Équations différentielles : correction du devoir 1 — Al Moufid

Équations différentielles : correction du devoir 1

Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques

Ce devoir rassemble des équations différentielles du premier et du second ordre, des conditions initiales et une équation avec second membre trigonométrique. Chaque correction détaille l’équation caractéristique, le calcul des constantes et les vérifications nécessaires.

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1. Équations différentielles 2. Conditions initiales 3. Équation avec \(\cos^4x\)

1. Résolution d’équations différentielles

Résoudre les six équations différentielles proposées.

Question 1 — Première équation \[ 3y'-4y=5. \]

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On commence par résoudre l’équation homogène associée :

\[ 3y'-4y=0. \]

Elle s’écrit :

\[ y'=\frac43y. \]

Ses solutions sont donc :

\[ y_h(x)=Ce^{\frac43x}, \qquad C\in\mathbb R. \]

Comme le second membre est constant, on cherche une solution particulière constante \(y_p(x)=k\). Alors \(y_p'=0\), et :

\[ -4k=5, \]

d’où :

\[ k=-\frac54. \]

\[ \boxed{ y(x)=Ce^{\frac43x}-\frac54, \qquad C\in\mathbb R }. \]

Question 1 — Deuxième équation \[ 3y''-5y'=0. \]

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L’équation caractéristique est :

\[ 3r^2-5r=0. \]

On factorise :

\[ r(3r-5)=0. \]

Elle possède deux racines réelles distinctes :

\[ r_1=0 \qquad\text{et}\qquad r_2=\frac53. \]

\[ \boxed{ y(x)=A+Be^{\frac53x}, \qquad (A,B)\in\mathbb R^2 }. \]

Question 1 — Troisième équation \[ 3y''+y=0. \]

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L’équation caractéristique est :

\[ 3r^2+1=0. \]

Elle n’a pas de racine réelle et s’écrit :

\[ r^2=-\frac13. \]

Ses racines complexes conjuguées sont :

\[ r_1=\frac{i}{\sqrt3} \qquad\text{et}\qquad r_2=-\frac{i}{\sqrt3}. \]

\[ \boxed{ y(x)=A\cos\left(\frac{x}{\sqrt3}\right) +B\sin\left(\frac{x}{\sqrt3}\right), \qquad (A,B)\in\mathbb R^2 }. \]

Question 1 — Quatrième équation \[ y''-\sqrt{10}\,y'+\frac52y=0. \]

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L’équation caractéristique est :

\[ r^2-\sqrt{10}\,r+\frac52=0. \]

Son discriminant vaut :

\[ \Delta=(\sqrt{10})^2-4\times\frac52 =10-10=0. \]

Elle possède donc une racine réelle double :

\[ r_0=\frac{\sqrt{10}}2. \]

\[ \boxed{ y(x)=(A+Bx)e^{\frac{\sqrt{10}}2x}, \qquad (A,B)\in\mathbb R^2 }. \]

Question 1 — Cinquième équation \[ 3y''-7y'+4y=0. \]

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L’équation caractéristique est :

\[ 3r^2-7r+4=0. \]

On factorise :

\[ 3r^2-7r+4=(3r-4)(r-1). \]

Les deux racines réelles distinctes sont :

\[ r_1=1 \qquad\text{et}\qquad r_2=\frac43. \]

\[ \boxed{ y(x)=Ae^x+Be^{\frac43x}, \qquad (A,B)\in\mathbb R^2 }. \]

Question 1 — Sixième équation \[ (1-\sqrt2)y''+y'-(1+\sqrt2)y=0. \]

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Comme \(1-\sqrt2\neq0\), il s’agit bien d’une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants.

L’équation caractéristique est :

\[ (1-\sqrt2)r^2+r-(1+\sqrt2)=0. \]

Son discriminant vaut :

\[ \begin{aligned} \Delta &=1-4(1-\sqrt2)\bigl(-(1+\sqrt2)\bigr)\\ &=1+4(1-\sqrt2)(1+\sqrt2)\\ &=1+4(1-2)\\ &=-3. \end{aligned} \]

Les racines sont donc complexes conjuguées. Comme :

\[ \frac1{1-\sqrt2}=-(1+\sqrt2), \]

on peut les écrire sous la forme :

\[ r_{1,2}=\alpha\pm i\beta, \]

avec :

\[ \alpha=\frac{1+\sqrt2}{2} \qquad\text{et}\qquad \beta=\frac{\sqrt3(1+\sqrt2)}{2}. \]

\[ \boxed{ y(x)=e^{\frac{1+\sqrt2}{2}x} \left[ A\cos\left(\frac{\sqrt3(1+\sqrt2)}2x\right) +B\sin\left(\frac{\sqrt3(1+\sqrt2)}2x\right) \right], \quad (A,B)\in\mathbb R^2 }. \]

2. Équations avec conditions initiales

Résoudre chaque équation, puis déterminer l’unique solution vérifiant les conditions initiales données.

