Correction détaillée des exercices 8 à 11 — Arithmétique — Manuel Al Moufid

Correction détaillée des exercices 8 à 11

Arithmétique dans \(\mathbb Z\) — Congruence modulo — Manuel Al Moufid

Les exercices 8 à 11 portent sur les congruences et les puissances d’entiers. Ils distinguent deux opérations souvent confondues : trouver une classe modulo un entier et choisir un représentant de cette classe dans un intervalle donné.

Les exposants élevés se traitent avec des cycles courts. La difficulté consiste à justifier la période utilisée, à conserver le bon module et à respecter le signe ou l’encadrement demandé pour le représentant. Les corrections montrent comment effectuer ces réductions sans calculer les grands nombres eux-mêmes.

Repères de cours — Congruences et cycles de puissances

Pour \(m\geq1\), \(a\equiv b\pmod m\) signifie \(m\mid(a-b)\). Les congruences sont compatibles avec l’addition, la soustraction, la multiplication et les puissances d’exposant naturel. Si \(n\mid m\), une congruence modulo \(m\) entraîne la même congruence modulo \(n\).

Si l’on a vérifié \(a^t\equiv1\pmod m\), écrire \(k=tq+r\) donne \(a^k\equiv a^r\pmod m\). On ne réduit pas un exposant modulo \(m\) simplement parce que les calculs portent sur ce module : il faut une période adaptée.

Les entiers \(r\) et \(r-m\) représentent la même classe modulo \(m\). Toutefois, seul le représentant \(0\leq r\lt m\) est le reste euclidien. Une division dans une congruence exige également une justification ; multiplier par l’inverse d’un entier est possible seulement lorsqu’il est premier avec le module.

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Exercice 8

Objectif et méthode — Exercice 8

Réduire chaque nombre modulo le module indiqué, puis choisir le représentant dans l’intervalle imposé. Pour les puissances, réduire aussi l’exposant à l’aide d’un cycle vérifié. Un représentant négatif convient à une congruence, mais ce n’est pas le reste de la division euclidienne.

Déterminer \(x\in\mathbb Z\) sachant que :

Question 1 \[ 212\equiv x\,[11] \qquad\text{et}\qquad 0<x<11. \]

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Résultat du cours utilisé. D’après la proposition 5, deux entiers congrus modulo \(n\) ont le même reste dans la division euclidienne par \(n\).

Effectuons la division euclidienne de \(212\) par \(11\) :

\[ 212=11\times19+3. \]

Ainsi :

\[ 212\equiv3\,[11]. \]

Comme \(0<3<11\), la contrainte imposée à \(x\) est vérifiée.

La valeur cherchée est \(\boxed{x=3}\).

Question 2 \[ 1111\equiv x\,[23] \qquad\text{et}\qquad -23<x<0. \]

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La division euclidienne de \(1111\) par \(23\) donne :

\[ 1111=23\times48+7. \]

On a \(1111\equiv7\,[23]\). Comme \(x\) doit vérifier \(-23<x<0\), on retranche \(23\) :

\[ 7-23=-16. \]

On a bien \(-23<-16<0\) et \(1111\equiv-16\,[23]\).

La valeur cherchée est \(\boxed{x=-16}\).

Question 3 \[ 7000\equiv x\,[102] \qquad\text{et}\qquad -102<x<0. \]

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La division euclidienne de \(7000\) par \(102\) donne :

\[ 7000=102\times68+64. \]

On a \(7000\equiv64\,[102]\). Comme \(x\) doit vérifier \(-102<x<0\), on calcule :

\[ 64-102=-38. \]

On a bien \(-102<-38<0\).

La valeur cherchée est \(\boxed{x=-38}\).

Question 4 \[ 2017\equiv x\,[20] \qquad\text{et}\qquad 0<x<20. \]

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On écrit :

\[ 2017=20\times100+17. \]

Par conséquent \(2017\equiv17\,[20]\), avec \(0<17<20\).

La valeur cherchée est \(\boxed{x=17}\).

