Correction du Devoir 11 — Équations différentielles — Al Moufid

Correction du Devoir 11 — Équations différentielles

Chapitre : Équations différentielles

Manuel : Al Moufid — Niveau : 2e Bac Sciences Mathématiques

Ce devoir relie une équation différentielle linéaire du second ordre à une condition intégrale. Le but final est de déterminer exactement toutes les fonctions qui vérifient cette condition.

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Question 1 a) Question 1 b) Question 2 a) Question 2 b) Question 2 c)

Soit \(S\) l’ensemble des fonctions \(f\) définies et dérivables sur \(\mathbb R\) et qui vérifient :

\[ (\forall x\in\mathbb R)\qquad f(x)-x\int_0^x f(t)\,dt+\int_0^x t f(t)\,dt=x. \]

On considère également l’équation différentielle :

\[ (E):\quad y''-y=0. \]

Question 1 a)

Déterminer la fonction \(h\), solution de \((E)\), dont la courbe passe par le point :

\[ A\left(\ln 2;\frac34\right) \]

et admet une tangente de pente \(\dfrac54\) en ce point.

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L’équation caractéristique associée à \((E)\) est :

\[ r^2-1=0, \]

soit :

\[ (r-1)(r+1)=0. \]

Ses racines sont \(1\) et \(-1\). Toute solution de \((E)\) s’écrit donc :

\[ h(x)=ae^x+be^{-x}, \qquad(a,b)\in\mathbb R^2. \]

Sa dérivée est :

\[ h'(x)=ae^x-be^{-x}. \]

La courbe passe par \(A\left(\ln2;\dfrac34\right)\), donc :

\[ h(\ln2)=\frac34. \]

Or \(e^{\ln2}=2\) et \(e^{-\ln2}=\dfrac12\). Ainsi :

\[ 2a+\frac12b=\frac34. \tag{1} \]

La pente de la tangente en ce point est \(\dfrac54\), donc :

\[ h'(\ln2)=\frac54, \]

ce qui donne :

\[ 2a-\frac12b=\frac54. \tag{2} \]

En additionnant \((1)\) et \((2)\) :

\[ 4a=2, \]

d’où :

\[ a=\frac12. \]

Puis, en remplaçant dans \((1)\) :

\[ 1+\frac12b=\frac34, \]

donc :

\[ b=-\frac12. \]

\[ \boxed{ h(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2} }. \]

Question 1 b)

Soit \(x\in\mathbb R\). Calculer :

\[ I=\int_0^x t\left(e^t-e^{-t}\right)\,dt \]

en fonction de \(x\), puis conclure que \(h\in S\).

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On calcule séparément les deux intégrales.

Par intégration par parties :

\[ \int t e^t\,dt=(t-1)e^t. \]

De même :

\[ \int t e^{-t}\,dt=-(t+1)e^{-t}. \]

Par conséquent, une primitive de \(t(e^t-e^{-t})\) est :

\[ (t-1)e^t+(t+1)e^{-t}. \]

Donc :

\[ \begin{aligned} I &= \left[(t-1)e^t+(t+1)e^{-t}\right]_0^x\\ &= (x-1)e^x+(x+1)e^{-x} -\left[-1+1\right]. \end{aligned} \]

Ainsi :

\[ \boxed{ I=(x-1)e^x+(x+1)e^{-x} }. \]

Montrons maintenant que \(h\in S\). On a :

\[ h(t)=\frac{e^t-e^{-t}}{2}. \]

D’abord :

\[ \begin{aligned} \int_0^x h(t)\,dt &= \frac12\int_0^x\left(e^t-e^{-t}\right)dt\\ &= \frac{e^x+e^{-x}-2}{2}. \end{aligned} \]

Ensuite, d’après le calcul précédent :

\[ \int_0^x t h(t)\,dt = \frac{(x-1)e^x+(x+1)e^{-x}}{2}. \]

