Correction détaillée des exercices 45 à 50 — Systèmes de numération — Arithmétique dans Z — Manuel Al Moufid
Correction détaillée des exercices 45 à 50
Systèmes de numération — Arithmétique dans \(\mathbb Z\) — Manuel Al Moufid
Les exercices 45 à 50 étudient les systèmes de numération : chiffres inconnus, recherche de bases, opérations en base \(8\) et conversion binaire. Le lien avec l’arithmétique repose sur la traduction d’une écriture positionnelle en polynôme.
Chaque calcul doit respecter les chiffres autorisés et les retenues propres à la base. Deux réserves du manuel restent visibles : le diviseur manquant de l’exercice 48 B et l’affirmation fausse de l’exercice 49 C, accompagnée d’un contre-exemple et d’une version corrigée. Ces limites font partie d’une correction rigoureuse.
Repères de cours — Écriture positionnelle et critères de divisibilité
En base entière \(b\geq2\), une écriture \(\overline{a_ka_{k-1}\ldots a_0}_{(b)}\) vaut \(\sum_{j=0}^{k}a_jb^j\). Chaque chiffre vérifie \(0\leq a_j\lt b\), et le chiffre initial d’une écriture à plusieurs chiffres est non nul. Le plus grand chiffre impose donc une borne inférieure à la base.
Modulo \(b-1\), le nombre est congru à la somme de ses chiffres ; modulo \(b+1\), il est congru à leur somme alternée, en partant des unités. En base \(10\), cela donne notamment les critères par \(3\) et par \(11\). Les deux derniers chiffres suffisent pour la divisibilité par \(4\), car \(4\mid100\).
Dans une addition en base \(b\), une retenue apparaît dès que la somme atteint \(b\). Les \(k\) derniers chiffres forment le reste d’une division par \(b^k\). Comme \(8=2^3\), un chiffre octal se remplace par un groupe de trois bits ; les zéros à l’intérieur des groupes doivent être conservés.
Exercice 45
Déterminer les valeurs des entiers naturels \(x\) et \(y\) pour lesquelles le nombre
\[ N=\overline{26x95y}_{(10)} \]est divisible par \(3\) et par \(11\).
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Comme \(x\) et \(y\) sont des chiffres décimaux :
\[ x,y\in\{0,1,\ldots,9\}. \]Condition de divisibilité par \(3\)
La somme des chiffres de \(N\) vaut :
\[ 2+6+x+9+5+y=22+x+y. \]Ainsi :
\[ 3\mid N \quad\Longleftrightarrow\quad 3\mid(22+x+y) \quad\Longleftrightarrow\quad 3\mid(1+x+y). \]Condition de divisibilité par \(11\)
Le critère de divisibilité par \(11\) donne :
\[ N\equiv y-5+9-x+6-2\,[11], \]donc :
\[ N\equiv 8-x+y\,[11]. \]Or :
\[ -1\leq 8-x+y\leq17. \]Les seuls multiples de \(11\) dans cet intervalle sont \(0\) et \(11\).
Si \(8-x+y=0\), alors \(x-y=8\). Les couples possibles sont \((8,0)\) et \((9,1)\), mais seul \((8,0)\) vérifie \(3\mid(1+x+y)\).
Si \(8-x+y=11\), alors \(y=x+3\), avec \(0\leq x\leq6\). La condition de divisibilité par \(3\) devient :
\[ 3\mid(2x+4), \]d’où \(x\equiv1\,[3]\). On obtient \(x=1\) ou \(x=4\), puis \(y=4\) ou \(y=7\).
| \(x\) | \(y\) | Nombre \(N\) |
|---|---|---|
| 1 | 4 | 261954 |
| 4 | 7 | 264957 |
| 8 | 0 | 268950 |
Déterminer les chiffres \(\alpha\) et \(\beta\) pour lesquels le nombre
\[ K=\overline{11\alpha1\beta}_{(10)} \]est divisible par \(28\).
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On a \(28=4\times7\), avec \(4\wedge7=1\). Ainsi, \(28\mid K\) si, et seulement si, \(4\mid K\) et \(7\mid K\).
