Correction détaillée des exercices 1 à 7 — Arithmétique dans \(\mathbb Z\)
Manuel Al Moufid · 2e Bac Sciences Mathématiques
Exercice 1
On sait que le reste de la division euclidienne d’un entier \(a\) par \(12\) est égal à \(7\). Déterminer le reste de la division euclidienne de \(a\) par \(3\).
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L’hypothèse signifie qu’il existe un entier relatif \(q\) tel que :
\[ a=12q+7. \]On réécrit cette égalité sous la forme d’une division par \(3\) :
\[ a=3(4q+2)+1. \]Comme \(0\leq1<3\), le nombre \(1\) est le reste recherché.
On sait que le reste de la division euclidienne d’un entier \(b\) par \(3\) est égal à \(2\). Déterminer les valeurs possibles du reste de la division euclidienne de \(b\) par \(12\).
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Il existe \(q\in\mathbb Z\) tel que :
\[ b=3q+2. \]Effectuons la division euclidienne de \(q\) par \(4\). Il existe \(k\in\mathbb Z\) et \(s\in\{0;1;2;3\}\) tels que :
\[ q=4k+s. \]Ainsi :
\[ b=3(4k+s)+2=12k+(3s+2). \]Pour \(s=0,1,2,3\), les nombres \(3s+2\) sont respectivement \(2,5,8,11\). Ils sont tous compris entre \(0\) et \(11\).
Exercice 2
Déterminer, selon les valeurs de l’entier naturel \(n\), le reste de la division euclidienne de \(37^n\) par \(7\).
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On a :
\[ 37=7\times5+2. \]Le développement de \((7\times5+2)^n\) montre que \(37^n\) et \(2^n\) ont le même reste dans la division euclidienne par \(7\).
Effectuons la division euclidienne de \(n\) par \(3\) :
\[ n=3k+s, \qquad k\in\mathbb N, \qquad s\in\{0;1;2\}. \]Comme \(2^3=8=7+1\), une puissance de \(2^3\) laisse le reste \(1\) par \(7\). On obtient donc :
\[ \begin{aligned} n=3k &\Longrightarrow \text{reste }1,\\ n=3k+1 &\Longrightarrow \text{reste }2,\\ n=3k+2 &\Longrightarrow \text{reste }4. \end{aligned} \]En déduire le reste de la division euclidienne des nombres \(37^{26}\) et \(37^{250}\) par \(7\).
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On a :
\[ 26=3\times8+2. \]D’après la question 1, le reste de \(37^{26}\) par \(7\) est donc \(4\).
D’autre part :
\[ 250=3\times83+1. \]Le reste de \(37^{250}\) par \(7\) est donc \(2\).
Quel est le reste de la division euclidienne du nombre :
\[ N=(705432)^5 \]par \(11\) ?
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La division euclidienne de \(705432\) par \(11\) donne :
\[ 705432=11\times64130+2. \]Le développement de \((11\times64130+2)^5\) montre que \(N\) et \(2^5\) ont le même reste dans la division par \(11\). Or :
\[ 2^5=32=11\times2+10. \]Exercice 3
Soit \(n\) un entier naturel.
Déterminer le reste de la division euclidienne de \(2^n\) par \(3\).
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On remarque que :
\[ 2^2=4=3+1. \]Si \(n=2k\), alors \(2^n=4^k\) laisse le reste \(1\) dans la division par \(3\).
Si \(n=2k+1\), alors \(2^n=2\times4^k\) laisse le reste \(2\) dans la division par \(3\).
Déterminer le reste de la division euclidienne de \((275423)^n\) par \(3\).
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On effectue la division euclidienne de \(275423\) par \(3\) :
\[ 275423=3\times91807+2. \]Ainsi, \((275423)^n\) et \(2^n\) ont le même reste dans la division par \(3\). D’après la question 1 :
Déterminer le reste de la division euclidienne de \((372121)^n\) par \(3\).
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On a :
\[ 372121=3\times124040+1. \]Le développement de \((3\times124040+1)^n\) montre qu’il existe un entier naturel \(A\) tel que :
\[ (372121)^n=3A+1. \]Cette écriture reste valable pour \(n=0\), puisque \((372121)^0=1\).
Déterminer les valeurs de l’entier \(n\) pour lesquelles le nombre :
\[ N=(275423)^n+(372121)^n \]est divisible par \(3\).
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Si \(n\) est pair, les deux termes de \(N\) laissent chacun le reste \(1\). Leur somme laisse donc le reste \(2\) : elle n’est pas divisible par \(3\).
Si \(n\) est impair, les deux termes laissent respectivement les restes \(2\) et \(1\). Leur somme laisse alors le reste \(0\).
Exercice 4
Montrer que le nombre :
\[ a=n^2(n^2-1) \]est divisible par \(12\) pour tout \(n\in\mathbb N\).
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On factorise :
\[ a=n^2(n-1)(n+1). \]Les entiers \(n-1,n,n+1\) sont trois entiers consécutifs. L’un d’eux est donc divisible par \(3\), d’où :
\[ 3\,/\,a. \]Montrons maintenant que \(4\) divise \(a\).
