Correction Examen national 2026 — Mathématiques — PC/SVT
Session ordinaire 2026 — Mathématiques — PC/SVT. Résolution détaillée des exercices et des parties du problème.
Objectifs et parcours de résolution
La session ordinaire 2026 PC/SVT commence par la géométrie dans l’espace et les nombres complexes, puis poursuit avec les probabilités et le problème d’analyse. Dans l’espace, produit vectoriel, plan et sphère sont liés ; dans le plan complexe, une identité algébrique peut exprimer un alignement ou une perpendicularité. Le corrigé permet de passer d’un calcul à une conclusion clairement formulée.
Repères de cours utiles
Une étude de fonction commence par son domaine. La continuité permet d’utiliser le théorème des valeurs intermédiaires ; la stricte monotonie sur l’intervalle étudié permet ensuite de justifier l’unicité d’une solution. Les limites aux bornes et le signe de la dérivée jouent des rôles différents et doivent être présentés séparément.
Pour une suite définie par \(u_{n+1}=F(u_n)\), un intervalle stable fournit les bornes nécessaires à la récurrence. Une suite croissante et majorée, ou décroissante et minorée, converge. Si \(F\) est continue au voisinage de la limite obtenue, celle-ci vérifie \(\ell=F(\ell)\). Cette équation ne remplace pas la preuve préalable de convergence.
Dans l’espace, un vecteur normal non nul détermine la direction d’un plan. La distance du centre d’une sphère à un plan se compare au rayon pour distinguer absence d’intersection, tangence et section circulaire. En probabilités, les tirages avec et sans remise correspondent à des modèles différents : l’indépendance et la constance de la probabilité doivent être justifiées avant d’utiliser une loi binomiale.
Méthode de travail sur ce sujet
Pour le plan, vérifier que le vecteur normal retenu est non nul, puis contrôler l’équation obtenue sur les points donnés. Pour la sphère, séparer distance au plan et rayon de la section.
Dans les complexes, ne pas confondre un quotient réel avec un quotient imaginaire pur ; vérifier aussi que les points nécessaires au quotient sont distincts. Dans l’analyse, reprendre les signes établis avant d’étudier aire, racine ou suite.
Matière : Mathématiques
Filières : Sciences Physiques et Sciences de la Vie et de la Terre
Session : Ordinaire 2026
Exercice 1 : Géométrie dans l'espace
On travaille dans un repère orthonormé direct \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\). On considère : \[ A(-1,0,1),\quad B(-3,2,2),\quad C(-1,1,2),\quad D(2,7,-4), \] et la droite \((\Delta)\) passant par \(D\) et dirigée par \(\vec u=(2,1,2)\).
Exercice 1 — 1.a. Montrer que \(\vect{AB}\wedge\vect{AC}=\vec i+2\vec j-2\vec k\)
D'après la relation de Chasles : \[ \vect{AB}=\vect{AO}+\vect{OB}=-\vect{OA}+\vect{OB}=\vect{OB}-\vect{OA}. \] Or : \[ \vect{OA}=(-1,0,1),\qquad \vect{OB}=(-3,2,2). \] Donc : \[ \vect{AB}=(-3,2,2)-(-1,0,1)=(-2,2,1). \]
De même : \[ \vect{AC}=\vect{AO}+\vect{OC}=-\vect{OA}+\vect{OC}=\vect{OC}-\vect{OA}. \] Or \(\vect{OC}=(-1,1,2)\), donc : \[ \vect{AC}=(-1,1,2)-(-1,0,1)=(0,1,1). \]
Puisque le repère est orthonormé direct, on utilise la formule analytique du produit vectoriel : \[ \vect{AB}\wedge\vect{AC} = \begin{vmatrix} \vec i&\vec j&\vec k\\ -2&2&1\\ 0&1&1 \end{vmatrix}. \] Ainsi : \[ \vect{AB}\wedge\vect{AC} =(2\cdot1-1\cdot1)\vec i -\bigl((-2)\cdot1-1\cdot0\bigr)\vec j +\bigl((-2)\cdot1-2\cdot0\bigr)\vec k. \] Donc : \[ \vect{AB}\wedge\vect{AC}=\vec i+2\vec j-2\vec k. \]
\[
\boxed{\vect{AB}\wedge\vect{AC}=(1,2,-2)}.
\]
Exercice 1 — 1.b. Déduire une équation cartésienne du plan \((ABC)\)
Le vecteur \[ \vec n=\vect{AB}\wedge\vect{AC}=(1,2,-2) \] est un vecteur normal au plan \((ABC)\). Donc une équation cartésienne de ce plan est : \[ x+2y-2z+d=0. \] Comme \(A(-1,0,1)\in(ABC)\), on remplace : \[ -1+2\cdot0-2\cdot1+d=0. \] Donc : \[ -3+d=0,\qquad d=3. \]
\[
\boxed{(ABC):\ x+2y-2z+3=0}.