Divisibilité par \(4\)
Les deux derniers chiffres de \(K\) forment le nombre \(\overline{1\beta}_{(10)}=10+\beta\). Comme \(10\leq10+\beta\leq19\), les seules possibilités divisibles par \(4\) sont :
\[ 10+\beta=12\quad\text{ou}\quad10+\beta=16. \]Donc :
\[ \beta\in\{2,6\}. \]Divisibilité par \(7\)
\[ K=11010+100\alpha+\beta. \]Comme \(11010\equiv6\,[7]\) et \(100\equiv2\,[7]\), on a :
\[ K\equiv6+2\alpha+\beta\,[7]. \]Si \(\beta=2\), alors \(2\alpha+8\equiv0\,[7]\), d’où \(\alpha\equiv3\,[7]\). Comme \(\alpha\) est un chiffre, \(\alpha=3\).
Si \(\beta=6\), alors \(2\alpha+12\equiv0\,[7]\), d’où \(\alpha\equiv1\,[7]\). Comme \(\alpha\) est un chiffre, \(\alpha=1\) ou \(\alpha=8\).
| \(\alpha\) | \(\beta\) | Nombre \(K\) | Vérification |
|---|---|---|---|
| 3 | 2 | 11312 | \(11312=28\times404\) |
| 1 | 6 | 11116 | \(11116=28\times397\) |
| 8 | 6 | 11816 | \(11816=28\times422\) |
Exercice 46
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Le chiffre \(7\) impose \(b\geq8\). En écriture décimale :
\[ 23=2b+7. \]Donc \(2b=16\), puis \(b=8\), valeur compatible avec les chiffres utilisés.
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Le chiffre \(5\) impose \(b\geq6\). On a :
\[ 136=2b^2+5b+3. \]Ainsi :
\[ 2b^2+5b-133=0 \quad\Longleftrightarrow\quad (b-7)(2b+19)=0. \]Dans \(\mathbb N\), la seule possibilité est \(b=7\), et cette valeur est bien supérieure à \(5\).
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Le chiffre \(5\) impose \(b\geq6\). L’équation s’écrit :
\[ 303=5b^2+2b+3. \]La fonction \(b\mapsto5b^2+2b+3\) est strictement croissante sur \(\mathbb N\). Or :
\[ 5\times7^2+2\times7+3=262<303 \]et :
\[ 5\times8^2+2\times8+3=339>303. \]Aucun entier naturel \(b\) ne peut donc convenir.
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Le chiffre \(7\) impose \(b\geq8\). L’équation devient :
\[ 12551=3b^4+4b^2+7. \]Pour \(b=8\) :
\[ 3\times8^4+4\times8^2+7 =3\times4096+4\times64+7 =12551. \]De plus, \(b\mapsto3b^4+4b^2+7\) est strictement croissante sur \(\mathbb N\), donc cette solution est unique.
Exercice 47
Soit \(b\) un entier naturel supérieur ou égal à \(6\). On considère le nombre :
\[ N=\overline{1540}_{(b)}. \]Montrer que le nombre \(N\) est divisible par \(b\), par \(b+1\) et par \(b+4\).
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En développant l’écriture de \(N\) en base \(b\), on obtient :
\[ N=b^3+5b^2+4b. \]On factorise :
\[ \begin{aligned} N&=b\bigl(b^2+5b+4\bigr)\\ &=b(b+1)(b+4). \end{aligned} \]Existe-t-il des valeurs de l’entier \(b\) pour lesquelles le nombre \(N\) est divisible par \(b-1\) ?
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Comme \(b\equiv1\,[b-1]\), on a :
\[ N=b^3+5b^2+4b\equiv1+5+4\,[b-1]. \]Donc :
\[ N\equiv10\,[b-1]. \]Par conséquent :
\[ (b-1)\mid N \quad\Longleftrightarrow\quad (b-1)\mid10. \]Or \(b\geq6\), donc \(b-1\geq5\). Les diviseurs positifs de \(10\) supérieurs ou égaux à \(5\) sont \(5\) et \(10\). Ainsi :
\[ b-1=5\quad\text{ou}\quad b-1=10. \]Exercice 48
Soit \(N\in\mathbb N\) tel que :
\[ N=\overline{52}_{(p)} \qquad\text{et}\qquad N=\overline{42}_{(q)}. \]Déterminer les valeurs de \(p\) et \(q\).
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La première écriture impose \(p\geq6\), tandis que la seconde impose \(q\geq5\).