Question 2 — Équation \((E_1)\) \[ (E_1):\quad y''-8y'+16y=0, \]

avec :

\[ y(0)=1 \qquad\text{et}\qquad y'(0)=0. \]

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L’équation caractéristique est :

\[ r^2-8r+16=0. \]

Elle se factorise sous la forme :

\[ (r-4)^2=0. \]

La racine \(r=4\) est double. Les solutions de \((E_1)\) sont donc :

\[ y(x)=(A+Bx)e^{4x}. \]

La première condition initiale donne :

\[ y(0)=A=1. \]

Dérivons :

\[ \begin{aligned} y'(x) &=Be^{4x}+4(A+Bx)e^{4x}\\ &=(B+4A+4Bx)e^{4x}. \end{aligned} \]

Alors :

\[ y'(0)=B+4A=0. \]

Comme \(A=1\), on obtient :

\[ B=-4. \]

\[ \boxed{ y(x)=(1-4x)e^{4x} }. \]

Vérification des conditions initiales :

\[ y(0)=1 \qquad\text{et}\qquad y'(0)=0. \]

Question 2 — Équation \((E_2)\) \[ (E_2):\quad y''+y=0, \]

avec :

\[ y(0)=0 \qquad\text{et}\qquad y'(0)=\frac\pi2. \]

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L’équation caractéristique est :

\[ r^2+1=0. \]

Ses racines sont \(i\) et \(-i\). Les solutions réelles de \((E_2)\) sont donc :

\[ y(x)=A\cos x+B\sin x. \]

La condition \(y(0)=0\) donne :

\[ A=0. \]

De plus :

\[ y'(x)=-A\sin x+B\cos x. \]

La condition \(y'(0)=\dfrac\pi2\) donne :

\[ B=\frac\pi2. \]

\[ \boxed{ y(x)=\frac\pi2\sin x }. \]

Vérification :

\[ y(0)=0 \qquad\text{et}\qquad y'(0)=\frac\pi2. \]

3. Équation \(y''+y=\cos^4x\)

Énoncé commun

On considère les équations différentielles suivantes :

\[ (E):\quad y''+y=\cos^4x \qquad\text{et}\qquad (E_0):\quad y''+y=0. \]

Question 3 a)

Vérifier que, pour tout \(x\in\mathbb R\) :

\[ \cos^4x=\frac18\cos(4x)+\frac12\cos(2x)+\frac38. \]

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On utilise l’identité de linéarisation :

\[ \cos^2t=\frac{1+\cos(2t)}2. \]

Pour \(t=x\), on a :

\[ \cos^4x=\left(\cos^2x\right)^2 =\left(\frac{1+\cos(2x)}2\right)^2. \]

En développant :

\[ \cos^4x =\frac14\left(1+2\cos(2x)+\cos^2(2x)\right). \]

On applique ensuite la même identité à \(t=2x\) :

\[ \cos^2(2x)=\frac{1+\cos(4x)}2. \]

Ainsi :

\[ \begin{aligned} \cos^4x &=\frac14+\frac12\cos(2x) +\frac14\times\frac{1+\cos(4x)}2\\ &=\frac14+\frac18+\frac12\cos(2x) +\frac18\cos(4x)\\ &=\frac18\cos(4x)+\frac12\cos(2x)+\frac38. \end{aligned} \]

\[ \boxed{ \cos^4x=\frac18\cos(4x)+\frac12\cos(2x)+\frac38 }. \]

Question 3 b)

Déterminer les réels \(a\), \(b\) et \(c\) pour que la fonction :

\[ u:x\longmapsto a\cos(2x)+b\cos(4x)+c \]

soit solution de l’équation différentielle \((E)\).

