Correction détaillée des exercices 8 à 11
Arithmétique dans \(\mathbb Z\) — Congruence modulo — Manuel Al Moufid
Exercice 8
Déterminer \(x\in\mathbb Z\) sachant que :
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Effectuons la division euclidienne de \(212\) par \(11\) :
\[ 212=11\times19+3. \]Ainsi :
\[ 212\equiv3\,[11]. \]Comme \(0<3<11\), la contrainte imposée à \(x\) est vérifiée.
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La division euclidienne de \(1111\) par \(23\) donne :
\[ 1111=23\times48+7. \]On a \(1111\equiv7\,[23]\). Comme \(x\) doit vérifier \(-23<x<0\), on retranche \(23\) :
\[ 7-23=-16. \]On a bien \(-23<-16<0\) et \(1111\equiv-16\,[23]\).
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La division euclidienne de \(7000\) par \(102\) donne :
\[ 7000=102\times68+64. \]On a \(7000\equiv64\,[102]\). Comme \(x\) doit vérifier \(-102<x<0\), on calcule :
\[ 64-102=-38. \]On a bien \(-102<-38<0\).
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On écrit :
\[ 2017=20\times100+17. \]Par conséquent \(2017\equiv17\,[20]\), avec \(0<17<20\).
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Réduisons d’abord la base modulo \(11\) :
\[ 2601=11\times236+5, \qquad\text{donc}\qquad 2601\equiv5\,[11]. \]D’après la proposition 5, on peut élever les deux membres à une même puissance. Or :
\[ 5^5=3125=11\times284+1, \qquad\text{donc}\qquad 5^5\equiv1\,[11]. \]Comme \(187=5\times37+2\), on obtient :
\[ 5^{187}=(5^5)^{37}\times5^2\equiv1^{37}\times25\equiv3\,[11]. \]On a bien \(0\leq3<11\).
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On commence par réduire la base modulo \(7\) :
\[ 20197=7\times2885+2, \qquad\text{donc}\qquad 20197\equiv2\,[7]. \]De plus :
\[ 2^3=8\equiv1\,[7]. \]Comme \(1438=3\times479+1\), il vient :
\[ 2^{1438}=(2^3)^{479}\times2\equiv1^{479}\times2\equiv2\,[7]. \]Exercice 9
Soit \((a\,;b)\in\mathbb Z^2\) et \((m\,;n)\in(\mathbb N^*)^2\). Montrer que :
\[ \left. \begin{array}{l} n\,/\,m,\\ a\equiv b\,[m] \end{array} \right\} \Longrightarrow a\equiv b\,[n]. \]Lire la correction +Masquer la correction −
Comme \(n\,/\,m\), il existe \(q\in\mathbb Z\) tel que :
\[ m=nq. \]D’autre part, \(a\equiv b\,[m]\). D’après la définition 5, il existe \(k\in\mathbb Z\) tel que :
\[ b=a+km. \]En remplaçant \(m\) par \(nq\), on obtient :
\[ b=a+k(nq)=a+n(kq). \]Comme \(kq\in\mathbb Z\), la définition 5 donne :
Exercice 10
Dans chacun des cas suivants, déterminer le reste de la division euclidienne de \(a\) par \(b\).
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On calcule :
\[ 5^3=125\equiv-1\,[7], \qquad\text{donc}\qquad 5^6\equiv1\,[7]. \]Or \(206=6\times34+2\). D’après la proposition 5 :
\[ 5^{206}=(5^6)^{34}\times5^2 \equiv1^{34}\times25 \equiv4\,[7]. \]Comme \(0\leq4<7\), \(4\) est le reste recherché.
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Calculons une puissance simple de \(8\) modulo \(11\) :
\[ 8^2=64\equiv9\,[11], \] \[ 8^4\equiv9^2=81\equiv4\,[11], \]puis :
\[ 8^5\equiv4\times8=32\equiv-1\,[11]. \]Comme \(2018=5\times403+3\), on obtient :
\[ 8^{2018}=(8^5)^{403}\times8^3 \equiv(-1)^{403}\times8^3 \equiv-8^3\,[11]. \]Or \(8^3=512\equiv6\,[11]\). Ainsi :
\[ 8^{2018}-8\equiv-6-8=-14\equiv8\,[11]. \]Lire la correction +Masquer la correction −
On a :
\[ 3^4=81\equiv1\,[5]. \]Comme \(20=4\times5\), la proposition 5 donne :
\[ 3^{20}=(3^4)^5\equiv1^5\equiv1\,[5]. \]De plus, \(7\equiv2\,[5]\). Par conséquent :
\[ 7\times3^{20}\equiv2\times1\equiv2\,[5]. \]Lire la correction +Masquer la correction −
La division euclidienne de \(2017\) par \(3\) donne :
\[ 2017=3\times672+1, \qquad\text{donc}\qquad 2017\equiv1\,[3]. \]D’après la proposition 5 :
\[ 2017^{1438}\equiv1^{1438}\equiv1\,[3]. \]Exercice 11
Montrer que :
\[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad 10^{3n}\equiv1\,[27]. \]Lire la correction +Masquer la correction −
On remarque que :
\[ 10^3=1000=27\times37+1. \]Par conséquent :
\[ 10^3\equiv1\,[27]. \]Pour tout \(n\in\mathbb N\), on élève cette congruence à la puissance \(n\) :
\[ 10^{3n}=(10^3)^n\equiv1^n\equiv1\,[27]. \]Le cas \(n=0\) est également couvert, puisque \(10^0=1\).
On pose :
\[ N=10^{100}+100^{10}. \]Déterminer le reste de la division euclidienne de \(N\) par \(27\).
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Comme \(100=3\times33+1\), le résultat de la question 1 donne :
\[ 10^{100}=10^{99}\times10=(10^3)^{33}\times10 \equiv10\,[27]. \]D’autre part :
\[ 100^{10}=(10^2)^{10}=10^{20}. \]Or \(20=3\times6+2\). Donc :
\[ 10^{20}=(10^3)^6\times10^2 \equiv10^2 \equiv100 \equiv19\,[27]. \]Finalement :
\[ N\equiv10+19=29\equiv2\,[27]. \]Comme \(0\leq2<27\), \(2\) est le reste demandé.
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