En écriture décimale :
\[ 5p+2=4q+2, \]donc :
\[ 5p=4q. \]Comme \(4\wedge5=1\), il existe \(k\in\mathbb N^*\) tel que :
\[ p=4k \qquad\text{et}\qquad q=5k. \]La condition \(p\geq6\) donne \(k\geq2\). Réciproquement, tout entier \(k\geq2\) fournit deux bases valides et :
\[ N=20k+2. \]Complément proposé par PMM : le diviseur, absent de la transcription, est fixé à \(7^3\) dans cette version.
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On sépare les trois derniers chiffres :
\[X=\overline{62310}_{(7)}\times7^3+\overline{425}_{(7)}.\]Or :
\[\overline{425}_{(7)}=4\times7^2+2\times7+5=215,\qquad0\leq215<343=7^3.\]Cette égalité est donc la division euclidienne de \(X\) par \(7^3\). Le quotient est \(\overline{62310}_{(7)}\).
Déterminer les entiers naturels \(\alpha\), \(\beta\) et \(b\) tels que :
\[ \overline{\beta\beta\beta}_{(b)}=\overline{\alpha\alpha}_{(2)}. \]Lire la correction +Masquer la correction −
Dans une écriture valide en base \(2\), le premier chiffre est non nul et chaque chiffre appartient à \(\{0,1\}\). Ainsi :
\[ \alpha=1 \qquad\text{et}\qquad \overline{\alpha\alpha}_{(2)}=\overline{11}_{(2)}=3. \]De même, l’écriture \(\overline{\beta\beta\beta}_{(b)}\) impose \(b\geq2\) et \(1\leq\beta\leq b-1\). On aurait donc :
\[ \beta(b^2+b+1)=3. \]Mais :
\[ \beta(b^2+b+1)\geq1\times(2^2+2+1)=7>3. \]On considère les nombres :
\[ x=\overline{236}_{(8)} \qquad\text{et}\qquad y=\overline{347}_{(8)}. \]Calculer \(x+y\) et \(x\times y\).
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Addition en base \(8\)
À droite, \(6+7=13=1\times8+5\) : on écrit \(5\) et on retient \(1\). Ensuite, \(3+4+1=8\) : on écrit \(0\) et on retient \(1\). Enfin, \(2+3+1=6\). Donc :
\[ \overline{236}_{(8)}+\overline{347}_{(8)}=\overline{605}_{(8)}. \]Multiplication en base \(8\)
\[ \begin{aligned} \overline{236}_{(8)}\times7&=\overline{2122}_{(8)},\\ \overline{236}_{(8)}\times4&=\overline{1170}_{(8)},\\ \overline{236}_{(8)}\times3&=\overline{732}_{(8)}. \end{aligned} \]En tenant compte des rangs des chiffres de \(\overline{347}_{(8)}\) :
\[ \begin{array}{r} \phantom{0}\overline{2122}_{(8)}\\ +\overline{11700}_{(8)}\\ +\overline{73200}_{(8)}\\ \hline \overline{107222}_{(8)} \end{array} \]Soit \(b\) un entier naturel supérieur ou égal à \(2\) tel que :
\[ \overline{45}_{(b)}+\overline{36}_{(b)}=\overline{103}_{(b)}. \]Calculer :
\[ \overline{45}_{(b)}\times\overline{36}_{(b)}. \]Lire la correction +Masquer la correction −
Les chiffres utilisés imposent en réalité \(b\geq7\). En écriture décimale, l’égalité devient :
\[ (4b+5)+(3b+6)=b^2+3. \]Ainsi :
\[ b^2-7b-8=0 \quad\Longleftrightarrow\quad (b-8)(b+1)=0. \]La seule base naturelle admissible est donc \(b=8\).
On calcule alors en base \(8\) :
\[ \overline{45}_{(8)}\times\overline{36}_{(8)}=\overline{2126}_{(8)}. \]Représenter le nombre \(\overline{4523}_{(8)}\) dans le système de numération binaire.
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Comme \(8=2^3\), chaque chiffre de base \(8\) correspond à trois chiffres binaires :
\[ 4=\overline{100}_{(2)},\quad 5=\overline{101}_{(2)},\quad 2=\overline{010}_{(2)},\quad 3=\overline{011}_{(2)}. \]En juxtaposant ces quatre groupes :
\[ \overline{4523}_{(8)} =\overline{100\ 101\ 010\ 011}_{(2)}. \]Exercice 49
Soit \(N=\overline{1010111}_{(2)}\). Montrer que le reste de la division euclidienne de \(N\) par \(2^3\) est \(\overline{111}_{(2)}\).