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On pose :

\[ u(x)=a\cos(2x)+b\cos(4x)+c. \]

Alors :

\[ u'(x)=-2a\sin(2x)-4b\sin(4x), \]

puis :

\[ u''(x)=-4a\cos(2x)-16b\cos(4x). \]

Par conséquent :

\[ \begin{aligned} u''(x)+u(x) &=(-4a+a)\cos(2x)\\ &\quad+(-16b+b)\cos(4x)+c\\ &=-3a\cos(2x)-15b\cos(4x)+c. \end{aligned} \]

Pour que \(u\) soit solution de \((E)\), il faut et il suffit que :

\[ -3a\cos(2x)-15b\cos(4x)+c =\frac12\cos(2x)+\frac18\cos(4x)+\frac38. \]

En identifiant les coefficients, on obtient :

\[ \left\{ \begin{aligned} -3a&=\frac12,\\ -15b&=\frac18,\\ c&=\frac38. \end{aligned} \right. \]

D’où :

\[ a=-\frac16, \qquad b=-\frac1{120}, \qquad c=\frac38. \]

\[ \boxed{ u(x)=-\frac16\cos(2x)-\frac1{120}\cos(4x)+\frac38 }. \]

Question 3 c)

Soit \(f\) une fonction définie et dérivable sur \(\mathbb R\).

Montrer que la fonction \(f\) est une solution de \((E)\) si, et seulement si, la fonction \((f-u)\) est solution de l’équation différentielle \((E_0)\).

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Précision : pour être solution d’une équation différentielle du second ordre, la fonction considérée doit être deux fois dérivable. Dans les équivalences ci-dessous, cette régularité est donc implicitement requise.

D’après la question précédente, \(u\) est une solution particulière de \((E)\). Ainsi :

\[ u''+u=\cos^4x. \]

Soit \(f\) une fonction deux fois dérivable sur \(\mathbb R\). Par linéarité de la dérivation :

\[ (f-u)''+(f-u) =(f''+f)-(u''+u). \]

On a alors les équivalences :

\[ \begin{aligned} f\text{ est solution de }(E) &\Longleftrightarrow f''+f=\cos^4x\\ &\Longleftrightarrow f''+f=u''+u\\ &\Longleftrightarrow (f-u)''+(f-u)=0\\ &\Longleftrightarrow f-u\text{ est solution de }(E_0). \end{aligned} \]

\[ \boxed{ f\text{ est solution de }(E) \Longleftrightarrow f-u\text{ est solution de }(E_0) }. \]

Question 3 d)

Résoudre l’équation \((E_0)\), puis déterminer toutes les solutions de l’équation \((E)\).

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L’équation homogène est :

\[ (E_0):\quad y''+y=0. \]

Son équation caractéristique est :

\[ r^2+1=0. \]

Les solutions réelles de \((E_0)\) sont donc :

\[ y_0(x)=A\cos x+B\sin x, \qquad (A,B)\in\mathbb R^2. \]

D’après la question précédente, toute solution de \((E)\) est la somme d’une solution de \((E_0)\) et de la solution particulière \(u\).

\[ \boxed{ y(x)=A\cos x+B\sin x -\frac16\cos(2x) -\frac1{120}\cos(4x) +\frac38, \quad (A,B)\in\mathbb R^2 }. \]

Question 3 e)

Déterminer la solution \(g\) de \((E)\) telle que :

\[ g(0)=-2 \qquad\text{et}\qquad g'(0)=0. \]

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D’après la question précédente, il existe \((A,B)\in\mathbb R^2\) tel que :

\[ g(x)=A\cos x+B\sin x -\frac16\cos(2x) -\frac1{120}\cos(4x) +\frac38. \]

En prenant \(x=0\), on obtient :

\[ g(0)=A-\frac16-\frac1{120}+\frac38. \]

Or :

\[ -\frac16-\frac1{120}+\frac38 =\frac15. \]

La condition \(g(0)=-2\) donne donc :

\[ A+\frac15=-2, \]

d’où :

\[ A=-\frac{11}{5}. \]

Dérivons l’expression générale de \(g\) :

\[ g'(x)=-A\sin x+B\cos x +\frac13\sin(2x) +\frac1{30}\sin(4x). \]

En prenant \(x=0\) :

\[ g'(0)=B. \]

La condition \(g'(0)=0\) donne donc :

\[ B=0. \]

\[ \boxed{ g(x)=-\frac{11}{5}\cos x -\frac16\cos(2x) -\frac1{120}\cos(4x) +\frac38 }. \]

Contrôle des conditions initiales :

\[ \begin{aligned} g(0) &=-\frac{11}{5}-\frac16-\frac1{120}+\frac38=-2,\\ g'(0)&=0. \end{aligned} \]

Méthodes à retenir : pour une équation homogène du second ordre à coefficients constants, on étudie l’équation caractéristique. Pour une équation avec second membre, on détermine une solution particulière, puis on lui ajoute toutes les solutions de l’équation homogène associée. Les conditions initiales permettent enfin de déterminer les constantes.

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