Correction des exercices 51 à 54 — Arithmétique dans Z
Manuel Al Moufid · 2e Bac Sciences Mathématiques
Exercice 51
On considère la suite numérique \((u_n)\) définie par :
\[ \begin{cases} u_0=14,\\ u_{n+1}=5u_n-6 &\text{si }n\in\mathbb N. \end{cases} \]Montrer que :
\[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad u_n\in\mathbb N^*. \]Lire la correction +Masquer la correction −
Montrons par récurrence simple la propriété :
\[ (P_n):\qquad u_n\in\mathbb N\quad\text{et}\quad u_n\geq14. \]Initialisation. On a \(u_0=14\). Donc \(u_0\in\mathbb N\) et \(u_0\geq14\) : la propriété \((P_0)\) est vraie.
Hérédité. Soit \(n\in\mathbb N\). Supposons que la propriété \((P_n)\) soit vraie, c’est-à-dire que \(u_n\in\mathbb N\) et \(u_n\geq14\).
Alors \(u_{n+1}=5u_n-6\) est un entier et :
\[ u_{n+1}=5u_n-6\geq5\times14-6=64\geq14. \]Ainsi, \(u_{n+1}\in\mathbb N\) et \(u_{n+1}\geq14\) : la propriété \((P_{n+1})\) est vraie.
Conclusion. Par récurrence, \((P_n)\) est vraie pour tout \(n\in\mathbb N\). En particulier, \(u_n\geq14>0\).
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N\) :
\[ u_{n+2}\equiv u_n\,[4] \qquad\text{et}\qquad 2u_n\equiv28\,[100]. \]Lire la correction +Masquer la correction −
Première congruence. En appliquant deux fois la relation de récurrence :
\[ u_{n+2}=5u_{n+1}-6=5(5u_n-6)-6=25u_n-36. \]Alors :
\[ u_{n+2}-u_n=24u_n-36=4(6u_n-9). \]Ainsi, \(4\mid(u_{n+2}-u_n)\), donc :
\[ u_{n+2}\equiv u_n\,[4]. \]Deuxième congruence. Procédons par récurrence simple.
Initialisation. Au rang \(0\), \(2u_0=28\), donc \(2u_0\equiv28\,[100]\).
Hérédité. Soit \(n\in\mathbb N\). Supposons que \(2u_n\equiv28\,[100]\). Or :
\[ 2u_{n+1}=2(5u_n-6)=5(2u_n)-12. \]Par compatibilité de la congruence avec les opérations :
\[ 2u_{n+1}\equiv5\times28-12=128\equiv28\,[100]. \]La propriété est donc vraie au rang \(n+1\).
A-t-on :
\[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad u_n\equiv14\,[100]\;? \]Lire la correction +Masquer la correction −
Calculons le terme de rang \(1\) :
\[ u_1=5u_0-6=5\times14-6=64. \]Or \(64-14=50\) n’est pas divisible par \(100\). Ainsi :
\[ u_1\not\equiv14\,[100]. \]On peut préciser le comportement. Comme \(u_{n+1}=5u_n-6\), les restes dans la division par \(100\) alternent :
\[ 14\longmapsto64\longmapsto14. \]Exercice 52
Pour tout \(n\in\mathbb N^*\), on pose :
\[ S_n=\sum_{p=1}^{n}p^3. \]Calculer \(S_{n+1}\wedge S_n\).
