Correction détaillée des exercices 45 à 50 — Systèmes de numération — Arithmétique dans Z — Manuel Al Moufid
Correction détaillée des exercices 45 à 50
Systèmes de numération — Arithmétique dans \(\mathbb Z\) — Manuel Al Moufid
Exercice 45
Déterminer les valeurs des entiers naturels \(x\) et \(y\) pour lesquelles le nombre
\[ N=\overline{26x95y}_{(10)} \]est divisible par \(3\) et par \(11\).
Lire la correction +Masquer la correction −
Comme \(x\) et \(y\) sont des chiffres décimaux :
\[ x,y\in\{0,1,\ldots,9\}. \]Condition de divisibilité par \(3\)
La somme des chiffres de \(N\) vaut :
\[ 2+6+x+9+5+y=22+x+y. \]Ainsi :
\[ 3\mid N \quad\Longleftrightarrow\quad 3\mid(22+x+y) \quad\Longleftrightarrow\quad 3\mid(1+x+y). \]Condition de divisibilité par \(11\)
Le critère de divisibilité par \(11\) donne :
\[ N\equiv y-5+9-x+6-2\,[11], \]donc :
\[ N\equiv 8-x+y\,[11]. \]Or :
\[ -1\leq 8-x+y\leq17. \]Les seuls multiples de \(11\) dans cet intervalle sont \(0\) et \(11\).
Si \(8-x+y=0\), alors \(x-y=8\). Les couples possibles sont \((8,0)\) et \((9,1)\), mais seul \((8,0)\) vérifie \(3\mid(1+x+y)\).
Si \(8-x+y=11\), alors \(y=x+3\), avec \(0\leq x\leq6\). La condition de divisibilité par \(3\) devient :
\[ 3\mid(2x+4), \]d’où \(x\equiv1\,[3]\). On obtient \(x=1\) ou \(x=4\), puis \(y=4\) ou \(y=7\).
| \(x\) | \(y\) | Nombre \(N\) |
|---|---|---|
| 1 | 4 | 261954 |
| 4 | 7 | 264957 |
| 8 | 0 | 268950 |
Déterminer les chiffres \(\alpha\) et \(\beta\) pour lesquels le nombre
\[ K=\overline{11\alpha1\beta}_{(10)} \]est divisible par \(28\).
Lire la correction +Masquer la correction −
On a \(28=4\times7\), avec \(4\wedge7=1\). Ainsi, \(28\mid K\) si, et seulement si, \(4\mid K\) et \(7\mid K\).
Divisibilité par \(4\)
Les deux derniers chiffres de \(K\) forment le nombre \(\overline{1\beta}_{(10)}=10+\beta\). Comme \(10\leq10+\beta\leq19\), les seules possibilités divisibles par \(4\) sont :
\[ 10+\beta=12\quad\text{ou}\quad10+\beta=16. \]Donc :
\[ \beta\in\{2,6\}. \]Divisibilité par \(7\)
\[ K=11010+100\alpha+\beta. \]Comme \(11010\equiv6\,[7]\) et \(100\equiv2\,[7]\), on a :
\[ K\equiv6+2\alpha+\beta\,[7]. \]Si \(\beta=2\), alors \(2\alpha+8\equiv0\,[7]\), d’où \(\alpha\equiv3\,[7]\). Comme \(\alpha\) est un chiffre, \(\alpha=3\).
Si \(\beta=6\), alors \(2\alpha+12\equiv0\,[7]\), d’où \(\alpha\equiv1\,[7]\). Comme \(\alpha\) est un chiffre, \(\alpha=1\) ou \(\alpha=8\).
| \(\alpha\) | \(\beta\) | Nombre \(K\) | Vérification |
|---|---|---|---|
| 3 | 2 | 11312 | \(11312=28\times404\) |
| 1 | 6 | 11116 | \(11116=28\times397\) |
| 8 | 6 | 11816 | \(11816=28\times422\) |
Exercice 46
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Le chiffre \(7\) impose \(b\geq8\). En écriture décimale :
\[ 23=2b+7. \]Donc \(2b=16\), puis \(b=8\), valeur compatible avec les chiffres utilisés.