\]
Exercice 1 — 1.c. Calculer \(\vec u\cdot(\vect{AB}\wedge\vect{AC})\), puis déduire que \((\Delta)\parallel(ABC)\)
On a : \[ \vec u=(2,1,2),\qquad \vect{AB}\wedge\vect{AC}=(1,2,-2). \] Donc : \[ \vec u\cdot(\vect{AB}\wedge\vect{AC}) =2\cdot1+1\cdot2+2\cdot(-2)=0. \] Ainsi \(\vec u\perp\vec n\). Or \(\vec n\) est normal au plan \((ABC)\), donc \(\vec u\) est parallèle au plan \((ABC)\). Comme \((\Delta)\) est dirigée par \(\vec u\), on obtient : \[ (\Delta)\parallel(ABC). \] On peut vérifier que \(D\notin(ABC)\) : \[ 2+2\cdot7-2(-4)+3=27\neq0. \] Donc \((\Delta)\) n'est pas contenue dans \((ABC)\).
\[
\boxed{(\Delta)\parallel(ABC)}.
\]
Exercice 1 — 2.a. Vérifier que \(\vect{\Omega D}\cdot\vec u=0\), puis déduire le rayon de \((S)\)
Le centre de la sphère est \(\Omega(0,3,0)\). On écrit : \[ \vect{\Omega D}=\vect{\Omega O}+\vect{OD}=-\vect{O\Omega}+\vect{OD} =\vect{OD}-\vect{O\Omega}. \] Or : \[ \vect{OD}=(2,7,-4),\qquad \vect{O\Omega}=(0,3,0). \] Donc : \[ \vect{\Omega D}=(2,7,-4)-(0,3,0)=(2,4,-4). \] Alors : \[ \vect{\Omega D}\cdot\vec u=(2,4,-4)\cdot(2,1,2)=4+4-8=0. \] Donc \(\vect{\Omega D}\perp \vec u\). Comme \(D\in(\Delta)\) et \(\vec u\) dirige \((\Delta)\), le point \(D\) est le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur \((\Delta)\). Ainsi : \[ d(\Omega,(\Delta))=\Omega D. \] On calcule : \[ \Omega D=\sqrt{2^2+4^2+(-4)^2}=\sqrt{36}=6. \] La sphère \((S)\) est tangente à \((\Delta)\), donc son rayon est : \[ R=d(\Omega,(\Delta))=6. \]
\[
\boxed{R=6}.
\]
Exercice 1 — 2.b. Calculer \(d(\Omega,(ABC))\), puis le rayon du cercle \((\Gamma)\)
Le plan \((ABC)\) a pour équation : \[ x+2y-2z+3=0. \] La distance du point \(\Omega(0,3,0)\) à ce plan est : \[ d(\Omega,(ABC)) = \frac{|0+2\cdot3-2\cdot0+3|} {\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}} = \frac9{3}=3. \] Le rayon de la sphère est \(R=6\). Comme \(3\lt 6\), le plan coupe la sphère suivant un cercle \((\Gamma)\). Son rayon \(r\) vérifie : \[ r^2=R^2-d^2=6^2-3^2=36-9=27. \] Donc : \[ r=3\sqrt3. \]
\[
\boxed{d(\Omega,(ABC))=3,\qquad r=3\sqrt3}.
\]
Exercice 1 — 2.c. Vérifier que \(\vect{C\Omega}=\vect{AB}\wedge\vect{AC}\), puis conclure
On écrit : \[ \vect{C\Omega}=\vect{CO}+\vect{O\Omega}=-\vect{OC}+\vect{O\Omega} =\vect{O\Omega}-\vect{OC}. \] Or : \[ \vect{O\Omega}=(0,3,0),\qquad \vect{OC}=(-1,1,2). \] Donc : \[ \vect{C\Omega}=(0,3,0)-(-1,1,2)=(1,2,-2). \] D'après 1.a : \[ \vect{AB}\wedge\vect{AC}=(1,2,-2). \] Donc : \[ \vect{C\Omega}=\vect{AB}\wedge\vect{AC}. \] Or \(\vect{AB}\wedge\vect{AC}\) est normal au plan \((ABC)\). Ainsi \(\vect{C\Omega}\) est normal à \((ABC)\). Comme \(C\in(ABC)\), le point \(C\) est le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur le plan. Donc \(C\) est le centre du cercle d'intersection.
\[
\boxed{C\text{ est le centre du cercle }(\Gamma)}.
\]
Exercice 2 : Nombres complexes
On considère : \[ a=\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i,\qquad b=e^{i\frac{\pi}{12}},\qquad c=1. \]
Exercice 2 — 1.a. Écrire \(a\) sous forme trigonométrique
On reconnaît : \[ \frac{\sqrt3}{2}=\cos\frac{\pi}{6},\qquad \frac12=\sin\frac{\pi}{6}. \] Donc : \[ a=\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}. \]
\[
\boxed{a=e^{i\frac{\pi}{6}}}.
\]
Exercice 2 — 1.b. Vérifier que \(b^2=a\) et \(b\overline b=1\)
On a : \[ b=e^{i\frac{\pi}{12}}. \] Donc : \[ b^2=\left(e^{i\frac{\pi}{12}}\right)^2=e^{i\frac{\pi}{6}}=a. \] De plus : \[ b\overline b=|b|^2. \] Or : \[ |b|=\left|e^{i\frac{\pi}{12}}\right|=1. \] Donc : \[ b\overline b=1. \]
\[
\boxed{b^2=a,\qquad b\overline b=1}.
