Correction du Devoir 10 — Équations différentielles — Al Moufid

Correction du Devoir 10 — Équations différentielles

Chapitre : Équations différentielles

Manuel : Al Moufid — Niveau : 2e Bac Sciences Mathématiques

Ce devoir combine la recherche d’une solution particulière sous la forme d’un polynôme multiplié par une exponentielle, la résolution de l’équation homogène associée et l’étude d’une équation du troisième ordre obtenue par dérivation.

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Question 1 Question 2 Question 3 a) Question 3 b)

On considère l’équation différentielle :

\[ (E):\quad y''-5y'+6y=(2x-3)e^x. \]

Une solution de \((E)\) est une fonction deux fois dérivable sur \(\mathbb R\) qui vérifie cette égalité pour tout réel \(x\).

Question 1

Déterminer les réels \(a\), \(b\) et \(c\) pour que la fonction :

\[ f:x\longmapsto(ax^2+bx+c)e^x \]

soit solution de \((E)\).

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Posons \(p(x)=ax^2+bx+c\), de sorte que \(f(x)=p(x)e^x\).

\[ p'(x)=2ax+b \qquad\text{et}\qquad p''(x)=2a. \]

Par dérivation du produit :

\[ f'(x)=\bigl(p'(x)+p(x)\bigr)e^x, \] \[ f''(x)=\bigl(p''(x)+2p'(x)+p(x)\bigr)e^x. \]

Par conséquent :

\[ \begin{aligned} f''-5f'+6f &= \left[p''+2p'+p-5(p'+p)+6p\right]e^x\\ &= \left(p''-3p'+2p\right)e^x. \end{aligned} \]

Or :

\[ \begin{aligned} p''(x)-3p'(x)+2p(x) &= 2a-3(2ax+b)+2(ax^2+bx+c)\\ &= 2ax^2+(-6a+2b)x+(2a-3b+2c). \end{aligned} \]

Pour que \(f\) soit solution de \((E)\), il faut et il suffit que :

\[ 2ax^2+(-6a+2b)x+(2a-3b+2c)=2x-3 \]

pour tout réel \(x\). Par identification :

\[ \begin{cases} 2a=0,\\ -6a+2b=2,\\ 2a-3b+2c=-3. \end{cases} \]

On obtient successivement \(a=0\), \(b=1\), puis \(c=0\).

\[ \boxed{a=0,\qquad b=1,\qquad c=0} \] \[ \boxed{f(x)=xe^x\text{ est une solution particulière de }(E).} \]

Question 2

Déterminer la solution générale de l’équation \((E)\).

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L’équation homogène associée est :

\[ (E_0):\quad y''-5y'+6y=0. \]

Son équation caractéristique est :

\[ r^2-5r+6=(r-2)(r-3)=0. \]

Ses racines sont \(2\) et \(3\). Les solutions de \((E_0)\) sont donc :

\[ y_h(x)=Ae^{2x}+Be^{3x}, \qquad(A,B)\in\mathbb R^2. \]

D’après la question 1, \(x\mapsto xe^x\) est une solution particulière de \((E)\). Ainsi :

\[ \boxed{ y(x)=Ae^{2x}+Be^{3x}+xe^x, \qquad(A,B)\in\mathbb R^2 }. \]

Question 3 a)

En utilisant une intégration par parties, calculer, pour tout \(x\in\mathbb R\), l’intégrale :

\[ I(x)=\int_{\frac32}^{x}(2t-1)e^t\,dt. \]

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Effectuons une intégration par parties avec :

\[ u(t)=2t-1,\qquad u'(t)=2, \] \[ v'(t)=e^t,\qquad v(t)=e^t. \]

\[ \begin{aligned} I(x) &= \left[(2t-1)e^t\right]_{\frac32}^{x} - 2\int_{\frac32}^{x}e^t\,dt\\ &= \left[(2t-3)e^t\right]_{\frac32}^{x}. \end{aligned} \]

À la borne \(t=\dfrac32\), on a \(\left(2\times\dfrac32-3\right)e^{3/2}=0\). Donc :

\[ \boxed{ \int_{\frac32}^{x}(2t-1)e^t\,dt=(2x-3)e^x }. \]

Question 3 b)

En déduire la solution de l’équation différentielle :

\[ (E'):\quad z'''(t)-5z''(t)+6z'(t)=(2t-1)e^t \]

vérifiant :

\[ z'\left(\frac32\right)=z''\left(\frac32\right)=0. \]

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Dans la correction, nous écrivons \(x\) à la place de \(t\).

