Examen national 2026 — Mathématiques — PC/SVT
Énoncé de l’examen national unifié du baccalauréat — session ordinaire 2026.
Matière : Mathématiques
Filières : Sciences Physiques et Sciences de la Vie et de la Terre
Durée : 3 heures
Coefficient : 7
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- L’utilisation d’une calculatrice non programmable est autorisée.
- Le candidat peut traiter les exercices et le problème suivant l’ordre qui lui convient.
- Il est recommandé d’éviter l’usage de la couleur rouge dans la rédaction des solutions.
Exercice 1 3 points
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct
\[ (O,\vec i,\vec j,\vec k), \]on considère les points
\[ A(-1,0,1),\quad B(-3,2,2),\quad C(-1,1,2) \quad\text{et}\quad D(2,7,-4). \]Soit \((\Delta)\) la droite passant par le point \(D\) et dirigée par le vecteur
\[ \vec u(2,1,2). \]Montrer que
\[ \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC} = \vec i+2\vec j-2\vec k. \]Déduire que
\[ x+2y-2z+3=0 \]est une équation cartésienne du plan \((ABC)\).
Calculer
\[ \vec u\cdot\left(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right), \]et déduire que la droite \((\Delta)\) est parallèle au plan \((ABC)\).
Soit \((S)\) la sphère de centre
\[ \Omega(0,3,0) \]et tangente à la droite \((\Delta)\).
Vérifier que
\[ \overrightarrow{\Omega D}\cdot\vec u=0, \]et déduire que le rayon de la sphère \((S)\) est égal à \(6\).
Calculer
\[ d(\Omega,(ABC)), \]et déduire que \((ABC)\) coupe la sphère \((S)\) suivant un cercle \((\Gamma)\) de rayon
\[ r=3\sqrt3. \]Vérifier que
\[ \overrightarrow{C\Omega}=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}, \]et déduire que le point \(C\) est le centre du cercle \((\Gamma)\).
Exercice 2 3,5 points
On considère dans le plan complexe les points \(A\), \(B\) et \(C\) d'affixes respectives :
\[ a=\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i,\qquad b=e^{i\frac{\pi}{12}} \qquad\text{et}\qquad c=1. \]Écrire le nombre complexe \(a\) sous forme trigonométrique.
Vérifier que
\[ b^2=a \quad\text{et}\quad b\overline b=1. \]Soit \(T\) la translation de vecteur \(\overrightarrow{OC}\) et \(D\) le point d'affixe \(d\) tel que
\[ T(A)=D. \]Vérifier que
\[ d=b(b+\overline b), \]et déduire que les points \(O\), \(B\) et \(D\) sont alignés.
Vérifier que
\[ \frac{a-c}{d}=(2-\sqrt3)i, \]et déduire que les droites \((AC)\) et \((OD)\) sont perpendiculaires.
Exercice 3 2,5 points
Une urne contient cinq boules blanches, quatre boules noires et deux boules vertes.
Toutes les boules sont indiscernables au toucher.
On tire au hasard et simultanément trois boules de l'urne.
On considère les événements suivants :
\[ A:\ \text{« Les trois boules tirées sont de même couleur. »} \] \[ B:\ \text{« Tirer au moins une boule verte. »} \]Calculer \(p(\overline B)\), la probabilité de l'événement contraire de \(B\), et déduire que
\[ p(B)=\frac{27}{55}. \]On considère la variable aléatoire \(X\) qui associe à chaque tirage le nombre de boules vertes tirées.
Copier et compléter le tableau ci-dessous, qui représente la loi de probabilité de la variable aléatoire \(X\).
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x_i & 0 & 1 & 2 \\ \hline p(X=x_i) & & & \\ \hline \end{array} \]Montrer que l'espérance de la variable aléatoire \(X\) est
\[ E(X)=\frac6{11}. \]Problème 11 points
Partie I
On considère les fonctions numériques \(g\) et \(h\) définies sur \(]0,+\infty[\) par :
\[ g(x)=1-\ln x \qquad\text{et}\qquad h(x)=x^2e^{x-1}. \]Résoudre l'équation
\[ g(x)=0 \]dans l'intervalle \(]0,+\infty[\).
Le graphique ci-dessous représente les courbes \((\mathcal C_g)\) et \((\mathcal C_h)\) des fonctions \(g\) et \(h\) dans un même repère orthonormé.
Justifier graphiquement que :
\[ \forall x\in]0,1[,\quad h(x)-g(x)\lt 0, \]et :
\[ \forall x\in]1,+\infty[,\quad h(x)-g(x)\gt 0. \]En utilisant une intégration par parties, montrer que :
\[ \int_1^e g(x)\,dx=e-2. \]Vérifier que la fonction
\[ H:x\longmapsto e^{x-1}(x^2-2x+2) \]est une primitive de la fonction \(h\) sur \(]0,+\infty[\), puis calculer :
\[ \int_0^1 h(x)\,dx. \]Calculer l'aire du domaine hachuré sur le graphique précédent, en unité d'aire.
Partie II
On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \(]0,+\infty[\) par :
\[ f(x)=e^{x-1}-\frac{\ln x}{x}. \]Soit \((\mathcal C_f)\) sa courbe dans un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\).
Vérifier que
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty, \]puis interpréter géométriquement ce résultat.
Montrer que
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x=+\infty, \]puis interpréter géométriquement ce résultat.
Montrer que pour tout \(x\in]0,+\infty[\),
\[ f'(x)=\frac{h(x)-g(x)}{x^2}. \]Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(]0,+\infty[\).
On peut utiliser la question 2.a de la partie I.
Déduire que pour tout \(x\in]0,+\infty[\),
\[ e^{x-1}\geq 1+\frac{\ln x}{x}. \]Montrer que l’équation
\[ f(x)=x \]admet une solution \(\alpha\) telle que :
\[ \frac32\lt \alpha\lt 2. \]On donne :
\[ f(2)\approx2{,}37 \qquad\text{et}\qquad f\left(\frac32\right)\approx1{,}38. \]Soit \(\varphi\) la restriction de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([1,+\infty[\).
Montrer que \(\varphi\) admet une fonction réciproque \(\varphi^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) que l'on déterminera.
L'expression de \(\varphi^{-1}(x)\) n'est pas demandée.
Justifier que la fonction \(\varphi^{-1}\) est strictement croissante sur l'intervalle \(J\).
Le graphique ci-dessous représente la courbe \((\mathcal C_\varphi)\) de la fonction \(\varphi\) et la droite \((\Delta)\) d'équation \(y=x\) dans un repère orthonormé.
Justifier graphiquement que pour tout \(x\in[1,\alpha]\),
\[ \varphi(x)\leq x. \]Déduire que pour tout \(x\in[1,\alpha]\),
\[ \varphi^{-1}(x)\geq x. \]Reproduire la courbe \((\mathcal C_\varphi)\) et tracer la courbe \((\mathcal C_{\varphi^{-1}})\) de la fonction \(\varphi^{-1}\) dans un même repère orthonormé.
Partie III
Soit la suite numérique \((u_n)\) définie par :
\[ u_0\in]1,\alpha[ \]et :
\[ u_{n+1}=\varphi^{-1}(u_n), \qquad \forall n\in\mathbb{N}. \]Montrer par récurrence que :
\[ 1\lt u_n\lt \alpha, \]pour tout entier naturel \(n\).
Montrer que la suite \((u_n)\) est croissante.
On peut utiliser la question 5.b de la partie II.
En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente et déterminer sa limite.
PDF de l’énoncé
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