\]
Exercice 2 — 1.c. Montrer que \(a-1=(2-\sqrt3)i(a+1)\)
On calcule : \[ a+1=\frac{\sqrt3+2}{2}+\frac12 i. \] Donc : \[ i(a+1)=\frac{\sqrt3+2}{2}i-\frac12. \] Ainsi : \[ (2-\sqrt3)i(a+1) = (2-\sqrt3)\left(-\frac12+\frac{\sqrt3+2}{2}i\right). \] D'où : \[ (2-\sqrt3)i(a+1) = -\frac{2-\sqrt3}{2} + \frac{(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)}2 i. \] Or : \[ (2-\sqrt3)(2+\sqrt3)=1. \] Donc : \[ (2-\sqrt3)i(a+1)=\frac{\sqrt3-2}{2}+\frac12 i. \] D'autre part : \[ a-1=\frac{\sqrt3}{2}-1+\frac12 i = \frac{\sqrt3-2}{2}+\frac12 i. \] Par conséquent : \[ a-1=(2-\sqrt3)i(a+1). \]
\[
\boxed{a-1=(2-\sqrt3)i(a+1)}.
\]
Exercice 2 — 2.a. Vérifier que \(d=b(b+\overline b)\), puis montrer que \(O,B,D\) sont alignés
La translation de vecteur \(\vect{OC}\) a pour écriture : \[ z'=z+c. \] Comme \(c=1\) et \(T(A)=D\), on a : \[ d=a+1. \] D'autre part : \[ b(b+\overline b)=b^2+b\overline b. \] D'après 1.b : \[ b^2=a,\qquad b\overline b=1. \] Donc : \[ b(b+\overline b)=a+1=d. \]
\[
\boxed{d=b(b+\overline b)}.
\]
Pour montrer l'alignement, on utilise le critère : si \(\dfrac{z_2}{z_1}\in\R\), alors les vecteurs d'affixes \(z_1\) et \(z_2\) sont colinéaires.
Les affixes de \(\vect{OB}\) et \(\vect{OD}\) sont respectivement \(b\) et \(d\). Comme \(b\neq0\) : \[ \frac db=b+\overline b. \] Or : \[ b+\overline b=2\operatorname{Re}(b)\in\R. \] Donc \(\vect{OB}\) et \(\vect{OD}\) sont colinéaires.
\[
\boxed{O,B,D\text{ sont alignés}}.
\]
Exercice 2 — 2.b. Déduire que \(\arg(d)\equiv\dfrac{\pi}{12}\ [2\pi]\)
On a : \[ d=b(b+\overline b). \] Or : \[ b+\overline b=2\cos\frac{\pi}{12}. \] Comme \(0\lt \frac{\pi}{12}\lt \frac{\pi}{2}\), on a : \[ \cos\frac{\pi}{12}\gt 0. \] Donc \(b+\overline b\) est réel strictement positif. Multiplier par un réel strictement positif ne change pas l'argument : \[ \arg(d)\equiv\arg(b)\ [2\pi]. \] Or : \[ b=e^{i\frac{\pi}{12}}. \]
\[
\boxed{\arg(d)\equiv\frac{\pi}{12}\ [2\pi]}.
\]
Exercice 2 — 3.a. Vérifier que \(\dfrac{a-c}{d}=(2-\sqrt3)i\), puis déduire que \((AC)\perp(OD)\)
Comme \(c=1\) et \(d=a+1\) : \[ \frac{a-c}{d}=\frac{a-1}{a+1}. \] D'après 1.c : \[ a-1=(2-\sqrt3)i(a+1). \] Donc : \[ \frac{a-1}{a+1}=(2-\sqrt3)i. \]
\[
\boxed{\frac{a-c}{d}=(2-\sqrt3)i}.
\]
Le nombre \((2-\sqrt3)i\) est imaginaire pur non nul. Donc les vecteurs d'affixes \(a-c\) et \(d\) sont orthogonaux. Or \(a-c\) est l'affixe de \(\vect{CA}\), et \(d\) est l'affixe de \(\vect{OD}\). Donc : \[ (CA)\perp(OD). \] Ainsi : \[ (AC)\perp(OD). \]
\[
\boxed{(AC)\perp(OD)}.
\]
Exercice 2 — 3.b. Montrer que \(OCDA\) est un losange
Comme \(D\) est l'image de \(A\) par la translation de vecteur \(\vect{OC}\), on a : \[ \vect{AD}=\vect{OC}. \] De plus : \[ d=a+1, \] donc : \[ d-c=(a+1)-1=a. \] Le nombre \(d-c\) est l'affixe de \(\vect{CD}\), et \(a\) est l'affixe de \(\vect{OA}\). Donc : \[ \vect{CD}=\vect{OA}. \] Ainsi, \(OCDA\) est un parallélogramme.
De plus : \[ OC=|c|=1,\qquad OA=|a|=1. \] Un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur est un losange.
\[
\boxed{OCDA\text{ est un losange}}.
