Correction du Devoir 9 — Équations différentielles — Al Moufid

Correction du Devoir 9 — Équations différentielles

Chapitre : Équations différentielles

Manuel : Al Moufid — Niveau : 2e Bac Sciences Mathématiques

Ce devoir étudie une équation différentielle linéaire du second ordre avec second membre. La méthode consiste à vérifier une solution particulière, puis à ramener le problème à l’équation homogène associée.

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Question 1 Question 2 Question 3 Question 4

Soit \((E)\) l’équation différentielle :

\[ (E):\quad 4y''+5y'+y=2e^{-2x}(7x-11). \]

Une solution de \((E)\) est une fonction deux fois dérivable sur \(\mathbb R\) qui vérifie cette égalité pour tout réel \(x\).

Question 1

Vérifier que la fonction \(g\) définie par :

\[ g(x)=2xe^{-2x} \]

est une solution de l’équation différentielle \((E)\).

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La fonction \(g:x\mapsto2xe^{-2x}\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb R\).

En utilisant la dérivation d’un produit :

\[ \begin{aligned} g'(x) &=2e^{-2x}+2x\left(-2e^{-2x}\right)\\ &=(2-4x)e^{-2x}. \end{aligned} \]

Puis :

\[ \begin{aligned} g''(x) &=-4e^{-2x}+(2-4x)\left(-2e^{-2x}\right)\\ &=(-4-4+8x)e^{-2x}\\ &=(8x-8)e^{-2x}. \end{aligned} \]

Calculons alors le membre de gauche de \((E)\) :

\[ \begin{aligned} 4g''(x)+5g'(x)+g(x) &=4(8x-8)e^{-2x}+5(2-4x)e^{-2x}+2xe^{-2x}\\ &=\left(32x-32+10-20x+2x\right)e^{-2x}\\ &=(14x-22)e^{-2x}\\ &=2e^{-2x}(7x-11). \end{aligned} \]

On obtient exactement le second membre de l’équation \((E)\).

\[ \boxed{g(x)=2xe^{-2x}\text{ est une solution particulière de }(E).} \]

Question 2

Soit \(u\) une fonction définie et dérivable sur \(\mathbb R\).

Montrer que la fonction \(u\) est une solution de \((E)\) si, et seulement si, la fonction \(u-g\) est solution de l’équation différentielle :

\[ (E_0):\quad 4y''+5y'+y=0. \]

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Pour toute fonction \(v\) deux fois dérivable sur \(\mathbb R\), posons :

\[ L(v)=4v''+5v'+v. \]

L’opérateur \(L\) est linéaire et, d’après la question 1 :

\[ L(g)=2e^{-2x}(7x-11). \]

Première implication. Supposons que \(u\) soit une solution de \((E)\).

Par définition, \(u\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb R\). Comme \(g\) est également deux fois dérivable, la fonction \(u-g\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb R\). De plus :

\[ \begin{aligned} L(u-g) &=L(u)-L(g)\\ &=2e^{-2x}(7x-11)-2e^{-2x}(7x-11)\\ &=0. \end{aligned} \]

Ainsi, \(u-g\) est une solution de \((E_0)\).

Réciproquement. Supposons que \(u-g\) soit une solution de \((E_0)\).

La fonction \(u-g\) est alors deux fois dérivable sur \(\mathbb R\). Comme \(g\) est deux fois dérivable, la relation :

\[ u=(u-g)+g \]

montre que \(u\) est elle-même deux fois dérivable sur \(\mathbb R\). Ensuite :

\[ \begin{aligned} L(u) &=L(u-g)+L(g)\\ &=0+2e^{-2x}(7x-11)\\ &=2e^{-2x}(7x-11). \end{aligned} \]

Donc \(u\) est une solution de \((E)\).

\[ \boxed{u\text{ est solution de }(E)\Longleftrightarrow u-g\text{ est solution de }(E_0)}. \]

Question 3

Résoudre l’équation \((E_0)\), puis en déduire toutes les solutions de l’équation \((E)\).

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L’équation homogène associée est :

\[ (E_0):\quad 4y''+5y'+y=0. \]

Son équation caractéristique est :

\[ 4r^2+5r+1=0. \]

On factorise :

\[ 4r^2+5r+1=(4r+1)(r+1). \]

Les deux racines réelles distinctes sont donc :

\[ r_1=-\frac14 \qquad\text{et}\qquad r_2=-1. \]

Les solutions de \((E_0)\) sont alors les fonctions :

\[ y_h(x)=Ae^{-x/4}+Be^{-x}, \qquad (A,B)\in\mathbb R^2. \]

D’après la question 2, une fonction \(y\) est solution de \((E)\) si, et seulement si, \(y-g\) est solution de \((E_0)\). Ainsi :

\[ y(x)-g(x)=Ae^{-x/4}+Be^{-x}. \]

Comme \(g(x)=2xe^{-2x}\), toutes les solutions de \((E)\) sont :

\[ \boxed{y(x)=Ae^{-x/4}+Be^{-x}+2xe^{-2x},\qquad(A,B)\in\mathbb R^2}. \]

Question 4

Déterminer la solution \(f\) de \((E)\) dont la courbe passe par le point \(A(0;-1)\) et admet en ce point une tangente parallèle à l’axe des abscisses.

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La courbe de \(f\) passe par \(A(0;-1)\), donc :

\[ f(0)=-1. \]

La tangente en ce point est parallèle à l’axe des abscisses, donc sa pente est nulle :

\[ f'(0)=0. \]

D’après la question précédente, il existe deux réels \(A\) et \(B\) tels que :

\[ f(x)=Ae^{-x/4}+Be^{-x}+2xe^{-2x}. \]

À l’abscisse \(x=0\) :

\[ f(0)=A+B. \]

La condition \(f(0)=-1\) donne :

\[ A+B=-1. \tag{1} \]

Dérivons \(f\) :

\[ \begin{aligned} f'(x) &=-\frac A4e^{-x/4}-Be^{-x}+2e^{-2x}-4xe^{-2x}\\ &=-\frac A4e^{-x/4}-Be^{-x}+(2-4x)e^{-2x}. \end{aligned} \]

À l’abscisse \(x=0\) :

\[ f'(0)=-\frac A4-B+2. \]

La condition \(f'(0)=0\) donne :

\[ \frac A4+B=2. \tag{2} \]

Résolvons le système formé par \((1)\) et \((2)\) :

\[ \begin{cases} A+B=-1,\\[2mm] \dfrac A4+B=2. \end{cases} \]

En soustrayant la deuxième égalité de la première :

\[ A-\frac A4=-3, \]

d’où :

\[ \frac{3A}{4}=-3 \qquad\Longrightarrow\qquad A=-4. \]

En remplaçant dans \(A+B=-1\) :

\[ -4+B=-1 \qquad\Longrightarrow\qquad B=3. \]

La solution cherchée est donc :

\[ \boxed{f(x)=-4e^{-x/4}+3e^{-x}+2xe^{-2x}}. \]

Vérification des conditions :

\[ f(0)=-4+3=-1, \]

et :

\[ f'(0)=1-3+2=0. \]

Méthode à retenir : lorsqu’une solution particulière \(g\) d’une équation linéaire avec second membre est connue, on pose \(z=y-g\). La fonction \(y\) résout l’équation complète si, et seulement si, \(z\) résout l’équation homogène associée. La solution générale est donc la somme d’une solution particulière et de la solution générale de l’équation homogène.

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