Correction du Devoir 7 — Équations différentielles — Al Moufid

Correction du Devoir 7 — Équations différentielles

Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques

On cherche toutes les fonctions \(f\), définies et dérivables sur \(]0;+\infty[\), qui vérifient : \[ (E):\quad x f'(x)-(2x+1)f(x)=8x^2. \] Le domaine \(]0;+\infty[\) est essentiel : il permet de diviser par \(x\) et de poser \(g(x)=\dfrac{f(x)}x\).

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1. Poser \(g=f/x\) 2. Réciproque \(f=xh\) 3. Résoudre \((E')\) 4. Point \(A(\ln2;0)\)

Partie 1 — Du problème initial à une équation linéaire

Question 1 a)

Soit \(f\) une solution de \((E)\). On définit, pour tout \(x\in]0;+\infty[\) :

\[ g(x)=\frac{f(x)}x. \]

Démontrer que \(g\) est solution de l’équation différentielle :

\[ (E'):\quad y'-2y=8. \]

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La fonction \(f\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\). De plus, sur cet intervalle, \(x\neq0\). Le quotient

\[ g(x)=\frac{f(x)}x \]

est donc dérivable sur \(]0;+\infty[\).

Par la formule de dérivation d’un quotient :

\[ g'(x)=\frac{x f'(x)-f(x)}{x^2}. \]

Puisque \(f\) est solution de \((E)\), on a :

\[ x f'(x)-(2x+1)f(x)=8x^2. \]

Écrivons le numérateur de \(g'(x)\) sous une forme adaptée :

\[ \begin{aligned} x f'(x)-f(x) &=\bigl[x f'(x)-(2x+1)f(x)\bigr]+2x f(x)\\ &=8x^2+2x f(x). \end{aligned} \]

En divisant par \(x^2\), ce qui est permis car \(x>0\), on obtient :

\[ \begin{aligned} g'(x) &=\frac{8x^2+2x f(x)}{x^2}\\ &=8+2\frac{f(x)}x\\ &=8+2g(x). \end{aligned} \]

\[ g'(x)-2g(x)=8. \] Ainsi, \(g\) est bien une solution de \((E')\) sur \(]0;+\infty[\).

Partie 2 — Réciproque : revenir à l’équation \((E)\)

Question 1 b)

Démontrer que si \(h\) est solution de \((E')\), alors la fonction \(f\) définie par

\[ f(x)=x h(x) \]

est solution de \((E)\).

Afficher la correction + Masquer la correction −

Supposons que \(h\) soit une solution de \((E')\) sur \(]0;+\infty[\). Alors :

\[ h'(x)-2h(x)=8. \]

Définissons :

\[ f(x)=x h(x). \]

La fonction \(f\) est dérivable et, par la formule de dérivation d’un produit :

\[ f'(x)=h(x)+x h'(x). \]

Calculons le membre de gauche de \((E)\) :

\[ \begin{aligned} x f'(x)-(2x+1)f(x) &=x\bigl(h(x)+x h'(x)\bigr)-(2x+1)x h(x)\\ &=x h(x)+x^2h'(x)-2x^2h(x)-x h(x)\\ &=x^2\bigl(h'(x)-2h(x)\bigr). \end{aligned} \]

Or \(h'(x)-2h(x)=8\). Par conséquent :

\[ x f'(x)-(2x+1)f(x)=8x^2. \]

La fonction \(f:x\mapsto xh(x)\) est donc une solution de \((E)\) sur \(]0;+\infty[\).

Partie 3 — Résolution complète

Question 2

Résoudre \((E')\), puis en déduire toutes les solutions de l’équation différentielle \((E)\).

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L’équation auxiliaire est :

\[ (E'):\quad y'-2y=8. \]

1. Équation homogène associée. \[ y'-2y=0. \] Ses solutions sont : \[ y_h(x)=C e^{2x},\qquad C\in\mathbb R. \]

2. Recherche d’une solution particulière constante.

On pose \(y_p(x)=k\), où \(k\) est une constante. Alors \(y_p'(x)=0\), donc :

\[ -2k=8, \] d’où : \[ k=-4. \]

Les solutions de \((E')\) sont donc :

\[ h(x)=C e^{2x}-4, \qquad C\in\mathbb R. \]

D’après la question 1 b), les solutions de \((E)\) sont obtenues en posant \(f(x)=xh(x)\). Ainsi :

\[ f(x)=x\bigl(Ce^{2x}-4\bigr). \]

Toutes les solutions de \((E)\) sur \(]0;+\infty[\) sont les fonctions : \[ \boxed{f_C(x)=Cxe^{2x}-4x}, \qquad C\in\mathbb R. \]

Vérification rapide. Pour \(f_C(x)=Cxe^{2x}-4x\), on a \[ f_C'(x)=Ce^{2x}(1+2x)-4. \] En remplaçant dans \(x f_C'(x)-(2x+1)f_C(x)\), les termes contenant \(C\) s’annulent et il reste bien \(8x^2\).

Partie 4 — Solution dont la courbe passe par un point donné

Question 3

Existe-t-il une fonction \(f\), solution de \((E)\), dont la représentation graphique dans un repère donné passe par le point

\[ A(\ln2;0)\,? \]

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Comme \(\ln2>0\), l’abscisse du point \(A\) appartient bien au domaine \(]0;+\infty[\).

Les solutions de \((E)\) sont :

\[ f_C(x)=x\bigl(Ce^{2x}-4\bigr), \qquad C\in\mathbb R. \]

La courbe passe par \(A(\ln2;0)\) si, et seulement si :

\[ f_C(\ln2)=0. \]

Or :

\[ \begin{aligned} f_C(\ln2) &=\ln2\left(Ce^{2\ln2}-4\right)\\ &=\ln2\left(Ce^{\ln4}-4\right)\\ &=\ln2\,(4C-4). \end{aligned} \]

Puisque \(\ln2\neq0\), la condition devient :

\[ 4C-4=0, \] donc :

\[ C=1. \]

Oui, il existe une telle fonction, et elle est unique : \[ \boxed{f(x)=x\left(e^{2x}-4\right)}. \]

En effet :

\[ f(\ln2)=\ln2\left(e^{2\ln2}-4\right) =\ln2(4-4)=0. \]

Méthode à retenir : lorsque l’équation contient simultanément \(xf'(x)\) et un terme en \(f(x)\), le quotient \(g(x)=\dfrac{f(x)}x\) peut transformer l’équation en une équation linéaire à coefficients constants. Il faut toujours rappeler que \(x\neq0\) avant d’effectuer cette division.

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