\]
Exercice 3 : Probabilités
L'urne contient : \[ 5\text{ boules blanches},\quad 4\text{ boules noires},\quad 2\text{ boules vertes}. \] On tire simultanément trois boules. Comme le tirage est simultané, l'ordre ne compte pas. On utilise donc les combinaisons, avec la notation du cours : $\Comb{n}{p}$ se lit « $p$ parmi $n$ ».
Le nombre total de boules est : \[ 5+4+2=11. \] Le nombre total de tirages possibles est : \[ \operatorname{Card}(\Omega)=\Comb{11}{3}=165. \]
On considère : \[ A:\text{ « les trois boules tirées sont de même couleur »}, \] \[ B:\text{ « tirer au moins une boule verte »}. \]
Exercice 3 — 1.a. Montrer que \(p(A)=\dfrac{14}{165}\)
L'événement \(A\) se réalise si les trois boules sont toutes blanches ou toutes noires. Le cas de trois boules vertes est impossible, car il n'y a que deux boules vertes.
Nombre de tirages de trois boules blanches : \[ \Comb{5}{3}=10. \] Nombre de tirages de trois boules noires : \[ \Comb{4}{3}=4. \] Donc : \[ \operatorname{Card}(A)=\Comb{5}{3}+\Comb{4}{3}=10+4=14. \] Ainsi : \[ p(A)=\frac{\operatorname{Card}(A)}{\operatorname{Card}(\Omega)} = \frac{14}{165}. \]
\[
\boxed{p(A)=\frac{14}{165}}.
\]
Exercice 3 — 1.b. Calculer \(p(\overline B)\), puis déduire \(p(B)\)
L'événement contraire de \(B\) est : \[ \overline B:\text{ « ne tirer aucune boule verte »}. \] Cela signifie que les trois boules sont choisies parmi les boules blanches et noires. Leur nombre est : \[ 5+4=9. \] Donc : \[ \operatorname{Card}(\overline B)=\Comb{9}{3}=84. \] Ainsi : \[ p(\overline B)=\frac{84}{165}. \] En simplifiant par \(3\) : \[ p(\overline B)=\frac{28}{55}. \] Donc : \[ p(B)=1-p(\overline B)=1-\frac{28}{55}=\frac{27}{55}. \]
\[
\boxed{p(\overline B)=\frac{28}{55}\quad\text{et}\quad p(B)=\frac{27}{55}}.
\]
Exercice 3 — 2. Calculer \(p(A\cup B)\)
On utilise la formule : \[ p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B). \] L'événement \(A\cap B\) signifie : les trois boules sont de même couleur et il y a au moins une boule verte. Cela impose que les trois boules soient vertes. Or l'urne ne contient que deux boules vertes. Donc : \[ A\cap B=\varnothing. \] Ainsi : \[ p(A\cap B)=0. \] Donc : \[ p(A\cup B)=p(A)+p(B). \] Alors : \[ p(A\cup B)=\frac{14}{165}+\frac{27}{55}. \] Comme : \[ \frac{27}{55}=\frac{81}{165}, \] on obtient : \[ p(A\cup B)=\frac{14}{165}+\frac{81}{165}=\frac{95}{165}=\frac{19}{33}. \]
\[
\boxed{p(A\cup B)=\frac{19}{33}}.
\]
Exercice 3 — 3.a. Loi de probabilité de \(X\)
La variable aléatoire \(X\) associe à chaque tirage le nombre de boules vertes tirées. Comme l'urne contient seulement deux boules vertes et qu'on tire trois boules, les valeurs possibles de \(X\) sont : \[ 0,\quad 1,\quad 2. \]
Pour \(X=0\), on ne tire aucune boule verte. On choisit donc les trois boules parmi les \(9\) boules non vertes : \[ p(X=0)= \frac{\Comb{2}{0}\Comb{9}{3}}{\Comb{11}{3}} = \frac{84}{165} = \frac{28}{55}. \]
Pour \(X=1\), on tire une boule verte et deux boules non vertes : \[ p(X=1)= \frac{\Comb{2}{1}\Comb{9}{2}}{\Comb{11}{3}} = \frac{2\times36}{165} = \frac{72}{165} = \frac{24}{55}. \]
Pour \(X=2\), on tire deux boules vertes et une boule non verte : \[ p(X=2)= \frac{\Comb{2}{2}\Comb{9}{1}}{\Comb{11}{3}} = \frac{9}{165} = \frac3{55}. \]
\[
\boxed{
\begin{array}{c|ccc}
x_i&0&1&2\\ \hline
p(X=x_i)&\dfrac{28}{55}&\dfrac{24}{55}&\dfrac3{55}
\end{array}}
\]
Exercice 3 — 3.b. Montrer que \(E(X)=\dfrac6{11}\)
Par définition de l'espérance : \[ E(X)=\sum x_i\,p(X=x_i). \] Donc : \[ E(X) = 0\cdot\frac{28}{55} + 1\cdot\frac{24}{55} + 2\cdot\frac3{55}. \] Ainsi : \[ E(X)=\frac{24}{55}+\frac6{55}=\frac{30}{55}=\frac6{11}. \]
\[
\boxed{E(X)=\frac6{11}}.