Lire la correction +Masquer la correction −
Le chiffre \(5\) impose \(b\geq6\). On a :
\[ 136=2b^2+5b+3. \]Ainsi :
\[ 2b^2+5b-133=0 \quad\Longleftrightarrow\quad (b-7)(2b+19)=0. \]Dans \(\mathbb N\), la seule possibilité est \(b=7\), et cette valeur est bien supérieure à \(5\).
Lire la correction +Masquer la correction −
Le chiffre \(5\) impose \(b\geq6\). L’équation s’écrit :
\[ 303=5b^2+2b+3. \]La fonction \(b\mapsto5b^2+2b+3\) est strictement croissante sur \(\mathbb N\). Or :
\[ 5\times7^2+2\times7+3=262<303 \]et :
\[ 5\times8^2+2\times8+3=339>303. \]Aucun entier naturel \(b\) ne peut donc convenir.
Lire la correction +Masquer la correction −
Le chiffre \(7\) impose \(b\geq8\). L’équation devient :
\[ 12551=3b^4+4b^2+7. \]Pour \(b=8\) :
\[ 3\times8^4+4\times8^2+7 =3\times4096+4\times64+7 =12551. \]De plus, \(b\mapsto3b^4+4b^2+7\) est strictement croissante sur \(\mathbb N\), donc cette solution est unique.
Exercice 47
Soit \(b\) un entier naturel supérieur ou égal à \(6\). On considère le nombre :
\[ N=\overline{1540}_{(b)}. \]Montrer que le nombre \(N\) est divisible par \(b\), par \(b+1\) et par \(b+4\).
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En développant l’écriture de \(N\) en base \(b\), on obtient :
\[ N=b^3+5b^2+4b. \]On factorise :
\[ \begin{aligned} N&=b\bigl(b^2+5b+4\bigr)\\ &=b(b+1)(b+4). \end{aligned} \]Existe-t-il des valeurs de l’entier \(b\) pour lesquelles le nombre \(N\) est divisible par \(b-1\) ?
Lire la correction +Masquer la correction −
Comme \(b\equiv1\,[b-1]\), on a :
\[ N=b^3+5b^2+4b\equiv1+5+4\,[b-1]. \]Donc :
\[ N\equiv10\,[b-1]. \]Par conséquent :
\[ (b-1)\mid N \quad\Longleftrightarrow\quad (b-1)\mid10. \]Or \(b\geq6\), donc \(b-1\geq5\). Les diviseurs positifs de \(10\) supérieurs ou égaux à \(5\) sont \(5\) et \(10\). Ainsi :
\[ b-1=5\quad\text{ou}\quad b-1=10. \]Exercice 48
Soit \(N\in\mathbb N\) tel que :
\[ N=\overline{52}_{(p)} \qquad\text{et}\qquad N=\overline{42}_{(q)}. \]Déterminer les valeurs de \(p\) et \(q\).
Lire la correction +Masquer la correction −
La première écriture impose \(p\geq6\), tandis que la seconde impose \(q\geq5\).
En écriture décimale :
\[ 5p+2=4q+2, \]donc :
\[ 5p=4q. \]Comme \(4\wedge5=1\), il existe \(k\in\mathbb N^*\) tel que :
\[ p=4k \qquad\text{et}\qquad q=5k. \]La condition \(p\geq6\) donne \(k\geq2\). Réciproquement, tout entier \(k\geq2\) fournit deux bases valides et :
\[ N=20k+2. \]Soit \(X=\overline{62310425}_{(7)}\). Déterminer l’écriture du reste de la division euclidienne de \(X\) dans le système de numération de base \(7\).
Lire l’analyse +Masquer l’analyse −
La question imprimée ne permet pas de donner une réponse unique.