Intégrons l’équation entre \(\dfrac32\) et \(x\) :

\[ \int_{\frac32}^{x} \left(z'''(t)-5z''(t)+6z'(t)\right)dt = \int_{\frac32}^{x}(2t-1)e^t\,dt. \]

D’après la question 3 a), le membre de droite vaut \((2x-3)e^x\). Le membre de gauche donne :

\[ \begin{aligned} &z''(x)-z''\left(\frac32\right) -5\left[z'(x)-z'\left(\frac32\right)\right]\\ &\qquad+6\left[z(x)-z\left(\frac32\right)\right] =(2x-3)e^x. \end{aligned} \]

Les conditions imposées conduisent à :

\[ z''(x)-5z'(x)+6\left[z(x)-z\left(\frac32\right)\right] =(2x-3)e^x. \]

Posons :

\[ y(x)=z(x)-z\left(\frac32\right). \]

Alors \(y\) est solution de \((E)\). D’après la question 2 :

\[ y(x)=Ae^{2x}+Be^{3x}+xe^x. \]

De plus :

\[ y\left(\frac32\right)=0 \qquad\text{et}\qquad y'\left(\frac32\right)=0. \]

Ces deux conditions donnent :

\[ Ae^3+Be^{9/2}+\frac32e^{3/2}=0, \tag{1} \] \[ 2Ae^3+3Be^{9/2}+\frac52e^{3/2}=0. \tag{2} \]

Posons \(U=Ae^3\) et \(V=Be^{9/2}\). Le système devient :

\[ \begin{cases} U+V=-\dfrac32e^{3/2},\\[2mm] 2U+3V=-\dfrac52e^{3/2}. \end{cases} \]

On en déduit :

\[ V=\frac12e^{3/2} \qquad\text{et}\qquad U=-2e^{3/2}. \]

Ainsi :

\[ A=-2e^{-3/2} \qquad\text{et}\qquad B=\frac12e^{-3}. \]

Par conséquent :

\[ y(x)=xe^x-2e^{\,2x-\frac32}+\frac12e^{\,3x-3}. \]

Comme \(y(x)=z(x)-z\left(\dfrac32\right)\), toutes les solutions cherchées sont :

\[ \boxed{ z(x)=C+xe^x-2e^{\,2x-\frac32}+\frac12e^{\,3x-3}, \qquad C\in\mathbb R }. \]

Pourquoi reste-t-il une constante \(C\) ? L’équation \((E')\) ne contient que \(z'\), \(z''\) et \(z'''\). Ajouter une constante à une solution ne modifie donc ni l’équation ni les conditions imposées aux dérivées.

Vérification :

\[ z'(x)=(x+1)e^x-4e^{\,2x-\frac32}+\frac32e^{\,3x-3}, \] \[ z''(x)=(x+2)e^x-8e^{\,2x-\frac32}+\frac92e^{\,3x-3}. \]

Alors :

\[ z'\left(\frac32\right) = \left(\frac52-4+\frac32\right)e^{3/2} =0, \] \[ z''\left(\frac32\right) = \left(\frac72-8+\frac92\right)e^{3/2} =0. \]

Enfin, en dérivant :

\[ z''-5z'+6z=(2x-3)e^x+6C, \]

on retrouve bien :

\[ z'''-5z''+6z'=(2x-1)e^x. \]

Méthodes à retenir : pour un second membre de la forme « polynôme multiplié par \(e^x\) », on cherche une solution particulière sous une forme analogue. Lorsqu’une équation du troisième ordre ne contient que les dérivées de \(z\), une intégration la ramène à une équation du second ordre, mais une constante additive reste libre tant qu’aucune valeur de \(z\) n’est imposée.

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