Lire la correction +Masquer la correction −
Utilisons l’identité classique :
\[ S_n=\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2. \]Elle se vérifie par récurrence : elle est vraie pour \(n=1\), et :
\[ \left(\frac{(n+1)(n+2)}2\right)^2- \left(\frac{n(n+1)}2\right)^2=(n+1)^3. \]Si \(n\) est pair, écrivons \(n=2q\). Alors :
\[ S_n=\bigl(q(n+1)\bigr)^2, \qquad S_{n+1}=\bigl((n+1)(q+1)\bigr)^2. \]Comme \(q\wedge(q+1)=1\), on obtient :
\[ S_{n+1}\wedge S_n=(n+1)^2. \]Si \(n\) est impair, alors :
\[ S_n=\left(n\frac{n+1}{2}\right)^2, \qquad S_{n+1}=\left((n+2)\frac{n+1}{2}\right)^2. \]Or \(n\wedge(n+2)=1\), car leur PGCD divise \(2\) et les deux entiers sont impairs. Donc :
\[ S_{n+1}\wedge S_n=\left(\frac{n+1}{2}\right)^2. \]Montrer que :
\[ (\forall n\in\mathbb N^*)\qquad S_{n+2}\wedge S_{n+1}\wedge S_n=1. \]Lire la correction +Masquer la correction −
Posons :
\[ D=S_{n+2}\wedge S_{n+1}\wedge S_n. \]Comme \(D\) divise les trois sommes, il divise leurs différences successives :
\[ S_{n+2}-S_{n+1}=(n+2)^3 \]et :
\[ S_{n+1}-S_n=(n+1)^3. \]Ainsi, \(D\) divise à la fois \((n+1)^3\) et \((n+2)^3\). Or deux entiers naturels successifs sont premiers entre eux, donc :
\[ (n+1)^3\wedge(n+2)^3=1. \]Exercice 53
Pour tout \(n\in\mathbb N^*\), on pose :
\[ F_n=2^{2^n}+1. \]Montrer que :
\[ (\forall(n,k)\in\mathbb N^*\times\mathbb N^*) \qquad F_n\wedge F_{n+k}=1. \]Lire la correction +Masquer la correction −
Fixons \((n,k)\in\mathbb N^*\times\mathbb N^*\) et posons :
\[ D=F_n\wedge F_{n+k} \qquad\text{et}\qquad A=2^{2^n}. \]Comme \(D\mid F_n=A+1\), on a :
\[ A\equiv-1\,[D]. \]Or :
\[ 2^{2^{n+k}}=\left(2^{2^n}\right)^{2^k}=A^{2^k}. \]Puisque \(k\geq1\), l’entier \(2^k\) est pair. En élevant la congruence précédente à la puissance \(2^k\) :
\[ A^{2^k}\equiv(-1)^{2^k}=1\,[D]. \]Mais \(D\mid F_{n+k}=A^{2^k}+1\), donc aussi :
\[ A^{2^k}\equiv-1\,[D]. \]On obtient ainsi \(1\equiv-1\,[D]\), donc \(D\mid2\). De plus, chaque nombre \(F_j=2^{2^j}+1\) est impair ; leur PGCD \(D\) est donc impair.
Exercice 54
Pour tout \(n\in\mathbb N^*\), on pose :
\[ x_n=\frac{n(n+1)}2, \qquad y_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}6, \qquad z_n=x_n^2. \]Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N^*\), \(x_n\in\mathbb N\), \(y_n\in\mathbb N\) et \(z_n\in\mathbb N\).
Lire la correction +Masquer la correction −
Les entiers \(n\) et \(n+1\) sont consécutifs : l’un des deux est pair. Ainsi, \(2\mid n(n+1)\), donc :
\[ x_n=\frac{n(n+1)}2\in\mathbb N. \]Le produit \(n(n+1)(2n+1)\) est déjà divisible par \(2\). Montrons qu’il est aussi divisible par \(3\). Selon le reste de \(n\) dans la division par \(3\) :
| Valeur de \(n\) | Facteur divisible par \(3\) |
|---|---|
| \(n\equiv0\,[3]\) | \(n\) |
| \(n\equiv1\,[3]\) | \(2n+1\) |
| \(n\equiv2\,[3]\) | \(n+1\) |
Comme \(2\wedge3=1\), le produit est divisible par \(6\), donc \(y_n\in\mathbb N\). Enfin, \(z_n=x_n^2\in\mathbb N\).
On pose \(d_n=(2n+1)\wedge3\). Calculer \(d_n\) en fonction de \(n\).
Lire la correction +Masquer la correction −
Le PGCD \(d_n\) est un diviseur positif de \(3\), donc \(d_n\in\{1,3\}\).
On a \(d_n=3\) si, et seulement si, \(3\mid(2n+1)\), c’est-à-dire :
\[ 2n+1\equiv0\,[3] \quad\Longleftrightarrow\quad n\equiv1\,[3]. \]En déduire \(x_n\wedge y_n\).
