Correction détaillée des exercices 12 à 14 — Arithmétique dans Z — Manuel Al Moufid

Correction détaillée des exercices 12 à 14 — Arithmétique dans \(\mathbb Z\)

Manuel Al Moufid · 2e Bac Sciences Mathématiques

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Exercice 12

Les questions suivantes sont indépendantes.

Question 1 Soit \(p\) un nombre premier supérieur ou égal à \(3\). Montrer que : \(p\equiv1\,[4]\) ou \(p\equiv3\,[4]\).

Correction de l’énoncé du manuel : le manuel imprime « et ». Les deux congruences ne pouvant être vraies simultanément, il faut lire « ou ».

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Le nombre premier \(p\) est supérieur ou égal à \(3\), donc il est impair.

Dans la division euclidienne de \(p\) par \(4\), le reste appartient à \(\{0;1;2;3\}\). Les restes \(0\) et \(2\) donneraient un nombre pair. Il reste donc seulement les deux possibilités :

\[ p\equiv1\,[4]\quad\text{ou}\quad p\equiv3\,[4]. \]

Tout nombre premier \(p\geq3\) vérifie \(p\equiv1\,[4]\) ou \(p\equiv3\,[4]\).

Question 2 Soient \(a\), \(b\) et \(c\) trois nombres premiers distincts et strictement supérieurs à \(3\). Montrer que \(a^2+b^2+c^2\) n’est pas premier.

Correction de l’énoncé du manuel : la condition imprimée autorise le nombre premier \(3\), ce qui rend l’affirmation fausse. En effet, \(3^2+5^2+7^2=83\), et \(83\) est premier. La condition cohérente est donc \(a\gt3\), \(b\gt3\) et \(c\gt3\).

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Un nombre premier strictement supérieur à \(3\) n’est pas divisible par \(3\). Son reste dans la division euclidienne par \(3\) est donc \(1\) ou \(2\). Dans les deux cas, son carré est congru à \(1\) suivant le module \(3\).

\[ a^2\equiv1\,[3],\qquad b^2\equiv1\,[3],\qquad c^2\equiv1\,[3]. \]

Par addition :

\[ a^2+b^2+c^2\equiv3\equiv0\,[3]. \]

Ainsi, \(3/(a^2+b^2+c^2)\). De plus, cette somme est strictement supérieure à \(3\).

Le nombre \(a^2+b^2+c^2\) possède le diviseur propre \(3\) ; il n’est donc pas premier.

Question 3 Soit \(p\) un nombre premier supérieur ou égal à \(5\). Montrer que : \[ p^2+11\equiv0\,[12]. \]

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Le nombre \(p\) est impair. Il existe donc \(k\in\mathbb Z\) tel que \(p=2k+1\), et :

\[ p^2-1=4k(k+1). \]

On obtient donc \(4/(p^2-1)\).

D’autre part, \(p\) n’est pas divisible par \(3\). Il est congru à \(1\) ou \(2\) suivant le module \(3\), donc :

\[ p^2\equiv1\,[3], \]

et ainsi \(3/(p^2-1)\). Comme \(3\wedge4=1\), on en déduit :

\[ 12/(p^2-1). \]

Or \(p^2+11=(p^2-1)+12\). Par conséquent :

\[ p^2+11\equiv0\,[12]. \]

Pour tout nombre premier \(p\geq5\), \(p^2+11\equiv0\,[12]\).

Question 4 Montrer que la somme de trois entiers naturels impairs consécutifs n’est pas un nombre premier.

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Trois entiers naturels impairs consécutifs s’écrivent, pour un certain \(n\in\mathbb N\) :

\[ 2n+1,\qquad2n+3,\qquad2n+5. \]

Leur somme vaut :

\[ (2n+1)+(2n+3)+(2n+5)=6n+9=3(2n+3). \]

Les deux facteurs \(3\) et \(2n+3\) sont supérieurs ou égaux à \(3\).

La somme est un produit de deux entiers strictement supérieurs à \(1\) ; elle n’est pas première.

Question 5 Soit \(a\in\mathbb Z\). Le nombre \(a^4+a^2+1\) est-il premier ?