\]
Problème : fonctions numériques, suites et calcul intégral
Partie I
On considère : \[ g(x)=1-\ln x,\qquad h(x)=x^2e^{x-1} \] sur \(]0,+\infty[\).
Partie I — 1.a. Calculer \(g(1)\) et \(h(1)\)
On a : \[ g(1)=1-\ln1. \] Or : \[ \ln1=0. \] Donc : \[ g(1)=1. \] De plus : \[ h(1)=1^2e^{1-1}=e^0=1. \]
\[
\boxed{g(1)=1\quad\text{et}\quad h(1)=1}.
\]
Partie I — 1.b. Résoudre \(g(x)=0\) dans \(]0,+\infty[\)
On résout : \[ g(x)=0. \] Donc : \[ 1-\ln x=0. \] Ainsi : \[ \ln x=1. \] Or \(\ln e=1\). Comme la fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0,+\infty[\), on obtient : \[ x=e. \]
\[
\boxed{x=e}.
\]
Partie I — 2.a. Justifier graphiquement le signe de \(h(x)-g(x)\)
D'après le graphique, sur l'intervalle \(]0,1[\), la courbe \((\mathcal C_h)\) est au-dessous de la courbe \((\mathcal C_g)\). Donc : \[ h(x)\lt g(x)\quad\text{pour tout }x\in]0,1[. \] Ainsi : \[ h(x)-g(x)\lt 0\quad\text{sur } ]0,1[. \]
Sur l'intervalle \(]1,+\infty[\), la courbe \((\mathcal C_h)\) est au-dessus de la courbe \((\mathcal C_g)\). Donc : \[ h(x)\gt g(x)\quad\text{pour tout }x\in]1,+\infty[. \] Ainsi : \[ h(x)-g(x)\gt 0\quad\text{sur } ]1,+\infty[. \]
\[
\boxed{
\begin{cases}
h(x)-g(x)\lt 0 & \text{sur } ]0,1[,\\
h(x)-g(x)\gt 0 & \text{sur } ]1,+\infty[.
\end{cases}}
\]
Partie I — 2.b. En utilisant une intégration par parties, montrer que \(\displaystyle\int_1^e g(x)\,dx=e-2\)
Comme : \[ g(x)=1-\ln x, \] on écrit : \[ \int_1^e g(x)\,dx = \int_1^e1\,dx-\int_1^e\ln x\,dx. \] On a : \[ \int_1^e1\,dx=e-1. \]
Il reste à calculer \(\displaystyle\int_1^e\ln x\,dx\). On utilise une intégration par parties. On choisit : \[ u(x)=\ln x,\qquad v'(x)=1. \] Alors : \[ u'(x)=\frac1x,\qquad v(x)=x. \] D'après la formule : \[ \int_a^b u(x)v'(x)\,dx = [u(x)v(x)]_a^b-\int_a^b u'(x)v(x)\,dx, \] on obtient : \[ \int_1^e\ln x\,dx = [x\ln x]_1^e-\int_1^e\frac1x\cdot x\,dx. \] Donc : \[ \int_1^e\ln x\,dx = [x\ln x]_1^e-\int_1^e1\,dx. \] Or : \[ [x\ln x]_1^e=e\ln e-1\ln1=e, \] et : \[ \int_1^e1\,dx=e-1. \] Donc : \[ \int_1^e\ln x\,dx=e-(e-1)=1. \] Par conséquent : \[ \int_1^e g(x)\,dx=(e-1)-1=e-2. \]
\[
\boxed{\int_1^e g(x)\,dx=e-2}.
\]
Partie I — 2.c. Vérifier que \(H\) est une primitive de \(h\), puis calculer \(\displaystyle\int_0^1 h(x)\,dx\)
On considère : \[ H(x)=e^{x-1}(x^2-2x+2). \] Pour montrer que \(H\) est une primitive de \(h\), on calcule \(H'(x)\).
La fonction \(H\) est un produit. Donc : \[ H'(x) = (e^{x-1})'(x^2-2x+2) + e^{x-1}(x^2-2x+2)'. \] Or : \[ (e^{x-1})'=e^{x-1},\qquad (x^2-2x+2)'=2x-2. \] Donc : \[ H'(x) = e^{x-1}(x^2-2x+2) + e^{x-1}(2x-2). \] Ainsi : \[ H'(x)=e^{x-1}(x^2-2x+2+2x-2)=x^2e^{x-1}. \] Or : \[ h(x)=x^2e^{x-1}. \] Donc : \[ H'(x)=h(x). \] Ainsi, \(H\) est une primitive de \(h\) sur \(]0,+\infty[\).
Pour calculer \(\displaystyle\int_0^1h(x)\,dx\), on remarque que l'expression \(x^2e^{x-1}\) se prolonge continûment en \(0\), avec la valeur \(0\). On utilise alors : \[ \int_0^1h(x)\,dx=H(1)-H(0). \] On calcule : \[ H(1)=e^0(1-2+2)=1, \] et : \[ H(0)=e^{-1}(0-0+2)=\frac2e. \] Donc : \[ \int_0^1h(x)\,dx=1-\frac2e. \]
\[
\boxed{\int_0^1h(x)\,dx=1-\frac2e}.
