Équations différentielles : circuit RLC et étude d’une charge — Exercice 25
Correction détaillée — 2e Bac Sciences Mathématiques
L’objet de ce problème est l’étude de la décharge d’un condensateur de capacité \(C\) dans un circuit comprenant une résistance \(R\) et une inductance \(L\).
On admet que la charge \(q\) du condensateur est une fonction du temps qui vérifie :
\[ Lq''(t)+Rq'(t)+\frac1Cq(t)=0. \]On donne :
\[ L=10\,\mathrm H,\qquad C=0{,}2\,\mathrm F \qquad\text{et}\qquad R=22{,}5\,\Omega. \]Déterminer la solution \(q\) de l’équation différentielle telle que :
\[ q(0)=1 \qquad\text{et}\qquad q'(0)=\frac{13}{4}. \]Lire la correction + Masquer la correction −
En remplaçant \(L\), \(R\) et \(C\) par leurs valeurs, on obtient :
\[ 10q''(t)+22{,}5q'(t)+5q(t)=0. \]En multipliant par \(2\), puis en divisant par \(5\), cette équation devient :
\[ 4q''(t)+9q'(t)+2q(t)=0. \]Or :
\[ 4r^2+9r+2=(4r+1)(r+2). \]Les deux racines sont donc :
\[ r_1=-2 \qquad\text{et}\qquad r_2=-\frac14. \]Les solutions de l’équation différentielle sont alors :
\[ q(t)=Ae^{-2t}+Be^{-t/4}, \qquad (A,B)\in\mathbb R^2. \]La condition \(q(0)=1\) donne :
\[ A+B=1. \]De plus :
\[ q'(t)=-2Ae^{-2t}-\frac14Be^{-t/4}. \]La condition \(q'(0)=\dfrac{13}{4}\) donne donc :
\[ -2A-\frac14B=\frac{13}{4}. \]En multipliant cette relation par \(4\), on obtient le système :
\[ \begin{cases} A+B=1,\\ -8A-B=13. \end{cases} \]Par addition des deux égalités :
\[ -7A=14, \]d’où :
\[ A=-2 \qquad\text{et}\qquad B=3. \]Soit la fonction \(g\) définie par :
\[ g(t)=-2e^{-2t}+3e^{-t/4}. \]Calculer :
\[ \lim_{t\to+\infty}g(t). \]Lire la correction + Masquer la correction −
Lorsque \(t\to+\infty\), on a :
\[ e^{-2t}\longrightarrow0 \qquad\text{et}\qquad e^{-t/4}\longrightarrow0. \]Par conséquent :
La charge du condensateur tend donc vers \(0\) coulomb lorsque le temps devient grand.
Calculer \(g'(t)\). Déterminer la valeur exacte de la solution \(\alpha\) de l’équation \(g'(t)=0\), puis donner une valeur approchée de \(\alpha\) à \(10^{-2}\) près.
Lire la correction + Masquer la correction −
Pour tout \(t\geq0\) :
\[ g'(t)=4e^{-2t}-\frac34e^{-t/4}. \]On peut factoriser par le nombre strictement positif \(\dfrac14e^{-2t}\) :
\[ g'(t)=\frac14e^{-2t}\left(16-3e^{7t/4}\right). \]Ainsi :
\[ g'(t)=0 \iff 16-3e^{7t/4}=0 \] \[ \iff e^{7t/4}=\frac{16}{3}. \]En appliquant le logarithme népérien :
\[ \frac{7t}{4}=\ln\left(\frac{16}{3}\right). \]Par conséquent :
\[ \alpha=\frac47\ln\left(\frac{16}{3}\right). \]Numériquement :
\[ \alpha\approx0{,}95656. \]Étudier le signe de \(g'(t)\), puis dresser le tableau de variations de \(g\) sur \([0;+\infty[\).
Lire la correction + Masquer la correction −
Comme \(\dfrac14e^{-2t}>0\), le signe de \(g'(t)\) est celui de :
\[ 16-3e^{7t/4}. \]La fonction \(t\mapsto e^{7t/4}\) est strictement croissante. Ainsi :
\[ g'(t)>0 \quad\text{pour}\quad 0\leq t<\alpha, \] \[ g'(\alpha)=0, \] \[ g'(t)<0 \quad\text{pour}\quad t>\alpha. \]On a :
\[ g(0)=1 \qquad\text{et}\qquad \lim_{t\to+\infty}g(t)=0. \]Pour calculer la valeur maximale, remarquons que :
\[ e^{-7\alpha/4}=\frac{3}{16}. \]Donc :
\[ g(\alpha) = \frac{21}{8}\left(\frac{3}{16}\right)^{1/7} \approx2{,}07. \]| \(t\) | \(0\) | \(\alpha\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|
| \(g'(t)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
| \(g(t)\) | \(1\) | ↗ \(\displaystyle \frac{21}{8}\left(\frac{3}{16}\right)^{1/7}\) ↘ | \(0\) |
Tracer la courbe \(\mathcal C_g\) de \(g\) dans un repère orthonormé et sa tangente \(\mathcal T\) au point d’abscisse \(0\).
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La tangente en \(0\) a pour équation :
\[ y=g(0)+g'(0)t. \]Or :
\[ g(0)=1 \qquad\text{et}\qquad g'(0)=4-\frac34=\frac{13}{4}. \]Ainsi :
Pour construire la courbe, on utilise également :
- le point \(A(0;1)\) ;
- le maximum atteint pour \(t=\alpha\approx0{,}96\), de valeur \(g(\alpha)\approx2{,}07\) ;
- la limite \(0\) en \(+\infty\), donc l’axe des abscisses est une asymptote horizontale.
Utiliser la courbe \(\mathcal C_g\) pour déterminer, à \(0{,}2\) seconde près, l’instant où la charge du condensateur est devenue inférieure à \(0{,}2\) coulomb.
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On cherche l’abscisse \(\beta\) du point d’intersection de la courbe \(\mathcal C_g\) avec la droite horizontale d’équation :
\[ y=0{,}2. \]Après son maximum, la fonction \(g\) est strictement décroissante et tend vers \(0\). Cette intersection est donc unique.
La lecture de la courbe donne :
\[ \beta\approx10{,}8\ \text{s}. \]Un calcul numérique donne \(\beta\approx10{,}8322\), ce qui confirme la lecture graphique à \(0{,}2\) seconde près.
Comme \(g\) est décroissante après \(\alpha\), on a :
\[ g(t)<0{,}2 \iff t>\beta. \]
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