)=x. \]
\[
\boxed{\frac32\lt \alpha\lt 2}.
\]
Partie II — 4.a. Montrer que \(\varphi\) admet une fonction réciproque et déterminer \(J\)
Soit \(\varphi\) la restriction de \(f\) à \([1,+\infty[\).
D'après le tableau de variations, \(f\) est continue et strictement croissante sur \([1,+\infty[\). Donc \(\varphi\) est continue et strictement croissante sur \([1,+\infty[\).
De plus : \[ \varphi(1)=f(1)=1, \] et : \[ \lim_{x\to+\infty}\varphi(x)=+\infty. \] Donc : \[ \varphi([1,+\infty[)=[1,+\infty[. \]
Ainsi, \(\varphi\) réalise une bijection de \([1,+\infty[\) sur : \[ J=[1,+\infty[. \] Donc elle admet une fonction réciproque : \[ \varphi^{-1}:J\to[1,+\infty[. \]
\[
\boxed{J=[1,+\infty[},\qquad
\boxed{\varphi^{-1}:[1,+\infty[\to[1,+\infty[}.
\]
Partie II — 4.b. Justifier que \(\varphi^{-1}\) est strictement croissante sur \(J\)
D'après le cours, la fonction réciproque d'une fonction continue et strictement croissante est elle-même strictement croissante. Comme \(\varphi\) est continue et strictement croissante sur \([1,+\infty[\), on obtient :
\[
\boxed{\varphi^{-1}\text{ est strictement croissante sur }J}.
\]
Partie II — 5.a. Justifier graphiquement que \(\varphi(x)\leq x\) sur \([1,\alpha]\)
D'après le graphique, sur \([1,\alpha]\), la courbe \((\mathcal C_\varphi)\) est située au-dessous de la droite \(\Delta:y=x\), avec égalité aux extrémités \(1\) et \(\alpha\). Donc : \[ \varphi(x)\leq x \quad\text{pour tout }x\in[1,\alpha]. \]
\[
\boxed{\varphi(x)\leq x\quad\text{pour tout }x\in[1,\alpha]}.
\]
Partie II — 5.b. Déduire que \(\varphi^{-1}(x)\geq x\) sur \([1,\alpha]\)
Soit \(x\in[1,\alpha]\). On pose : \[ y=\varphi^{-1}(x). \] Alors : \[ x=\varphi(y). \] Comme \(\varphi\) est strictement croissante, avec : \[ \varphi(1)=1,\qquad \varphi(\alpha)=\alpha, \] on a : \[ \varphi([1,\alpha])=[1,\alpha]. \] Donc : \[ y\in[1,\alpha]. \] D'après la question précédente : \[ \varphi(y)\leq y. \] Or \(\varphi(y)=x\), donc : \[ x\leq y. \] Comme \(y=\varphi^{-1}(x)\), on obtient : \[ \varphi^{-1}(x)\geq x. \]
\[
\boxed{\varphi^{-1}(x)\geq x\quad\text{pour tout }x\in[1,\alpha]}.
\]
Partie II — 5.c. Tracé de la courbe de \(\varphi^{-1}\)
D'après le cours, la courbe de la fonction réciproque \(\varphi^{-1}\) est la symétrique de la courbe de \(\varphi\) par rapport à la droite : \[ \Delta:y=x. \] Donc, pour tracer \((\mathcal C_{\varphi^{-1}})\), on reproduit \((\mathcal C_\varphi)\), puis on prend son symétrique par rapport à \(\Delta\).
Partie III
On considère la suite \((u_n)\) définie par : \[ u_0\in]1,\alpha[ \] et : \[ u_{n+1}=\varphi^{-1}(u_n),\qquad \forall n\in\N. \]
Partie III — 1. Montrer par récurrence que \(1\lt u_n\lt \alpha\)
On raisonne par récurrence.
Initialisation. Pour \(n=0\), on a : \[ u_0\in]1,\alpha[ \] par hypothèse. Donc : \[ 1\lt u_0\lt \alpha. \] La propriété est vraie au rang \(0\).
Hérédité. Supposons que, pour un entier naturel \(n\), on ait : \[ 1\lt u_n\lt \alpha. \] Alors : \[ u_n\in]1,\alpha[. \] Comme \(\varphi\) est strictement croissante sur \([1,\alpha]\), avec : \[ \varphi(1)=1,\qquad \varphi(\alpha)=\alpha, \] on a : \[ \varphi([1,\alpha])=[1,\alpha], \] et plus précisément : \[ \varphi(]1,\alpha[)=]1,\alpha[. \] Donc : \[ \varphi^{-1}(]1,\alpha[)=]1,\alpha[. \] Comme : \[ u_{n+1}=\varphi^{-1}(u_n), \] on obtient : \[ u_{n+1}\in]1,\alpha[. \] Donc : \[ 1\lt u_{n+1}\lt \alpha. \]
Conclusion. Par récurrence : \[ \boxed{1\lt u_n\lt \alpha\quad\text{pour tout }n\in\N}. \]
Partie III — 2. Montrer que la suite \((u_n)\) est croissante
D'après la question précédente : \[ u_n\in]1,\alpha[ \quad\text{pour tout }n\in\N. \] D'après la question 5.b de la partie II : \[ \varphi^{-1}(x)\geq x \quad\text{pour tout }x\in[1,\alpha]. \] En prenant \(x=u_n\), on obtient : \[ \varphi^{-1}(u_n)\geq u_n. \] Or : \[ u_{n+1}=\varphi^{-1}(u_n). \] Donc : \[ u_{n+1}\geq u_n. \]
\[
\boxed{(u_n)\text{ est croissante}}.
\]
Partie III — 3. En déduire que \((u_n)\) est convergente et déterminer sa limite
D'après la question 1 : \[ 1\lt u_n\lt \alpha \quad\text{pour tout }n\in\N. \] Donc la suite \((u_n)\) est majorée par \(\alpha\).
D'après la question 2, la suite \((u_n)\) est croissante. Donc, d'après le théorème de convergence monotone, la suite \((u_n)\) est convergente.
On note : \[ \ell=\lim_{n\to+\infty}u_n. \] Comme : \[ 1\lt u_n\lt \alpha, \] on obtient : \[ 1\leq\ell\leq\alpha. \]
La fonction \(\varphi^{-1}\) est continue sur \([1,\alpha]\), car elle est la fonction réciproque d'une fonction continue strictement monotone. On peut donc passer à la limite dans : \[ u_{n+1}=\varphi^{-1}(u_n). \] On obtient : \[ \ell=\varphi^{-1}(\ell). \] Cela équivaut à : \[ \varphi(\ell)=\ell. \]
D'après le graphique, les solutions de l'équation : \[ \varphi(x)=x \] sur \([1,\alpha]\) sont : \[ 1\quad\text{et}\quad\alpha. \] Donc : \[ \ell=1\quad\text{ou}\quad\ell=\alpha. \]
Mais \(u_0\gt 1\) et la suite \((u_n)\) est croissante. Donc : \[ \ell\geq u_0\gt 1. \] Ainsi : \[ \ell\neq1. \] Par conséquent : \[ \ell=\alpha. \]
\[
\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=\alpha}.
\]
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