\]
Partie I — 2.d. Calculer l'aire du domaine hachuré
D'après le graphique, le domaine hachuré est composé de deux parties : \[ \text{une partie sous }(\mathcal C_h)\text{ sur }[0,1], \] et : \[ \text{une partie sous }(\mathcal C_g)\text{ sur }[1,e]. \] Donc son aire est : \[ \mathcal A= \int_0^1h(x)\,dx+\int_1^e g(x)\,dx. \] D'après les questions précédentes : \[ \int_0^1h(x)\,dx=1-\frac2e, \] et : \[ \int_1^e g(x)\,dx=e-2. \] Donc : \[ \mathcal A=1-\frac2e+e-2=e-1-\frac2e. \] Comme le graphique est donné dans un repère orthonormé, l'aire obtenue par l'intégrale est exprimée en unités d'aire.
\[
\boxed{\mathcal A=e-1-\frac2e\ \text{unités d\,aire}}.
\]
Partie II
On considère : \[ f(x)=e^{x-1}-\frac{\ln x}{x} \] sur \(]0,+\infty[\).
Partie II — 1.a. Vérifier que \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty\), puis interpréter
On a : \[ f(x)=e^{x-1}-\frac{\ln x}{x}. \] Quand \(x\to0^+\), on a : \[ e^{x-1}\to e^{-1}. \]
Pour étudier \(\dfrac{\ln x}{x}\), on pose : \[ X=\frac1x. \] Alors : \[ x\to0^+\Longleftrightarrow X\to+\infty. \] De plus : \[ \frac{\ln x}{x} = X\ln\left(\frac1X\right) = -X\ln X. \] Or : \[ X\ln X\to+\infty \quad\text{quand }X\to+\infty. \] Donc : \[ \frac{\ln x}{x}\to-\infty. \] Ainsi : \[ -\frac{\ln x}{x}\to+\infty. \] Par conséquent : \[ f(x)\to+\infty. \]
\[
\boxed{\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty}.
\]
\[
\boxed{x=0\text{ est une asymptote verticale à }(\mathcal C_f)}.
\]
Partie II — 1.b. Vérifier que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\)
Quand \(x\to+\infty\), on a : \[ e^{x-1}\to+\infty, \] et, d'après la limite usuelle : \[ \frac{\ln x}{x}\to0. \] Donc : \[ e^{x-1}-\frac{\ln x}{x}\to+\infty. \]
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}.
\]
Partie II — 1.c. Montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x=+\infty\), puis interpréter
On écrit : \[ \frac{f(x)}x = \frac{e^{x-1}}x-\frac{\ln x}{x^2}. \]
D'une part : \[ \frac{e^{x-1}}x = \frac1e\cdot\frac{e^x}{x}. \] D'après les limites usuelles de la fonction exponentielle : \[ \frac{e^x}{x}\to+\infty. \] Donc : \[ \frac{e^{x-1}}x\to+\infty. \]
D'autre part : \[ \frac{\ln x}{x^2} = \frac{\ln x}{x}\cdot\frac1x. \] Or : \[ \frac{\ln x}{x}\to0 \quad\text{et}\quad \frac1x\to0. \] Donc : \[ \frac{\ln x}{x^2}\to0. \] Ainsi : \[ \frac{f(x)}x\to+\infty. \]
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x=+\infty}.
\]
\[
\boxed{(\mathcal C_f)\text{ admet au voisinage de }+\infty
\text{ une branche parabolique de direction }(Oy).}
\]
Partie II — 2.a. Montrer que \(\displaystyle f'(x)=\frac{h(x)-g(x)}{x^2}\)
La fonction \(f\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\), car elle est formée à partir de fonctions dérivables sur cet intervalle et \(x\neq0\).
On a : \[ f(x)=e^{x-1}-\frac{\ln x}{x}. \] D'abord : \[ (e^{x-1})'=e^{x-1}. \]
Pour dériver \(\dfrac{\ln x}{x}\), on utilise la formule : \[ \left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}. \] Ici : \[ u(x)=\ln x,\qquad v(x)=x. \] Donc : \[ u'(x)=\frac1x,\qquad v'(x)=1. \] Ainsi : \[ \left(\frac{\ln x}{x}\right)' = \frac{\frac1x\cdot x-\ln x\cdot1}{x^2} = \frac{1-\ln x}{x^2}. \] Donc : \[ f'(x) = e^{x-1} - \frac{1-\ln x}{x^2}. \] En mettant au même dénominateur : \[ f'(x) = \frac{x^2e^{x-1}-(1-\ln x)}{x^2}. \] Or : \[ h(x)=x^2e^{x-1}, \qquad g(x)=1-\ln x. \] Donc : \[ f'(x)=\frac{h(x)-g(x)}{x^2}. \]
\[
\boxed{f'(x)=\frac{h(x)-g(x)}{x^2}}.
