Correction du Devoir 6 — Équations différentielles — Al Moufid

Correction du Devoir 6 — Équations différentielles

Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques

Ce devoir modélise la décharge d’un condensateur dans un résistor. Les unités sont conservées à chaque étape : volt, ohm, farad, seconde, ampère et joule.

Menu des parties

1. Solution générale 2. Condition initiale 3. Seuil de tension 4. Intensité et énergie

Partie 1 — Résolution de l’équation différentielle

Situation

Un condensateur de capacité \(C\) est chargé sous une tension initiale de \(20\) volts. Il se décharge ensuite dans un résistor de résistance \(R\).

La tension \(u\), fonction du temps définie sur \([0;+\infty[\), est solution de :

\[ (E):\qquad u'(t)+\frac1{RC}u(t)=0. \]

Question 1

Déterminer toutes les solutions de l’équation différentielle \((E)\) sur \([0;+\infty[\).

Afficher la correction + Masquer la correction −

La résistance \(R\) et la capacité \(C\) sont strictement positives. Ainsi :

\[ \frac1{RC}>0. \]

L’équation est de la forme :

\[ y'+ay=0 \qquad\text{avec}\qquad a=\frac1{RC}. \]

Les solutions d’une telle équation sur un intervalle sont les fonctions :

\[ y(t)=K e^{-at}, \qquad K\in\mathbb R. \]

On en déduit :

\[ \boxed{ u(t)=K e^{-\frac{t}{RC}}, \qquad t\in[0;+\infty[, \quad K\in\mathbb R }. \]

Vérification des unités. Le produit \(RC\) s’exprime en secondes : \[ \Omega\cdot\mathrm F=\mathrm s. \] Ainsi, \(\dfrac{t}{RC}\) est sans unité, comme doit l’être l’exposant d’une fonction exponentielle.

Partie 2 — Condition initiale et valeurs numériques

Question 2

On rappelle que :

\[ u(0)=20. \]

Déterminer la fonction \(u\).

Afficher la correction + Masquer la correction −

D’après la question précédente :

\[ u(t)=K e^{-\frac{t}{RC}}. \]

À l’instant \(t=0\) :

\[ u(0)=K e^0=K. \]

Comme \(u(0)=20\), on obtient \(K=20\).

\[ \boxed{ u(t)=20e^{-\frac{t}{RC}}\ \mathrm V, \qquad t\in[0;+\infty[ }. \]

Question 3 a)

Dans la suite, on prend :

\[ R=1000\ \Omega \qquad\text{et}\qquad C=10^{-4}\ \mathrm F. \]

Montrer que, pour tout \(t\in[0;+\infty[\) :

\[ u(t)=20e^{-10t}. \]

Afficher la correction + Masquer la correction −

Calculons la constante de temps du circuit :

\[ \begin{aligned} RC &=1000\times10^{-4}\\ &=10^{-1}\\ &=0{,}1\ \mathrm s. \end{aligned} \]

Par conséquent :

\[ \frac1{RC} = \frac1{0{,}1} = 10\ \mathrm{s}^{-1}. \]

La formule obtenue à la question précédente devient :

\[ u(t)=20e^{-10t}. \]

\[ \boxed{ (\forall t\in[0;+\infty[)\qquad u(t)=20e^{-10t}\ \mathrm V }. \]

Le produit \(10t\) est sans unité, car \(10\) s’exprime en \(\mathrm{s}^{-1}\) et \(t\) en secondes.

Partie 3 — Durée pendant laquelle la tension dépasse un seuil

Question 3 b)

Déterminer les valeurs de \(t\) pour lesquelles :

\[ u(t)\geq0{,}02\ \mathrm V. \]

Afficher la correction + Masquer la correction −

Pour \(t\in[0;+\infty[\), on a :

\[ u(t)=20e^{-10t}. \]

Résolvons l’inéquation :

\[ \begin{aligned} 20e^{-10t}\geq0{,}02 &\Longleftrightarrow e^{-10t}\geq\frac{0{,}02}{20}\\ &\Longleftrightarrow e^{-10t}\geq10^{-3}. \end{aligned} \]

La fonction logarithme népérien étant strictement croissante sur \(]0;+\infty[\) :

\[ -10t\geq\ln(10^{-3})=-3\ln10. \]

En divisant par \(-10\), le sens de l’inégalité change :

\[ t\leq\frac{3\ln10}{10}. \]

Comme le temps appartient à \([0;+\infty[\), on obtient :

\[ \boxed{ 0\leq t\leq\frac{3\ln10}{10}\ \mathrm s }. \] \[ \frac{3\ln10}{10} \approx0{,}6908\ \mathrm s. \]

La tension reste donc supérieure ou égale à \(0{,}02\ \mathrm V\) pendant environ \(0{,}69\ \mathrm s\).