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On utilise l’identité :

\[ a^4+a^2+1=(a^2+a+1)(a^2-a+1). \]

Étudions les valeurs particulières :

\[ a=0\Longrightarrow a^4+a^2+1=1, \] \[ a=1\ \text{ou}\ a=-1\Longrightarrow a^4+a^2+1=3. \]

Si \(|a|\geq2\), alors :

\[ a^2+a+1\geq a^2-|a|+1\geq3, \] \[ a^2-a+1\geq a^2-|a|+1\geq3. \]

Le nombre est alors un produit de deux entiers supérieurs à \(1\).

Le nombre \(a^4+a^2+1\) est premier si, et seulement si, \(a\in\{-1;1\}\). Il vaut alors \(3\).

Question 6 Soient \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) des entiers naturels non nuls. Montrer que si \(ab=cd\), alors \(a^2+b^2+c^2+d^2\) n’est pas premier.

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Posons \(g=a\wedge c\). Il existe deux entiers naturels non nuls \(a_1\) et \(c_1\) tels que :

\[ a=ga_1,\qquad c=gc_1,\qquad a_1\wedge c_1=1. \]

L’égalité \(ab=cd\) devient :

\[ a_1b=c_1d. \]

On a donc \(c_1/(a_1b)\). Comme \(a_1\wedge c_1=1\), le théorème de Gauss donne \(c_1/b\). Il existe alors \(k\in\mathbb N^*\) tel que \(b=c_1k\). En remplaçant dans \(a_1b=c_1d\), on obtient \(d=a_1k\).

Par suite :

\[ \begin{aligned} a^2+b^2+c^2+d^2 &=g^2a_1^2+c_1^2k^2+g^2c_1^2+a_1^2k^2\\ &=(g^2+k^2)(a_1^2+c_1^2). \end{aligned} \]

Les deux facteurs sont supérieurs ou égaux à \(2\).

Le nombre \(a^2+b^2+c^2+d^2\) est composé ; il n’est pas premier.

Question 7 Soit \((x;y)\in(\mathbb N^*)^2\) tel que \(x\gt1\) et \(y\gt1\). Montrer que le nombre \(N=x^4+4y^4\) n’est pas premier.

Correction de l’énoncé du manuel : le manuel définit le couple \((x;y)\), mais écrit ensuite \(N=a^4+4b^4\). Les variables cohérentes sont \(x\) et \(y\).

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On utilise l’identité de factorisation :

\[ x^4+4y^4=(x^2-2xy+2y^2)(x^2+2xy+2y^2). \]

Le premier facteur s’écrit :

\[ x^2-2xy+2y^2=(x-y)^2+y^2. \]

Comme \(y\gt1\), il est strictement supérieur à \(1\). Le second facteur est également strictement supérieur à \(1\).

Le nombre \(N=x^4+4y^4\) est un produit de deux entiers strictement supérieurs à \(1\) ; il n’est pas premier.

Question 8 Déterminer les valeurs de l’entier naturel \(n\) pour lesquelles \(n^4+4\) est premier.

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On a :

\[ n^4+4=(n^2-2n+2)(n^2+2n+2) =\big((n-1)^2+1\big)\big((n+1)^2+1\big). \]

Pour \(n=0\), le nombre vaut \(4\), qui n’est pas premier. Pour \(n=1\), il vaut \(5\), qui est premier.

Si \(n\geq2\), chacun des deux facteurs de la décomposition est strictement supérieur à \(1\). Le nombre est donc composé.

L’unique valeur cherchée est \(\boxed{n=1}\).

Question 9 Soit \(p\) un nombre premier supérieur ou égal à \(3\). Résoudre dans \(\mathbb N^2\) l’équation : \[ x^2-y^2=p. \]

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L’équation s’écrit :

\[ (x-y)(x+y)=p. \]

Comme \(p\gt0\), on a \(x\gt y\). Les deux facteurs \(x-y\) et \(x+y\) sont donc des entiers naturels non nuls. Puisque \(p\) est premier :

\[ x-y=1\qquad\text{et}\qquad x+y=p. \]

En additionnant puis en soustrayant ces deux égalités :

\[ x=\frac{p+1}{2},\qquad y=\frac{p-1}{2}. \]

Le nombre premier \(p\geq3\) étant impair, ces deux nombres sont naturels.