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On sépare les trois derniers chiffres binaires :
\[ N=\overline{1010}_{(2)}\times2^3+\overline{111}_{(2)}. \]De plus :
\[ 0\leq\overline{111}_{(2)}=7<2^3=8. \]Cette égalité est donc bien la division euclidienne de \(N\) par \(2^3\).
Déterminer l’entier naturel \(b\) sachant que :
\[ 334=\overline{11032}_{(b)}. \]Lire la correction +Masquer la correction −
Le chiffre \(3\) impose \(b\geq4\). En écriture décimale :
\[ 334=b^4+b^3+3b+2. \]Pour \(b=4\) :
\[ 4^4+4^3+3\times4+2=256+64+12+2=334. \]La fonction \(b\mapsto b^4+b^3+3b+2\) est strictement croissante sur \(\mathbb N\), donc cette solution est unique.
Rectification proposée par PMM : supposer \(p\geq5\) et \(p\) impair.
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Le chiffre \(4\) est admissible puisque \(p\geq5\). En base décimale :
\[N=\overline{10401}_{(p)}=p^4+4p^2+1.\]Comme \(p\) est impair, \(p^4\) et \(1\) sont impairs, tandis que \(4p^2\) est pair. Leur somme est donc paire. De plus, \(N>2\).
L’hypothèse d’imparité est nécessaire à cette version : sans elle, la base valide \(p=12\) donne \(21313\), qui est premier. La condition \(p\geq5\) est imposée par le chiffre \(4\).
Exercice 50
On considère le nombre :
\[ N=\overline{28\alpha75\beta}_{(10)}. \]Montrer que :
\[ 3\mid N\quad\Longrightarrow\quad3\mid(1+\alpha+\beta). \]Lire la correction +Masquer la correction −
La somme des chiffres de \(N\) est :
\[ 2+8+\alpha+7+5+\beta=22+\alpha+\beta. \]Si \(3\mid N\), le critère de divisibilité par \(3\) donne :
\[ 3\mid(22+\alpha+\beta). \]Or :
\[ 22+\alpha+\beta=(1+\alpha+\beta)+21, \]et \(3\mid21\). Il vient donc :
Montrer que :
\[ N\equiv8-\alpha+\beta\,[11]. \]Lire la correction +Masquer la correction −
Le critère de divisibilité par \(11\) consiste à former la somme alternée des chiffres en partant du chiffre des unités. Ainsi :
\[ \begin{aligned} N&\equiv\beta-5+7-\alpha+8-2\,[11]\\ &\equiv8-\alpha+\beta\,[11]. \end{aligned} \]En déduire \(\alpha\) et \(\beta\) sachant que \(3\mid N\) et \(11\mid N\).
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Les chiffres \(\alpha\) et \(\beta\) appartiennent à \(\{0,1,\ldots,9\}\). D’après les deux premières questions :
\[ 3\mid(1+\alpha+\beta) \qquad\text{et}\qquad 8-\alpha+\beta\equiv0\,[11]. \]Comme :
\[ -1\leq8-\alpha+\beta\leq17, \]on a nécessairement :
\[ 8-\alpha+\beta=0 \qquad\text{ou}\qquad 8-\alpha+\beta=11. \]Dans le premier cas, \(\alpha-\beta=8\). Les couples possibles sont \((8,0)\) et \((9,1)\), mais seul \((8,0)\) vérifie \(3\mid(1+\alpha+\beta)\).
Dans le second cas, \(\beta=\alpha+3\), avec \(0\leq\alpha\leq6\). La condition de divisibilité par \(3\) devient :
\[ 3\mid(2\alpha+4), \]donc \(\alpha\equiv1\,[3]\). Ainsi, \(\alpha=1\) ou \(\alpha=4\), ce qui donne respectivement \(\beta=4\) ou \(\beta=7\).
| \(\alpha\) | \(\beta\) | Nombre \(N\) |
|---|---|---|
| 1 | 4 | 281754 |
| 4 | 7 | 284757 |
| 8 | 0 | 288750 |
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