Si \(n=2k\), alors \(n^2=4k^2\), donc \(4\,/\,a\).
Si \(n=2k+1\), alors :
\[ n^2-1=(2k+1)^2-1=4k(k+1), \]donc, dans ce cas encore, \(4\,/\,a\).
On a \(3\wedge4=1\). D’après le théorème 5, puisque \(3\,/\,a\) et \(4\,/\,a\), on obtient :
\[ 12\,/\,a. \]Exercice 5
Déterminer les entiers naturels \(n\) pour lesquels le nombre :
\[ a=n^2-3n+6 \]est divisible par \(5\).
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Effectuons la division euclidienne de \(n\) par \(5\). Il existe \(q\in\mathbb N\) et \(r\in\{0;1;2;3;4\}\) tels que :
\[ n=5q+r. \]Alors :
\[ a=5(5q^2+2qr-3q)+r^2-3r+6. \]Il suffit donc d’étudier les cinq valeurs possibles de \(r\). Pour \(r=0,1,2,3,4\), le reste de \(r^2-3r+6\) dans la division par \(5\) est respectivement :
\[ 1;4;4;1;0. \]Le nombre \(a\) est donc divisible par \(5\) uniquement lorsque \(r=4\). Réciproquement, toute valeur \(n=5q+4\) convient.
Exercice 6
Soient \(a,b,c\) et \(d\) des entiers relatifs tels que \(ad+bc\ne0\). On suppose que \(ad+bc\) divise les nombres \(a,b,c\) et \(d\).
Établir que :
\[ |ad+bc|=1. \]Lire la correction +Masquer la correction −
Posons :
\[ \delta=ad+bc. \]Par hypothèse, \(\delta\ne0\) et \(\delta\) divise chacun des entiers \(a,b,c,d\). Il existe donc \(a_1,b_1,c_1,d_1\in\mathbb Z\) tels que :
\[ a=\delta a_1, \quad b=\delta b_1, \quad c=\delta c_1, \quad d=\delta d_1. \]En remplaçant dans l’égalité \(\delta=ad+bc\), on obtient :
\[ \delta=\delta^2(a_1d_1+b_1c_1). \]Comme \(\delta\ne0\), on peut diviser cette égalité par \(\delta\) :
\[ 1=\delta(a_1d_1+b_1c_1). \]Ainsi, \(\delta\,/\,1\). Par conséquent, \(\delta=1\) ou \(\delta=-1\).
Exercice 7
On pose :
\[ E=\{n\in\mathbb N\,/\,n\geq7\}. \]Déterminer les valeurs de \(n\in E\) pour lesquelles :
\[ n-6\,/\,n+9. \]Lire la correction +Masquer la correction −
Supposons que \(n-6\,/\,n+9\). Comme \(n-6\) divise aussi \(n-6\), il divise leur différence :
\[ (n+9)-(n-6)=15. \]De plus, \(n\geq7\), donc \(n-6\) est un diviseur strictement positif de \(15\). Ainsi :
\[ n-6\in\{1;3;5;15\}. \]On obtient respectivement :
\[ n\in\{7;9;11;21\}. \]Réciproquement, pour chacune de ces quatre valeurs, \(n-6\) divise \(15\), donc il divise :
\[ n+9=(n-6)+15. \]Soit \(n\in\mathbb Z\setminus\{3\}\). Déterminer les valeurs de \(n\) pour lesquelles :
\[ n-3\,/\,n^3-3. \]Lire la correction +Masquer la correction −
On écrit :
\[ \begin{aligned} n^3-3 &=n^3-27+24\\ &=(n-3)(n^2+3n+9)+24. \end{aligned} \]Comme \(n\ne3\), le nombre \(n-3\) est non nul. L’égalité précédente donne l’équivalence :
\[ n-3\,/\,n^3-3 \quad\Longleftrightarrow\quad n-3\,/\,24. \]Les diviseurs entiers non nuls de \(24\) sont :
\[ -24;-12;-8;-6;-4;-3;-2;-1;1;2;3;4;6;8;12;24. \]En ajoutant \(3\) à chacun de ces diviseurs, on obtient toutes les valeurs possibles de \(n\).
Résoudre dans \(\mathbb N^2\) l’équation :
\[ 3xy+x+3y=99. \]Lire la correction +Masquer la correction −
On ajoute \(1\) aux deux membres afin de factoriser :
\[ 3xy+x+3y+1=100, \]d’où :
\[ (x+1)(3y+1)=100. \]Comme \(x,y\in\mathbb N\), les deux facteurs sont strictement positifs. Le nombre \(3y+1\) est donc un diviseur positif de \(100\), et son reste dans la division par \(3\) est \(1\).
Parmi les diviseurs positifs \(1,2,4,5,10,20,25,50,100\) de \(100\), les seules valeurs possibles de \(3y+1\) sont :
\[ 1;4;10;25;100. \]Elles donnent successivement :
\[ (x;y)=(99;0),(24;1),(9;3),(3;8),(0;33). \]Chacun de ces couples vérifie bien l’équation initiale.
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