Déterminer les entiers naturels \(\alpha\), \(\beta\) et \(b\) tels que :
\[ \overline{\beta\beta\beta}_{(b)}=\overline{\alpha\alpha}_{(2)}. \]Lire la correction +Masquer la correction −
Dans une écriture valide en base \(2\), le premier chiffre est non nul et chaque chiffre appartient à \(\{0,1\}\). Ainsi :
\[ \alpha=1 \qquad\text{et}\qquad \overline{\alpha\alpha}_{(2)}=\overline{11}_{(2)}=3. \]De même, l’écriture \(\overline{\beta\beta\beta}_{(b)}\) impose \(b\geq2\) et \(1\leq\beta\leq b-1\). On aurait donc :
\[ \beta(b^2+b+1)=3. \]Mais :
\[ \beta(b^2+b+1)\geq1\times(2^2+2+1)=7>3. \]On considère les nombres :
\[ x=\overline{236}_{(8)} \qquad\text{et}\qquad y=\overline{347}_{(8)}. \]Calculer \(x+y\) et \(x\times y\).
Lire la correction +Masquer la correction −
Addition en base \(8\)
À droite, \(6+7=13=1\times8+5\) : on écrit \(5\) et on retient \(1\). Ensuite, \(3+4+1=8\) : on écrit \(0\) et on retient \(1\). Enfin, \(2+3+1=6\). Donc :
\[ \overline{236}_{(8)}+\overline{347}_{(8)}=\overline{605}_{(8)}. \]Multiplication en base \(8\)
\[ \begin{aligned} \overline{236}_{(8)}\times7&=\overline{2122}_{(8)},\\ \overline{236}_{(8)}\times4&=\overline{1170}_{(8)},\\ \overline{236}_{(8)}\times3&=\overline{732}_{(8)}. \end{aligned} \]En tenant compte des rangs des chiffres de \(\overline{347}_{(8)}\) :
\[ \begin{array}{r} \phantom{0}\overline{2122}_{(8)}\\ +\overline{11700}_{(8)}\\ +\overline{73200}_{(8)}\\ \hline \overline{107222}_{(8)} \end{array} \]Soit \(b\) un entier naturel supérieur ou égal à \(2\) tel que :
\[ \overline{45}_{(b)}+\overline{36}_{(b)}=\overline{103}_{(b)}. \]Calculer :
\[ \overline{45}_{(b)}\times\overline{36}_{(b)}. \]Lire la correction +Masquer la correction −
Les chiffres utilisés imposent en réalité \(b\geq7\). En écriture décimale, l’égalité devient :
\[ (4b+5)+(3b+6)=b^2+3. \]Ainsi :
\[ b^2-7b-8=0 \quad\Longleftrightarrow\quad (b-8)(b+1)=0. \]La seule base naturelle admissible est donc \(b=8\).
On calcule alors en base \(8\) :
\[ \overline{45}_{(8)}\times\overline{36}_{(8)}=\overline{2126}_{(8)}. \]Représenter le nombre \(\overline{4523}_{(8)}\) dans le système de numération binaire.
Lire la correction +Masquer la correction −
Comme \(8=2^3\), chaque chiffre de base \(8\) correspond à trois chiffres binaires :
\[ 4=\overline{100}_{(2)},\quad 5=\overline{101}_{(2)},\quad 2=\overline{010}_{(2)},\quad 3=\overline{011}_{(2)}. \]En juxtaposant ces quatre groupes :
\[ \overline{4523}_{(8)} =\overline{100\ 101\ 010\ 011}_{(2)}. \]Exercice 49
Soit \(N=\overline{1010111}_{(2)}\). Montrer que le reste de la division euclidienne de \(N\) par \(2^3\) est \(\overline{111}_{(2)}\).
Lire la correction +Masquer la correction −
On sépare les trois derniers chiffres binaires :
\[ N=\overline{1010}_{(2)}\times2^3+\overline{111}_{(2)}. \]De plus :
\[ 0\leq\overline{111}_{(2)}=7<2^3=8. \]Cette égalité est donc bien la division euclidienne de \(N\) par \(2^3\).