L’ensemble des solutions est \[ \boxed{S=\left\{\left(\frac{p+1}{2};\frac{p-1}{2}\right)\right\}}. \]

Exercice 13

Soit \((a;b)\in\mathbb N^*\times\mathbb N^*\). On suppose que les nombres \(a\), \(a+b\) et \(a+2b\) sont premiers.

Question 1 Montrer que \(b\) est pair.

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Raisonnons par l’absurde et supposons que \(b\) soit impair.

Si \(a=2\), alors \(a+2b=2+2b\) est pair et strictement supérieur à \(2\), donc il n’est pas premier.

Si \(a\) est impair, alors \(a+b\) est pair. De plus, \(a+b\gt2\), donc \(a+b\) n’est pas premier.

Dans les deux cas, on obtient une contradiction avec les hypothèses.

L’entier \(b\) est pair.

Question 2 Montrer que si \(a\gt3\), alors \(3\) divise \(b\).

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Supposons que \(3\) ne divise pas \(b\). On a alors :

\[ b\equiv1\,[3]\quad\text{ou}\quad b\equiv2\,[3]. \]

Dans les deux cas, les trois nombres \(a\), \(a+b\) et \(a+2b\) ont trois restes distincts dans la division euclidienne par \(3\). L’un d’eux est donc divisible par \(3\).

Or ces trois nombres sont premiers et strictement supérieurs à \(3\), ce qui est impossible.

On en déduit que \(3/b\).

Question 3 Donner trois exemples dans lesquels les entiers \(a\), \(a+b\) et \(a+2b\) sont des nombres premiers.

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On peut choisir les couples suivants :

\[ (a;b)=(3;2),\qquad(a;b)=(5;6),\qquad(a;b)=(7;6). \]

On vérifie :

\[ 3,\ 5,\ 7\quad\text{sont premiers}, \] \[ 5,\ 11,\ 17\quad\text{sont premiers}, \] \[ 7,\ 13,\ 19\quad\text{sont premiers}. \]

Trois exemples convenables sont \(\boxed{(3;2)}\), \(\boxed{(5;6)}\) et \(\boxed{(7;6)}\).

Exercice 14

Soit \(p\) un nombre premier supérieur ou égal à \(5\).

Question 1 Montrer que : \[ p^2\equiv1\,[3]\qquad\text{et}\qquad2^p\equiv2\,[3]. \]

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Le nombre premier \(p\geq5\) n’est pas divisible par \(3\). Ainsi :

\[ p\equiv1\,[3]\quad\text{ou}\quad p\equiv2\,[3]. \]

Dans les deux cas :

\[ p^2\equiv1\,[3]. \]

D’autre part, \(p\) est impair et \(2\equiv-1\,[3]\). Par conséquent :

\[ 2^p\equiv(-1)^p\equiv-1\equiv2\,[3]. \]

On a bien \(p^2\equiv1\,[3]\) et \(2^p\equiv2\,[3]\).

Question 2 En déduire que l’entier \(p^2+2^p\) n’est pas premier.

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D’après la question précédente :

\[ p^2+2^p\equiv1+2\equiv0\,[3]. \]

Ainsi, \(3/(p^2+2^p)\). De plus, pour \(p\geq5\), l’entier \(p^2+2^p\) est strictement supérieur à \(3\).

Le nombre \(p^2+2^p\) possède le diviseur propre \(3\) ; il n’est donc pas premier.

Repères méthodologiques

• Pour montrer qu’un entier n’est pas premier, chercher un diviseur propre ou une factorisation en deux facteurs strictement supérieurs à \(1\).
• Lorsqu’un nombre premier est supérieur à \(3\), commencer par exclure les restes correspondant aux multiples de \(2\) et de \(3\).
• Une égalité de produits, associée au théorème de Gauss, permet souvent de paramétrer les facteurs puis d’obtenir une factorisation.