\]
Partie II — 2.b. Dresser le tableau de variations de \(f\)
Sur \(]0,+\infty[\), on a : \[ x^2\gt 0. \] Donc le signe de \(f'(x)\) est celui de \(h(x)-g(x)\).
D'après la question 2.a de la partie I : \[ h(x)-g(x)\lt 0\quad\text{sur } ]0,1[, \] et : \[ h(x)-g(x)\gt 0\quad\text{sur } ]1,+\infty[. \] Donc : \[ f'(x)\lt 0\quad\text{sur } ]0,1[, \] et : \[ f'(x)\gt 0\quad\text{sur } ]1,+\infty[. \]
Ainsi, \(f\) est décroissante sur \(]0,1]\) et croissante sur \([1,+\infty[\).
On calcule : \[ f(1)=e^0-\frac{\ln1}{1}=1. \] En utilisant les limites déjà trouvées : \[ \lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]
Donc le tableau de variations est : \[ \boxed{ \begin{array}{c|ccc} x & 0^+ & 1 & +\infty \\ \hline f'(x) & - & 0 & + \\ \hline f(x) & +\infty & \searrow 1 \nearrow & +\infty \end{array}} \]
Partie II — 2.c. Déduire que \(\displaystyle e^{x-1}\geq1+\frac{\ln x}{x}\)
D'après le tableau de variations, \(f\) admet un minimum égal à \(1\) en \(x=1\). Donc, pour tout \(x\in]0,+\infty[\), \[ f(x)\geq1. \] Or : \[ f(x)=e^{x-1}-\frac{\ln x}{x}. \] Donc : \[ e^{x-1}-\frac{\ln x}{x}\geq1. \] Ainsi : \[ e^{x-1}\geq1+\frac{\ln x}{x}. \]
\[
\boxed{e^{x-1}\geq1+\frac{\ln x}{x}\quad\text{pour tout }x\in]0,+\infty[}.
\]
Partie II — 3. Montrer que \(f(x)=x\) admet une solution \(\alpha\) telle que \(\frac32\lt \alpha\lt 2\)
On pose : \[ F(x)=f(x)-x. \] La fonction \(F\) est continue sur : \[ \left[\frac32,2\right], \] car \(f\) est continue sur \(]0,+\infty[\).
D'après les valeurs données : \[ f\left(\frac32\right)\approx1{,}38. \] Donc : \[ F\left(\frac32\right) = f\left(\frac32\right)-\frac32 \approx 1{,}38-1{,}5\lt 0. \]
De plus : \[ f(2)\approx2{,}37. \] Donc : \[ F(2)=f(2)-2\approx2{,}37-2\gt 0. \]
Ainsi : \[ F\left(\frac32\right)\lt 0 \quad\text{et}\quad F(2)\gt 0. \] D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation \(F(x)=0\) admet au moins une solution \(\alpha\) dans : \[ \left]\frac32,2\right[. \] Or : \[ F(x)=0\Longleftrightarrow f(x)=x. \]
\[
\boxed{\frac32\lt \alpha\lt 2}.
\]
Partie II — 4.a. Montrer que \(\varphi\) admet une fonction réciproque et déterminer \(J\)
Soit \(\varphi\) la restriction de \(f\) à \([1,+\infty[\).
D'après le tableau de variations, \(f\) est continue et strictement croissante sur \([1,+\infty[\). Donc \(\varphi\) est continue et strictement croissante sur \([1,+\infty[\).
De plus : \[ \varphi(1)=f(1)=1, \] et : \[ \lim_{x\to+\infty}\varphi(x)=+\infty. \] Donc : \[ \varphi([1,+\infty[)=[1,+\infty[. \]
Ainsi, \(\varphi\) réalise une bijection de \([1,+\infty[\) sur : \[ J=[1,+\infty[. \] Donc elle admet une fonction réciproque : \[ \varphi^{-1}:J\to[1,+\infty[. \]
\[
\boxed{J=[1,+\infty[},\qquad
\boxed{\varphi^{-1}:[1,+\infty[\to[1,+\infty[}.
\]
Partie II — 4.b. Justifier que \(\varphi^{-1}\) est strictement croissante sur \(J\)
D'après le cours, la fonction réciproque d'une fonction continue et strictement croissante est elle-même strictement croissante. Comme \(\varphi\) est continue et strictement croissante sur \([1,+\infty[\), on obtient :
\[
\boxed{\varphi^{-1}\text{ est strictement croissante sur }J}.
\]
Partie II — 5.a. Justifier graphiquement que \(\varphi(x)\leq x\) sur \([1,\alpha]\)
D'après le graphique, sur \([1,\alpha]\), la courbe \((\mathcal C_\varphi)\) est située au-dessous de la droite \(\Delta:y=x\), avec égalité aux extrémités \(1\) et \(\alpha\). Donc : \[ \varphi(x)\leq x \quad\text{pour tout }x\in[1,\alpha]. \]
\[
\boxed{\varphi(x)\leq x\quad\text{pour tout }x\in[1,\alpha]}.
