Correction du Devoir 5 — Équations différentielles — Al Moufid

Correction du Devoir 5 — Équations différentielles

Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques

Ce devoir relie une fonction définie par une intégrale à une équation différentielle linéaire du premier ordre sur \(\mathbb R^*=\mathbb R\setminus\{0\}\).

Menu des parties

1. Dérivabilité et relation 2. Calcul pour \(n=1\) 3. Équation différentielle

Partie 1 — Dérivabilité et relation différentielle

Question 1

Soit \(n\in\mathbb N^*\). On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \(\mathbb R^*\) par :

\[ f(x)=\frac{1}{x^{n+1}}\int_0^x u^n\sin(u)\,du. \]

Montrer que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R^*\) et que :

\[ (\forall x\in\mathbb R^*)\qquad x f'(x)+(n+1)f(x)=\sin x. \]

Afficher la correction + Masquer la correction −

Posons, pour tout \(x\in\mathbb R\) :

\[ F(x)=\int_0^x u^n\sin(u)\,du. \]

La fonction \(u\mapsto u^n\sin u\) est continue sur \(\mathbb R\). D’après le théorème fondamental de l’analyse, \(F\) est dérivable sur \(\mathbb R\) et :

\[ F'(x)=x^n\sin x. \]

Sur \(\mathbb R^*\), on peut écrire :

\[ f(x)=x^{-(n+1)}F(x). \]

Les fonctions \(x\mapsto x^{-(n+1)}\) et \(F\) sont dérivables sur \(\mathbb R^*\). Leur produit \(f\) est donc dérivable sur \(\mathbb R^*\).

Pour tout \(x\in\mathbb R^*\), la dérivation du produit donne :

\[ \begin{aligned} f'(x) &=-(n+1)x^{-(n+2)}F(x) +x^{-(n+1)}F'(x)\\ &=-(n+1)x^{-(n+2)}F(x) +x^{-(n+1)}x^n\sin x. \end{aligned} \]

Comme \(F(x)=x^{n+1}f(x)\), on obtient :

\[ f'(x)=-\frac{n+1}{x}f(x)+\frac{\sin x}{x}. \]

Le passage précédent est effectué uniquement pour \(x\neq0\), ce qui est permis puisque le domaine est \(\mathbb R^*\).

En multipliant par \(x\), puis en regroupant les termes :

\[ x f'(x)=-(n+1)f(x)+\sin x. \]

\[ \boxed{ (\forall x\in\mathbb R^*)\qquad x f'(x)+(n+1)f(x)=\sin x }. \]

Partie 2 — Expression de \(f\) pour \(n=1\)

Question 2

Déterminer l’expression de \(f(x)\) pour \(n=1\).

Afficher la correction + Masquer la correction −

Pour \(n=1\) et \(x\in\mathbb R^*\) :

\[ f(x)=\frac1{x^2}\int_0^x u\sin u\,du. \]

Calculons l’intégrale par intégration par parties.

\[ \begin{cases} a(u)=u, & a'(u)=1,\\ b'(u)=\sin u, & b(u)=-\cos u. \end{cases} \]

Ainsi :

\[ \begin{aligned} \int_0^x u\sin u\,du &=\left[-u\cos u\right]_0^x +\int_0^x\cos u\,du\\ &=-x\cos x+\left[\sin u\right]_0^x\\ &=\sin x-x\cos x. \end{aligned} \]

\[ \boxed{ (\forall x\in\mathbb R^*)\qquad f(x)=\frac{\sin x-x\cos x}{x^2} }. \]

Partie 3 — Résolution de l’équation différentielle

Énoncé de la partie

On considère l’équation différentielle :

\[ (E):\quad xy'+2y=\sin x, \qquad x\in\mathbb R^*. \]

On pose :

\[ z=y-f, \]

où \(f\) est la fonction obtenue pour \(n=1\).

