Équations différentielles : correction de l’exercice 8

Racine double, conditions initiales, limites et variations — 2e Bac Sciences Mathématiques

Cet exercice commence par la résolution d’une équation différentielle linéaire homogène du second ordre. Les conditions initiales déterminent ensuite une fonction particulière, dont on étudie les limites et les variations.

Menu de l’exercice 8

Question 1 Question 2 Question 3 a) Question 3 b)

Rappel.

Pour résoudre une équation différentielle de la forme :

\[ Ay''+By'+Cy=0, \qquad A\neq0, \]

on étudie l’équation caractéristique :

\[ Ar^2+Br+C=0. \]

Lorsqu’elle admet une racine double \(r_0\), les solutions sont :

\[ y(x)=(\alpha x+\beta)e^{r_0x}, \qquad (\alpha,\beta)\in\mathbb R^2. \]

Exercice 8

Question 1

Résoudre l’équation différentielle :

\[ (E):\quad 4y''+4y'+y=0. \]

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L’équation caractéristique associée à \((E)\) est :

\[ 4r^2+4r+1=0. \]

On remarque que :

\[ 4r^2+4r+1=(2r+1)^2. \]

L’équation caractéristique admet donc la racine double :

\[ r_0=-\frac12. \]

Par conséquent, les solutions de \((E)\) sur \(\mathbb R\) sont les fonctions :

\[ \boxed{ y(x)=(\alpha x+\beta)e^{-\frac{x}{2}}, \qquad (\alpha,\beta)\in\mathbb R^2 }. \]

Question 2

Déterminer la solution \(g\) de l’équation \((E)\) vérifiant les conditions initiales :

\[ g(0)=-1 \qquad\text{et}\qquad g'(0)=\frac32. \]

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D’après la question précédente, toute solution de \((E)\) s’écrit :

\[ y(x)=(\alpha x+\beta)e^{-\frac{x}{2}}. \]

En prenant \(x=0\), on obtient :

\[ y(0)=\beta. \]

La condition \(g(0)=-1\) donne donc :

\[ \beta=-1. \]

Calculons maintenant la dérivée de \(y\). Par la formule de dérivation d’un produit :

\[ \begin{aligned} y'(x) &=\alpha e^{-\frac{x}{2}} +(\alpha x+\beta)\left(-\frac12\right)e^{-\frac{x}{2}}\\ &=\left(\alpha-\frac{\alpha x+\beta}{2}\right)e^{-\frac{x}{2}}. \end{aligned} \]

À l’origine :

\[ y'(0)=\alpha-\frac{\beta}{2}. \]

Comme \(\beta=-1\) et \(g'(0)=\dfrac32\), on a :

\[ \alpha+\frac12=\frac32. \]

D’où :

\[ \alpha=1. \]

\[ \boxed{ g(x)=(x-1)e^{-\frac{x}{2}} }. \]

Contrôle des conditions initiales.

La dérivée de \(g\) est :

\[ g'(x)=\frac{3-x}{2}e^{-\frac{x}{2}}. \]

Ainsi :

\[ g(0)=-1 \qquad\text{et}\qquad g'(0)=\frac32. \]

De plus :

\[ g''(x)=\frac{x-5}{4}e^{-\frac{x}{2}}, \]

et par conséquent :

\[ 4g''(x)+4g'(x)+g(x)=0. \]

Question 3 a)

Calculer :

\[ \lim_{x\to+\infty}g(x) \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to-\infty}g(x). \]

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On a :

\[ g(x)=(x-1)e^{-\frac{x}{2}} =\frac{x-1}{e^{x/2}}. \]

Lorsque \(x\to+\infty\), l’exponentielle domine la fonction affine. Par conséquent :

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x-1}{e^{x/2}}=0. \]

Ainsi :

\[ \boxed{ \lim_{x\to+\infty}g(x)=0 }. \]

Lorsque \(x\to-\infty\), on a :

\[ x-1\to-\infty \qquad\text{et}\qquad e^{-x/2}\to+\infty. \]

Pour \(x<1\), la fonction \(g\) est négative et :

\[ |g(x)|=(1-x)e^{-\frac{x}{2}}\longrightarrow+\infty. \]

On en déduit :

\[ \boxed{ \lim_{x\to+\infty}g(x)=0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to-\infty}g(x)=-\infty }. \]

Question 3 b)

Étudier les variations de la fonction \(g\).

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Pour tout \(x\in\mathbb R\) :

\[ g'(x)=\frac{3-x}{2}e^{-\frac{x}{2}}. \]

Or :

\[ e^{-\frac{x}{2}}>0. \]

Le signe de \(g'(x)\) est donc celui de \(3-x\). Ainsi :

\[ \begin{cases} g'(x)>0 &\text{si }x<3,\\ g'(3)=0,\\ g'(x)<0 &\text{si }x>3. \end{cases} \]

La fonction \(g\) est donc strictement croissante sur \(]-\infty;3]\), puis strictement décroissante sur \([3;+\infty[\).

Au point critique :

\[ g(3)=(3-1)e^{-3/2}=2e^{-3/2}. \]

\(x\)	\(-\infty\)	\(3\)	\(+\infty\)
\(g'(x)\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)
Variations de \(g\)	\(-\infty\)	↗ \(2e^{-3/2}\) ↘	\(0\)

\[ \boxed{ \begin{aligned} &g\text{ est strictement croissante sur }]-\infty;3],\\ &g\text{ est strictement décroissante sur }[3;+\infty[,\\ &\max_{\mathbb R}g=g(3)=2e^{-3/2}. \end{aligned} } \]

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