Question 5 \[ (2601)^{187}\equiv x\,[11] \qquad\text{et}\qquad 0\leq x<11. \]

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Réduisons d’abord la base modulo \(11\) :

\[ 2601=11\times236+5, \qquad\text{donc}\qquad 2601\equiv5\,[11]. \]

D’après la proposition 5, on peut élever les deux membres à une même puissance. Or :

\[ 5^5=3125=11\times284+1, \qquad\text{donc}\qquad 5^5\equiv1\,[11]. \]

Comme \(187=5\times37+2\), on obtient :

\[ 5^{187}=(5^5)^{37}\times5^2\equiv1^{37}\times25\equiv3\,[11]. \]

On a bien \(0\leq3<11\).

La valeur cherchée est \(\boxed{x=3}\).

Question 6 \[ (20197)^{1438}\equiv x\,[7] \qquad\text{et}\qquad 0\leq x<7. \]

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On commence par réduire la base modulo \(7\) :

\[ 20197=7\times2885+2, \qquad\text{donc}\qquad 20197\equiv2\,[7]. \]

De plus :

\[ 2^3=8\equiv1\,[7]. \]

Comme \(1438=3\times479+1\), il vient :

\[ 2^{1438}=(2^3)^{479}\times2\equiv1^{479}\times2\equiv2\,[7]. \]

La valeur cherchée est \(\boxed{x=2}\).

Exercice 9

Objectif et méthode — Exercice 9

Partir de \(a-b=mk\), puis utiliser \(m=nt\) puisque \(n\mid m\). On obtient directement \(a-b=n(tk)\). Le sens de la divisibilité des modules est essentiel : une congruence modulo un diviseur n’implique pas, en général, la congruence modulo son multiple.

Énoncé

Soit \((a\,;b)\in\mathbb Z^2\) et \((m\,;n)\in(\mathbb N^*)^2\). Montrer que :

\[ \left. \begin{array}{l} n\,/\,m,\\ a\equiv b\,[m] \end{array} \right\} \Longrightarrow a\equiv b\,[n]. \]

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Résultat du cours utilisé. D’après la définition 5, \(a\equiv b\,[m]\) signifie que \(m\,/\,(b-a)\), c’est-à-dire qu’il existe \(k\in\mathbb Z\) tel que \(b=a+km\).

Comme \(n\,/\,m\), il existe \(q\in\mathbb Z\) tel que :

\[ m=nq. \]

D’autre part, \(a\equiv b\,[m]\). D’après la définition 5, il existe \(k\in\mathbb Z\) tel que :

\[ b=a+km. \]

En remplaçant \(m\) par \(nq\), on obtient :

\[ b=a+k(nq)=a+n(kq). \]

Comme \(kq\in\mathbb Z\), la définition 5 donne :

On conclut que \(\boxed{a\equiv b\,[n]}\).

Exercice 10

Objectif et méthode — Exercice 10

Traiter chaque expression avec son propre module : réduire la base, identifier une période, puis réduire l’exposant. Dans une différence comme \(8^{2018}-8\), calculer les deux restes avant de soustraire. Ramener le résultat final dans l’intervalle de la division euclidienne, même si un reste intermédiaire est négatif.

Dans chacun des cas suivants, déterminer le reste de la division euclidienne de \(a\) par \(b\).

Question 1 \[ a=5^{206} \qquad\text{et}\qquad b=7. \]

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Méthode du cours. Comme dans l’application 3 de la section 1.9, on calcule des puissances de \(5\), puis on réduit l’exposant à l’aide des congruences.

On calcule :

\[ 5^3=125\equiv-1\,[7], \qquad\text{donc}\qquad 5^6\equiv1\,[7]. \]

Or \(206=6\times34+2\). D’après la proposition 5 :

\[ 5^{206}=(5^6)^{34}\times5^2 \equiv1^{34}\times25 \equiv4\,[7]. \]

Comme \(0\leq4<7\), \(4\) est le reste recherché.

Le reste de la division euclidienne de \(5^{206}\) par \(7\) est \(\boxed{4}\).