\]
Partie II — 5.b. Déduire que \(\varphi^{-1}(x)\geq x\) sur \([1,\alpha]\)
Soit \(x\in[1,\alpha]\). On pose : \[ y=\varphi^{-1}(x). \] Alors : \[ x=\varphi(y). \] Comme \(\varphi\) est strictement croissante, avec : \[ \varphi(1)=1,\qquad \varphi(\alpha)=\alpha, \] on a : \[ \varphi([1,\alpha])=[1,\alpha]. \] Donc : \[ y\in[1,\alpha]. \] D'après la question précédente : \[ \varphi(y)\leq y. \] Or \(\varphi(y)=x\), donc : \[ x\leq y. \] Comme \(y=\varphi^{-1}(x)\), on obtient : \[ \varphi^{-1}(x)\geq x. \]
\[
\boxed{\varphi^{-1}(x)\geq x\quad\text{pour tout }x\in[1,\alpha]}.
\]
Partie II — 5.c. Tracé de la courbe de \(\varphi^{-1}\)
D'après le cours, la courbe de la fonction réciproque \(\varphi^{-1}\) est la symétrique de la courbe de \(\varphi\) par rapport à la droite : \[ \Delta:y=x. \] Donc, pour tracer \((\mathcal C_{\varphi^{-1}})\), on reproduit \((\mathcal C_\varphi)\), puis on prend son symétrique par rapport à \(\Delta\).
Partie III
On considère la suite \((u_n)\) définie par : \[ u_0\in]1,\alpha[ \] et : \[ u_{n+1}=\varphi^{-1}(u_n),\qquad \forall n\in\N. \]
Partie III — 1. Montrer par récurrence que \(1\lt u_n\lt \alpha\)
On raisonne par récurrence.
Initialisation. Pour \(n=0\), on a : \[ u_0\in]1,\alpha[ \] par hypothèse. Donc : \[ 1\lt u_0\lt \alpha. \] La propriété est vraie au rang \(0\).
Hérédité. Supposons que, pour un entier naturel \(n\), on ait : \[ 1\lt u_n\lt \alpha. \] Alors : \[ u_n\in]1,\alpha[. \] Comme \(\varphi\) est strictement croissante sur \([1,\alpha]\), avec : \[ \varphi(1)=1,\qquad \varphi(\alpha)=\alpha, \] on a : \[ \varphi([1,\alpha])=[1,\alpha], \] et plus précisément : \[ \varphi(]1,\alpha[)=]1,\alpha[. \] Donc : \[ \varphi^{-1}(]1,\alpha[)=]1,\alpha[. \] Comme : \[ u_{n+1}=\varphi^{-1}(u_n), \] on obtient : \[ u_{n+1}\in]1,\alpha[. \] Donc : \[ 1\lt u_{n+1}\lt \alpha. \]
Conclusion. Par récurrence : \[ \boxed{1\lt u_n\lt \alpha\quad\text{pour tout }n\in\N}. \]
Partie III — 2. Montrer que la suite \((u_n)\) est croissante
D'après la question précédente : \[ u_n\in]1,\alpha[ \quad\text{pour tout }n\in\N. \] D'après la question 5.b de la partie II : \[ \varphi^{-1}(x)\geq x \quad\text{pour tout }x\in[1,\alpha]. \] En prenant \(x=u_n\), on obtient : \[ \varphi^{-1}(u_n)\geq u_n. \] Or : \[ u_{n+1}=\varphi^{-1}(u_n). \] Donc : \[ u_{n+1}\geq u_n. \]
\[
\boxed{(u_n)\text{ est croissante}}.
\]
Partie III — 3. En déduire que \((u_n)\) est convergente et déterminer sa limite
D'après la question 1 : \[ 1\lt u_n\lt \alpha \quad\text{pour tout }n\in\N. \] Donc la suite \((u_n)\) est majorée par \(\alpha\).
D'après la question 2, la suite \((u_n)\) est croissante. Donc, d'après le théorème de convergence monotone, la suite \((u_n)\) est convergente.
On note : \[ \ell=\lim_{n\to+\infty}u_n. \] Comme : \[ 1\lt u_n\lt \alpha, \] on obtient : \[ 1\leq\ell\leq\alpha. \]
La fonction \(\varphi^{-1}\) est continue sur \([1,\alpha]\), car elle est la fonction réciproque d'une fonction continue strictement monotone. On peut donc passer à la limite dans : \[ u_{n+1}=\varphi^{-1}(u_n). \] On obtient : \[ \ell=\varphi^{-1}(\ell). \] Cela équivaut à : \[ \varphi(\ell)=\ell. \]
D'après le graphique, les solutions de l'équation : \[ \varphi(x)=x \] sur \([1,\alpha]\) sont : \[ 1\quad\text{et}\quad\alpha. \] Donc : \[ \ell=1\quad\text{ou}\quad\ell=\alpha. \]
Mais \(u_0\gt 1\) et la suite \((u_n)\) est croissante. Donc : \[ \ell\geq u_0\gt 1. \] Ainsi : \[ \ell\neq1. \] Par conséquent : \[ \ell=\alpha. \]
\[
\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=\alpha}.
\]
Commentaires
Enregistrer un commentaire