Lire la correction +Masquer la correction −
Les définitions donnent la relation :
\[ 3y_n=(2n+1)x_n. \]Écrivons :
\[ 2n+1=d_na, \qquad 3=d_nb, \qquad a\wedge b=1. \]La relation précédente devient \(by_n=ax_n\). Comme \(b\mid ax_n\) et \(a\wedge b=1\), le théorème de Gauss donne \(b\mid x_n\). Il existe donc \(q\in\mathbb N\) tel que :
\[ x_n=bq \qquad\text{et alors}\qquad y_n=aq. \]Puisque \(a\wedge b=1\), on obtient :
\[ x_n\wedge y_n=q=\frac{x_n}{b}=\frac{d_nx_n}{3}. \]Autrement dit, le PGCD vaut \(x_n\) si \(n\equiv1\,[3]\), et \(\dfrac{x_n}{3}\) sinon.
Calculer \(\Delta_n=n\wedge(n+2)\).
Lire la correction +Masquer la correction −
Tout diviseur commun à \(n\) et \(n+2\) divise leur différence \(2\). Ainsi :
\[ \Delta_n\in\{1,2\}. \]Si \(n\) est pair, \(n\) et \(n+2\) sont tous deux pairs, donc \(\Delta_n=2\). Si \(n\) est impair, leur PGCD ne peut pas être \(2\), donc \(\Delta_n=1\).
En déduire \(z_{n+1}\wedge z_n\).
Lire la correction +Masquer la correction −
On commence par calculer \(x_{n+1}\wedge x_n\).
Si \(n\) est pair, alors :
\[ x_n=\frac n2(n+1), \qquad x_{n+1}=(n+1)\frac{n+2}{2}. \]Les entiers \(\dfrac n2\) et \(\dfrac{n+2}{2}\) sont successifs, donc leur PGCD vaut \(1\). Ainsi, \(x_{n+1}\wedge x_n=n+1\).
Si \(n\) est impair, alors :
\[ x_n=n\frac{n+1}{2}, \qquad x_{n+1}=\frac{n+1}{2}(n+2). \]D’après la question 3, \(n\wedge(n+2)=1\). Ainsi, \(x_{n+1}\wedge x_n=\dfrac{n+1}{2}\).
Dans les deux cas :
\[ x_{n+1}\wedge x_n=\frac{(n+1)\Delta_n}{2}. \]Comme \(z_n=x_n^2\), la propriété du PGCD des puissances donne :
\[ z_{n+1}\wedge z_n =\left(x_{n+1}\wedge x_n\right)^2 =\left(\frac{(n+1)\Delta_n}{2}\right)^2. \]Montrer que, si \(n\geq2\), alors :
\[ z_n\wedge z_{n+1}\wedge z_{n+2}=1. \]Lire la correction +Masquer la correction −
Posons :
\[ \delta=x_n\wedge x_{n+1}\wedge x_{n+2}. \]Tout diviseur commun aux trois nombres divise les différences successives. Or :
\[ x_{n+1}-x_n=n+1 \]et :
\[ x_{n+2}-x_{n+1}=n+2. \]Ainsi, \(\delta\mid(n+1)\) et \(\delta\mid(n+2)\). Comme deux entiers successifs sont premiers entre eux :
\[ \delta=1. \]Par associativité du PGCD et par la propriété du PGCD des puissances :
\[ \begin{aligned} z_n\wedge z_{n+1}\wedge z_{n+2} &=x_n^2\wedge x_{n+1}^2\wedge x_{n+2}^2\\ &=\left(x_n\wedge x_{n+1}\wedge x_{n+2}\right)^2\\ &=1. \end{aligned} \]Dans l’exercice 51, on utilise une récurrence simple portant sur la propriété renforcée \(u_n\in\mathbb N\) et \(u_n\geq14\), puis la relation de récurrence permet d’étudier les restes. Lorsqu’on divise une congruence par un entier non premier avec le diviseur, il faut aussi réduire celui-ci.
Dans les exercices 52 et 54, on transforme les sommes et les suites en produits afin d’utiliser les propriétés du PGCD, les différences de termes consécutifs et le fait que deux entiers successifs sont premiers entre eux.
Dans l’exercice 53, le choix d’un diviseur commun permet de comparer deux congruences incompatibles ; la parité des nombres de Fermat achève alors la démonstration.
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