Question 2 \[ a=8^{2018}-8 \qquad\text{et}\qquad b=11. \]

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Calculons une puissance simple de \(8\) modulo \(11\) :

\[ 8^2=64\equiv9\,[11], \] \[ 8^4\equiv9^2=81\equiv4\,[11], \]

puis :

\[ 8^5\equiv4\times8=32\equiv-1\,[11]. \]

Comme \(2018=5\times403+3\), on obtient :

\[ 8^{2018}=(8^5)^{403}\times8^3 \equiv(-1)^{403}\times8^3 \equiv-8^3\,[11]. \]

Or \(8^3=512\equiv6\,[11]\). Ainsi :

\[ 8^{2018}-8\equiv-6-8=-14\equiv8\,[11]. \]

Le reste de la division euclidienne de \(8^{2018}-8\) par \(11\) est \(\boxed{8}\).

Question 3 \[ a=7\times3^{20} \qquad\text{et}\qquad b=5. \]

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On a :

\[ 3^4=81\equiv1\,[5]. \]

Comme \(20=4\times5\), la proposition 5 donne :

\[ 3^{20}=(3^4)^5\equiv1^5\equiv1\,[5]. \]

De plus, \(7\equiv2\,[5]\). Par conséquent :

\[ 7\times3^{20}\equiv2\times1\equiv2\,[5]. \]

Le reste de la division euclidienne de \(7\times3^{20}\) par \(5\) est \(\boxed{2}\).

Question 4 \[ a=2017^{1438} \qquad\text{et}\qquad b=3. \]

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La division euclidienne de \(2017\) par \(3\) donne :

\[ 2017=3\times672+1, \qquad\text{donc}\qquad 2017\equiv1\,[3]. \]

D’après la proposition 5 :

\[ 2017^{1438}\equiv1^{1438}\equiv1\,[3]. \]

Le reste de la division euclidienne de \(2017^{1438}\) par \(3\) est \(\boxed{1}\).

Exercice 11

Objectif et méthode — Exercice 11

Chercher d’abord une petite puissance de \(10\) congrue à \(1\) modulo \(27\). Écrire ensuite les exposants sous la forme \(3q+r\). Pour \(100^{10}\), transformer en \(10^{20}\) afin de réutiliser exactement le même cycle ; il n’est pas nécessaire de développer ces grands nombres.

Question 1

Montrer que :

\[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad 10^{3n}\equiv1\,[27]. \]

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Résultat du cours utilisé. La proposition 5 permet d’élever une congruence à une puissance naturelle.

On remarque que :

\[ 10^3=1000=27\times37+1. \]

Par conséquent :

\[ 10^3\equiv1\,[27]. \]

Pour tout \(n\in\mathbb N\), on élève cette congruence à la puissance \(n\) :

\[ 10^{3n}=(10^3)^n\equiv1^n\equiv1\,[27]. \]

Le cas \(n=0\) est également couvert, puisque \(10^0=1\).

Pour tout \(n\in\mathbb N\), on a \(\boxed{10^{3n}\equiv1\,[27]}\).

Question 2

On pose :

\[ N=10^{100}+100^{10}. \]

Déterminer le reste de la division euclidienne de \(N\) par \(27\).

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Comme \(100=3\times33+1\), le résultat de la question 1 donne :

\[ 10^{100}=10^{99}\times10=(10^3)^{33}\times10 \equiv10\,[27]. \]

D’autre part :

\[ 100^{10}=(10^2)^{10}=10^{20}. \]

Or \(20=3\times6+2\). Donc :

\[ 10^{20}=(10^3)^6\times10^2 \equiv10^2 \equiv100 \equiv19\,[27]. \]

Finalement :

\[ N\equiv10+19=29\equiv2\,[27]. \]

Comme \(0\leq2<27\), \(2\) est le reste demandé.

Le reste de la division euclidienne de \(N\) par \(27\) est \(\boxed{2}\).

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Correction rédigée par Professeur Hammou Boudraa — Parcours Maths Maroc (PMM)

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