Équations différentielles : correction de l’exercice 8
Racine double, conditions initiales, limites et variations · 2e Bac Sciences Mathématiques
Cet exercice relie plusieurs étapes importantes du travail sur les équations différentielles. On commence par résoudre une équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants. Son équation caractéristique possède ici une racine double, ce qui impose une forme particulière pour la solution générale. Deux conditions initiales permettent ensuite de sélectionner une seule fonction \(g\) parmi toutes les solutions. Cette fonction devient alors l’objet d’une étude classique : calcul de ses limites aux deux infinis, signe de sa dérivée et variations. L’intérêt de l’exercice est donc de comprendre comment les résultats s’enchaînent : la résolution de l’équation différentielle fournit l’expression de \(g\), puis cette expression permet d’effectuer toute l’étude fonctionnelle.
Pour une équation différentielle homogène du second ordre :
\[ Ay''+By'+Cy=0, \qquad A\neq0, \]on considère l’équation caractéristique :
\[ Ar^2+Br+C=0. \]Lorsque cette équation possède une racine double \(r_0\), la solution générale de l’équation différentielle est :
Deux conditions initiales portant sur \(y\) et \(y'\) permettent ensuite de déterminer les deux constantes \(\alpha\) et \(\beta\).
Exercice 8
Question 1
Résoudre l’équation différentielle :
\[ (E):\quad 4y''+4y'+y=0. \]Afficher la correction Masquer la correction
L’équation caractéristique associée à \((E)\) est :
\[ 4r^2+4r+1=0. \]Plutôt que d’utiliser immédiatement le discriminant, on reconnaît ici une identité remarquable :
\[ 4r^2+4r+1=(2r+1)^2. \]L’équation caractéristique possède donc une seule racine réelle, comptée deux fois :
\[ r_0=-\frac12. \]On est précisément dans le cas d’une racine double. Le résultat du cours conduit alors à une solution générale comportant le facteur affine \(\alpha x+\beta\).
Question 2
Déterminer la solution \(g\) de l’équation \((E)\) vérifiant les conditions initiales :
\[ g(0)=-1 \qquad\text{et}\qquad g'(0)=\frac32. \]Afficher la correction Masquer la correction
D’après la question précédente, toute solution de \((E)\) s’écrit :
\[ y(x)=(\alpha x+\beta)e^{-\frac{x}{2}}. \]On commence par exploiter la condition portant sur la fonction elle-même. En prenant \(x=0\), l’exponentielle vaut \(1\) et le terme en \(\alpha x\) disparaît :
\[ y(0)=\beta. \]La condition \(g(0)=-1\) donne donc :
\[ \beta=-1. \]La seconde condition porte sur la dérivée. Il faut donc dériver la solution générale avant de remplacer \(x\) par \(0\).
Par la formule de dérivation d’un produit :
\[ \begin{aligned} y'(x) &=\alpha e^{-\frac{x}{2}} +(\alpha x+\beta)\left(-\frac12\right)e^{-\frac{x}{2}}\\ &=\left(\alpha-\frac{\alpha x+\beta}{2}\right)e^{-\frac{x}{2}}. \end{aligned} \]À l’origine :
\[ y'(0)=\alpha-\frac{\beta}{2}. \]Comme \(\beta=-1\) et \(g'(0)=\dfrac32\), on obtient :
\[ \alpha+\frac12=\frac32. \]D’où :
\[ \alpha=1. \]Les deux constantes étant maintenant déterminées, on les remplace dans la solution générale.
La dérivée de \(g\) est :
\[ g'(x)=\frac{3-x}{2}e^{-\frac{x}{2}}. \]Ainsi :
\[ g(0)=-1 \qquad\text{et}\qquad g'(0)=\frac32. \]De plus :
\[ g''(x)=\frac{x-5}{4}e^{-\frac{x}{2}}, \]et par conséquent :
\[ 4g''(x)+4g'(x)+g(x)=0. \]Question 3 a)
Calculer :
\[ \lim_{x\to+\infty}g(x) \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to-\infty}g(x). \]Afficher la correction Masquer la correction
On a :
\[ g(x)=(x-1)e^{-\frac{x}{2}} =\frac{x-1}{e^{x/2}}. \]Lorsque \(x\to+\infty\), l’exponentielle au dénominateur domine la fonction affine. Par conséquent :
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x-1}{e^{x/2}}=0. \]Ainsi :
\[ \boxed{ \lim_{x\to+\infty}g(x)=0 }. \]Pour la limite en \(-\infty\), on revient à l’écriture sous forme de produit :
\[ g(x)=(x-1)e^{-\frac{x}{2}}. \]Lorsque \(x\to-\infty\), on a :
\[ x-1\to-\infty \qquad\text{et}\qquad e^{-x/2}\to+\infty. \]Pour \(x<1\), la fonction \(g\) est négative et :
\[ |g(x)|=(1-x)e^{-\frac{x}{2}}\longrightarrow+\infty. \]On en déduit :
Question 3 b)
Étudier les variations de la fonction \(g\).
Afficher la correction Masquer la correction
Pour tout \(x\in\mathbb R\) :
\[ g'(x)=\frac{3-x}{2}e^{-\frac{x}{2}}. \]Or :
\[ e^{-\frac{x}{2}}>0. \]De plus, \(2>0\). Le signe de \(g'(x)\) est donc exactement celui de \(3-x\).
Ainsi :
\[ \begin{cases} g'(x)>0 &\text{si }x<3,\\ g'(3)=0,\\ g'(x)<0 &\text{si }x>3. \end{cases} \]On en déduit que \(g\) est strictement croissante jusqu’à \(x=3\), puis strictement décroissante après \(x=3\).
Au point critique :
\[ g(3)=(3-1)e^{-3/2}=2e^{-3/2}. \]En réunissant le signe de \(g'\) et les limites calculées dans la question précédente, on obtient le tableau de variations suivant.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(3\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|
| \(g'(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
| Variations de \(g\) | \(-\infty\) | ↗ \(2e^{-3/2}\) ↘ | \(0\) |
Cet exercice montre comment enchaîner une résolution d’équation différentielle et une étude de fonction. Pour l’équation homogène du second ordre, on commence par former l’équation caractéristique. La racine double \(r_0=-\dfrac12\) conduit ici à la famille \((\alpha x+\beta)e^{-x/2}\).
Les deux conditions initiales déterminent ensuite les deux constantes et donnent la fonction \(g(x)=(x-1)e^{-x/2}\). À partir de cette expression, on peut étudier les limites et le signe de la dérivée. Le facteur exponentiel de \(g'\) étant strictement positif, le signe de la dérivée dépend uniquement de \(3-x\), ce qui fait apparaître le maximum en \(x=3\).
Le schéma réutilisable est donc : équation différentielle → équation caractéristique → nature des racines → solution générale → conditions initiales → fonction particulière → limites → signe de la dérivée → variations.
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt
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