On remplace dans la condition définissant \(S\) :

\[ \begin{aligned} &h(x)-x\int_0^x h(t)\,dt+\int_0^x t h(t)\,dt\\[1mm] &= \frac{e^x-e^{-x}}{2} -x\frac{e^x+e^{-x}-2}{2} +\frac{(x-1)e^x+(x+1)e^{-x}}{2}\\[1mm] &= \frac{ e^x-e^{-x} -xe^x-xe^{-x}+2x +(x-1)e^x+(x+1)e^{-x} }{2}\\[1mm] &=x. \end{aligned} \]

\[ \boxed{h\in S}. \]

Question 2 a)

Soit \(f\) un élément de \(S\). Montrer que :

\[ (\forall x\in\mathbb R)\qquad f'(x)=1+\int_0^x f(t)\,dt. \]

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Comme \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\), elle est continue sur \(\mathbb R\). Les fonctions :

\[ x\longmapsto\int_0^x f(t)\,dt \qquad\text{et}\qquad x\longmapsto\int_0^x t f(t)\,dt \]

sont donc dérivables.

Puisque \(f\in S\), pour tout \(x\in\mathbb R\) :

\[ f(x)-x\int_0^x f(t)\,dt+\int_0^x t f(t)\,dt=x. \]

On dérive les deux membres par rapport à \(x\). En utilisant la dérivée d’un produit et le théorème fondamental de l’analyse :

\[ \begin{aligned} f'(x) &- \left[ \int_0^x f(t)\,dt+x f(x) \right] +x f(x) =1. \end{aligned} \]

Les termes \(-xf(x)\) et \(+xf(x)\) se simplifient. Ainsi :

\[ \boxed{ f'(x)=1+\int_0^x f(t)\,dt } \qquad(\forall x\in\mathbb R). \]

Question 2 b)

Montrer que \(f\) est une solution de \((E)\).

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D’après la question 2 a) :

\[ f'(x)=1+\int_0^x f(t)\,dt. \]

Comme \(f\) est continue, la fonction :

\[ x\longmapsto\int_0^x f(t)\,dt \]

est dérivable. Le membre de droite est donc dérivable. Par conséquent, \(f'\) est dérivable et \(f\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb R\).

On peut alors dériver l’égalité précédente :

\[ f''(x)=f(x). \]

Donc, pour tout \(x\in\mathbb R\) :

\[ f''(x)-f(x)=0. \]

\[ \boxed{f\text{ est une solution de }(E):\ y''-y=0}. \]

Question 2 c)

Calculer \(f(0)\) et \(f'(0)\), puis en déduire l’ensemble \(S\).

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Dans la relation qui définit \(S\), prenons \(x=0\) :

\[ f(0)-0\times\int_0^0 f(t)\,dt+\int_0^0 t f(t)\,dt=0. \]

Les deux intégrales sont nulles. Donc :

\[ \boxed{f(0)=0}. \]

D’après la question 2 a) :

\[ f'(x)=1+\int_0^x f(t)\,dt. \]

Pour \(x=0\) :

\[ f'(0)=1+\int_0^0 f(t)\,dt, \]

d’où :

\[ \boxed{f'(0)=1}. \]

D’après la question 2 b), \(f\) est solution de \((E)\). Elle s’écrit donc :

\[ f(x)=ae^x+be^{-x}. \]

Les conditions \(f(0)=0\) et \(f'(0)=1\) donnent :

\[ \begin{cases} a+b=0,\\ a-b=1. \end{cases} \]

En additionnant les deux égalités :

\[ 2a=1, \]

donc :

\[ a=\frac12 \qquad\text{et}\qquad b=-\frac12. \]

Ainsi, tout élément \(f\) de \(S\) est nécessairement égal à :

\[ h(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}. \]

Réciproquement, la question 1 b) a montré que \(h\in S\).

\[ \boxed{ S= \left\{ x\longmapsto\frac{e^x-e^{-x}}{2} \right\} }. \]

Méthodes à retenir : une condition contenant des intégrales à borne variable peut être dérivée lorsque l’intégrande est continue. Il faut cependant justifier la régularité obtenue avant de dériver une seconde fois. Pour déterminer exactement un ensemble de fonctions, on prouve à la fois la nécessité et la réciproque.

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