Question 3 a)

Montrer que \(y\) est une solution de \((E)\) si, et seulement si, \(z\) est une solution de :

\[ (E'):\quad xz'+2z=0, \qquad x\in\mathbb R^*. \]

Afficher la correction + Masquer la correction −

D’après la question 1 appliquée à \(n=1\), la fonction \(f\) vérifie :

\[ xf'(x)+2f(x)=\sin x \qquad (x\in\mathbb R^*). \]

Comme \(z=y-f\), on a \(z'=y'-f'\). Par conséquent :

\[ \begin{aligned} xz'+2z &=x(y'-f')+2(y-f)\\ &=(xy'+2y)-(xf'+2f)\\ &=(xy'+2y)-\sin x. \end{aligned} \]

Ainsi :

\[ xz'+2z=0 \Longleftrightarrow xy'+2y=\sin x. \]

\[ \boxed{ y\text{ est solution de }(E) \Longleftrightarrow z=y-f\text{ est solution de }(E') }. \]

Question 3 b)

Résoudre l’équation différentielle \((E')\).

Afficher la correction + Masquer la correction −

Soit \(I\) l’un des deux intervalles :

\[ I=]-\infty;0[ \qquad\text{ou}\qquad I=]0;+\infty[. \]

Pour tout \(x\in I\), l’équation \((E')\) s’écrit :

\[ xz'(x)+2z(x)=0. \]

Multiplions cette égalité par \(x\). On obtient :

\[ x^2z'(x)+2xz(x)=0. \]

Or :

\[ \bigl(x^2z(x)\bigr)'=x^2z'(x)+2xz(x). \]

Donc :

\[ \bigl(x^2z(x)\bigr)'=0 \quad\text{sur }I. \]

La fonction \(x\mapsto x^2z(x)\) est alors constante sur l’intervalle \(I\). Il existe donc une constante réelle \(C\) telle que :

\[ x^2z(x)=C. \]

Puisque \(x\neq0\) sur \(I\) :

\[ z(x)=\frac{C}{x^2}. \]

Le domaine \(\mathbb R^*\) n’est pas un intervalle : il possède deux composantes connexes. Les constantes peuvent donc être différentes sur \(]-\infty;0[\) et sur \(]0;+\infty[\).

Sur chacun des deux intervalles \(]-\infty;0[\) et \(]0;+\infty[\) :

\[ \boxed{z(x)=\frac{C}{x^2}}, \qquad C\in\mathbb R. \]

Sur \(\mathbb R^*\) tout entier :

\[ \boxed{ z(x)= \begin{cases} \dfrac{C_-}{x^2}, & x<0,\\[6pt] \dfrac{C_+}{x^2}, & x>0, \end{cases} \qquad (C_-,C_+)\in\mathbb R^2 }. \]

Question 3 c)

En déduire les solutions de l’équation \((E)\).

Afficher la correction + Masquer la correction −

On a :

\[ z=y-f, \]

donc :

\[ y=f+z. \]

Sur chacun des deux intervalles \(]-\infty;0[\) et \(]0;+\infty[\), on obtient :

\[ \begin{aligned} y(x) &=\frac{\sin x-x\cos x}{x^2}+\frac{C}{x^2}\\ &=\frac{\sin x-x\cos x+C}{x^2}. \end{aligned} \]

Par conséquent, les solutions définies sur \(\mathbb R^*\) sont les fonctions :

\[ \boxed{ y(x)= \begin{cases} \dfrac{\sin x-x\cos x+C_-}{x^2}, & x<0,\\[8pt] \dfrac{\sin x-x\cos x+C_+}{x^2}, & x>0, \end{cases} \qquad (C_-,C_+)\in\mathbb R^2 }. \]

Sur un seul intervalle \(I=]-\infty;0[\) ou \(I=]0;+\infty[\), cette famille s’écrit plus simplement :

\[ \boxed{ y(x)=\frac{\sin x-x\cos x+C}{x^2} }, \qquad C\in\mathbb R. \]

Vérification rapide : si \(N(x)=\sin x-x\cos x+C\), alors \(N'(x)=x\sin x\). Pour \(y(x)=N(x)/x^2\), on retrouve bien :

\[ xy'(x)+2y(x)=\sin x. \]

Méthodes à retenir : une intégrale à borne variable se dérive après vérification de la continuité de l’intégrande. Sur \(\mathbb R^*\), toute division par \(x\) doit être justifiée par \(x\neq0\). Enfin, une équation différentielle résolue sur \(\mathbb R^*\) peut faire intervenir deux constantes, car \(\mathbb R^*\) est la réunion de deux intervalles disjoints.

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