Déterminer l’entier naturel \(b\) sachant que :
\[ 334=\overline{11032}_{(b)}. \]Lire la correction +Masquer la correction −
Le chiffre \(3\) impose \(b\geq4\). En écriture décimale :
\[ 334=b^4+b^3+3b+2. \]Pour \(b=4\) :
\[ 4^4+4^3+3\times4+2=256+64+12+2=334. \]La fonction \(b\mapsto b^4+b^3+3b+2\) est strictement croissante sur \(\mathbb N\), donc cette solution est unique.
Soit \(p\in\mathbb N^*\setminus\{1\}\). Montrer que le nombre \(\overline{10401}_{(p)}\) n’est pas premier.
Lire l’audit et la correction +Masquer l’audit et la correction −
Pourquoi le texte imprimé est faux
Prenons la base valide \(p=12\). Alors :
\[ \overline{10401}_{(12)}=12^4+4\times12^2+1=21313. \]Or \(21313\) est premier. En effet, \(146^2>21313\), et aucun nombre premier inférieur à \(146\) ne divise \(21313\). Ainsi, \(p=12\) fournit un contre-exemple.
Correction avec l’hypothèse \(p\) impair
Supposons maintenant que \(p\geq5\) soit impair. On a :
\[ \overline{10401}_{(p)}=p^4+4p^2+1. \]Le nombre \(p^4\) est impair, \(4p^2\) est pair et \(1\) est impair. Leur somme est donc paire. De plus :
\[ p^4+4p^2+1>2. \]Ce nombre pair strictement supérieur à \(2\) n’est pas premier.
Exercice 50
On considère le nombre :
\[ N=\overline{28\alpha75\beta}_{(10)}. \]Montrer que :
\[ 3\mid N\quad\Longrightarrow\quad3\mid(1+\alpha+\beta). \]Lire la correction +Masquer la correction −
La somme des chiffres de \(N\) est :
\[ 2+8+\alpha+7+5+\beta=22+\alpha+\beta. \]Si \(3\mid N\), le critère de divisibilité par \(3\) donne :
\[ 3\mid(22+\alpha+\beta). \]Or :
\[ 22+\alpha+\beta=(1+\alpha+\beta)+21, \]et \(3\mid21\). Il vient donc :
Montrer que :
\[ N\equiv8-\alpha+\beta\,[11]. \]Lire la correction +Masquer la correction −
Le critère de divisibilité par \(11\) consiste à former la somme alternée des chiffres en partant du chiffre des unités. Ainsi :
\[ \begin{aligned} N&\equiv\beta-5+7-\alpha+8-2\,[11]\\ &\equiv8-\alpha+\beta\,[11]. \end{aligned} \]En déduire \(\alpha\) et \(\beta\) sachant que \(3\mid N\) et \(11\mid N\).
Lire la correction +Masquer la correction −
Les chiffres \(\alpha\) et \(\beta\) appartiennent à \(\{0,1,\ldots,9\}\). D’après les deux premières questions :
\[ 3\mid(1+\alpha+\beta) \qquad\text{et}\qquad 8-\alpha+\beta\equiv0\,[11]. \]Comme :
\[ -1\leq8-\alpha+\beta\leq17, \]on a nécessairement :
\[ 8-\alpha+\beta=0 \qquad\text{ou}\qquad 8-\alpha+\beta=11. \]Dans le premier cas, \(\alpha-\beta=8\). Les couples possibles sont \((8,0)\) et \((9,1)\), mais seul \((8,0)\) vérifie \(3\mid(1+\alpha+\beta)\).
Dans le second cas, \(\beta=\alpha+3\), avec \(0\leq\alpha\leq6\). La condition de divisibilité par \(3\) devient :
\[ 3\mid(2\alpha+4), \]donc \(\alpha\equiv1\,[3]\). Ainsi, \(\alpha=1\) ou \(\alpha=4\), ce qui donne respectivement \(\beta=4\) ou \(\beta=7\).
| \(\alpha\) | \(\beta\) | Nombre \(N\) |
|---|---|---|
| 1 | 4 | 281754 |
| 4 | 7 | 284757 |
| 8 | 0 | 288750 |
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