Partie 4 — Intensité du courant et énergie dissipée

Question 4 a)

L’intensité traversant le circuit est la fonction \(i\) définie sur \([0;+\infty[\) par :

\[ i(t)=C\,u'(t). \]

Déterminer \(i(t)\).

Afficher la correction + Masquer la correction −

On a :

\[ u(t)=20e^{-10t}. \]

Donc :

\[ u'(t) = 20(-10)e^{-10t} = -200e^{-10t}\ \mathrm{V\,s^{-1}}. \]

Comme \(C=10^{-4}\ \mathrm F\) :

\[ \begin{aligned} i(t) &=C\,u'(t)\\ &=10^{-4}\times\left(-200e^{-10t}\right)\\ &=-2\times10^{-2}e^{-10t}. \end{aligned} \]

\[ \boxed{ i(t)=-0{,}02e^{-10t}\ \mathrm A }. \]

\[ \mathrm F\times\frac{\mathrm V}{\mathrm s} = \frac{\mathrm C}{\mathrm V} \times \frac{\mathrm V}{\mathrm s} = \frac{\mathrm C}{\mathrm s} = \mathrm A. \]

Le signe négatif provient du sens de référence choisi dans la relation \(i=C\,u'\). La valeur absolue de l’intensité est \[ |i(t)|=0{,}02e^{-10t}\ \mathrm A. \]

Question 4 b)

L’énergie \(W\), exprimée en joules, dissipée dans le résistor entre les instants \(t=0\) et \(t=0{,}69\ \mathrm s\), est :

\[ W=\int_0^{0{,}69}R\,i^2(t)\,dt. \]

Calculer \(W\) à \(0{,}01\) près.

Afficher la correction + Masquer la correction −

On a :

\[ i(t)=-0{,}02e^{-10t}\ \mathrm A. \]

Par conséquent :

\[ i^2(t) = (0{,}02)^2e^{-20t} = 4\times10^{-4}e^{-20t}\ \mathrm{A}^2. \]

Comme \(R=1000\ \Omega\) :

\[ R\,i^2(t) = 1000\times4\times10^{-4}e^{-20t} = 0{,}4e^{-20t}\ \mathrm W. \]

Donc :

\[ \begin{aligned} W &=\int_0^{0{,}69}0{,}4e^{-20t}\,dt\\ &=0{,}4 \left[ -\frac1{20}e^{-20t} \right]_0^{0{,}69}\\ &=0{,}02 \left( 1-e^{-13{,}8} \right)\ \mathrm J. \end{aligned} \]

Numériquement :

\[ W\approx0{,}01999998\ \mathrm J. \]

À \(0{,}01\) près :

\[ \boxed{ W\approx0{,}02\ \mathrm J }. \]

Cohérence des unités : \[ \Omega\cdot\mathrm A^2 = \mathrm W, \qquad \mathrm W\cdot\mathrm s = \mathrm J. \] L’intégrande \(R\,i^2(t)\) est donc une puissance et son intégrale par rapport au temps est bien une énergie.

L’énergie initialement stockée dans le condensateur vaut : \[ \frac12 C\,u^2(0) = \frac12\times10^{-4}\times20^2 = 0{,}02\ \mathrm J. \] La valeur obtenue est cohérente : à \(t=0{,}69\ \mathrm s\), le condensateur a dissipé presque toute son énergie initiale.

Méthodes à retenir : dans une équation de décharge, la constante de temps est \(\tau=RC\). La tension décroît sous la forme \(u(t)=u(0)e^{-t/\tau}\). Le courant s’obtient par dérivation, puis l’énergie dissipée par intégration de la puissance \(R\,i^2(t)\).

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