Équations différentielles : correction des exercices 1 à 3

Manuel Al Moufid · 2e Bac Sciences Mathématiques

Ces trois exercices installent les premiers réflexes indispensables du chapitre des équations différentielles. Le premier objectif est de reconnaître une équation qui peut être ramenée à la forme \(y'=ay\), puis d’identifier correctement la constante \(a\) avant d’écrire l’ensemble de ses solutions. Le deuxième exercice ajoute une condition initiale : parmi toutes les solutions possibles, il faut alors déterminer la constante qui sélectionne l’unique fonction demandée. Enfin, le troisième exercice inverse le raisonnement : une fonction exponentielle étant donnée, on cherche l’équation différentielle qu’elle vérifie. L’attention doit donc porter autant sur la reconnaissance de la forme de l’équation que sur les transformations algébriques autorisées, notamment lorsqu’un coefficient susceptible d’être nul intervient.

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Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3

Repère de cours — Équation \(y'=ay\)

Pour tout réel \(a\), les solutions de l’équation différentielle :

\[ y'=ay \]

sont les fonctions définies sur \(\mathbb R\) par :

\[ \boxed{y(x)=\lambda e^{ax}}, \qquad \lambda\in\mathbb R. \]

La solution vérifiant \(y(x_0)=y_0\) peut aussi s’écrire :

\[ \boxed{y(x)=y_0e^{a(x-x_0)}}. \]

Le réflexe essentiel consiste donc à mettre d’abord l’équation sous la forme \(y'=ay\). Lorsque des coefficients doivent être divisés, il faut auparavant vérifier qu’ils sont non nuls. Une condition initiale intervient seulement après la résolution générale : elle permet de déterminer la constante \(\lambda\).

Exercice 1

Énoncé

Résoudre les équations différentielles suivantes.

Question 1

\[ y'=3y. \]

Méthode. L’équation est déjà exactement sous la forme \(y'=ay\). Il n’y a donc aucune transformation préalable à effectuer : il suffit d’identifier \(a=3\), puis d’utiliser la forme générale rappelée ci-dessus.

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L’équation est de la forme \(y'=ay\), avec :

\[ a=3. \]

Le coefficient de \(y\) joue directement le rôle de \(a\). On peut donc appliquer la règle générale.

Ses solutions sont donc les fonctions :

\[ \boxed{ y(x)=\lambda e^{3x}, \qquad \lambda\in\mathbb R }. \]

Vérification.

Si \(y(x)=\lambda e^{3x}\), alors :

\[ y'(x)=3\lambda e^{3x}=3y(x). \]

La vérification montre que toute fonction de cette famille satisfait bien l’équation. Comme aucune condition initiale n’est imposée, la constante \(\lambda\) reste quelconque.

Question 2

\[ y'=-2y. \]

Méthode. Comme dans la question précédente, la forme \(y'=ay\) est déjà visible. Cette fois, le coefficient \(a\) est négatif : il faut conserver ce signe dans l’exposant de l’exponentielle.

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L’équation est de la forme \(y'=ay\), avec :

\[ a=-2. \]

\[ \boxed{ y(x)=\lambda e^{-2x}, \qquad \lambda\in\mathbb R }. \]

Vérification. \[ y'(x) = -2\lambda e^{-2x} = -2y(x). \]

Le coefficient \(-2\) de l’équation se retrouve dans l’exposant \(-2x\). La constante \(\lambda\) permet d’obtenir toutes les solutions de l’équation.

Question 3

\[ 2y'+3y=0. \]

Méthode. L’équation n’est pas encore écrite sous la forme directement exploitable. L’objectif de la transformation algébrique est donc d’isoler \(y'\), afin de faire apparaître un coefficient constant multipliant \(y\).

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On transforme l’équation afin d’isoler \(y'\) :

\[ \begin{aligned} 2y'+3y=0 &\iff 2y'=-3y\\ &\iff y'=-\frac32y. \end{aligned} \]

La division par \(2\) est permise puisque ce coefficient est non nul. L’équation est maintenant exactement de la forme recherchée.

On a donc \(a=-\dfrac32\).

\[ \boxed{ y(x)=\lambda e^{-\frac32x}, \qquad \lambda\in\mathbb R }. \]

Vérification. \[ y'(x) = -\frac32\lambda e^{-\frac32x}. \]

Par conséquent :

\[ 2y'(x)+3y(x)=0. \]

Cette question illustre un réflexe fréquent : avant d’utiliser la formule du cours, il faut parfois réécrire l’équation pour identifier correctement le nombre \(a\).

Question 4

\[ \sqrt2\,y'-\sqrt3\,y=0. \]

Méthode. Ici encore, on commence par isoler \(y'\). Le coefficient \(\sqrt2\) est strictement positif, donc non nul : la division par \(\sqrt2\) est autorisée.

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On a :

\[ \begin{aligned} \sqrt2\,y'-\sqrt3\,y=0 &\iff \sqrt2\,y'=\sqrt3\,y\\ &\iff y'=\frac{\sqrt3}{\sqrt2}y. \end{aligned} \]

Or :

\[ \frac{\sqrt3}{\sqrt2} = \frac{\sqrt6}{2}. \]

Cette dernière écriture permet simplement d’identifier plus lisiblement la constante qui intervient dans l’exponentielle.

L’équation s’écrit donc :

\[ y'=\frac{\sqrt6}{2}y. \]

\[ \boxed{ y(x)=\lambda e^{\frac{\sqrt6}{2}x}, \qquad \lambda\in\mathbb R }. \]

Une fois l’équation ramenée à \(y'=ay\), la présence de racines dans le coefficient ne change pas la méthode : \(a\) reste simplement un nombre réel constant.

Question 5

\[ (\ln2)y-\pi y'=0. \]

Méthode. On cherche toujours à faire apparaître \(y'=ay\). Comme \(\pi\neq0\), on peut isoler \(y'\) puis diviser par \(\pi\). Le nombre \(\ln2\) est ici simplement un coefficient réel constant.

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On isole \(y'\) :

\[ \begin{aligned} (\ln2)y-\pi y'=0 &\iff \pi y'=(\ln2)y\\ &\iff y'=\frac{\ln2}{\pi}y. \end{aligned} \]

On a donc :

\[ a=\frac{\ln2}{\pi}. \]

\[ \boxed{ y(x)= \lambda e^{\frac{\ln2}{\pi}x}, \qquad \lambda\in\mathbb R }. \]

L’idée essentielle reste identique : quelle que soit l’écriture initiale, on recherche d’abord le coefficient constant \(a\) dans une relation de la forme \(y'=ay\).

Question 6

\[ ny'+(n+1)y=0, \qquad n\in\mathbb N. \]

Méthode. Cette question demande davantage d’attention, car le coefficient de \(y'\) dépend du paramètre \(n\). On ne peut donc pas commencer par diviser par \(n\) : puisque \(n\in\mathbb N\), la correction traite séparément \(n=0\), puis \(n\geq1\).

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Comme \(n\in\mathbb N\), il faut distinguer le cas \(n=0\) du cas \(n\geq1\).

Premier cas : \(n=0\).

L’équation devient :

\[ y=0. \]

Elle admet uniquement la solution nulle :

\[ y(x)=0. \]

Deuxième cas : \(n\geq1\).

Dans ce cas, \(n\neq0\). On peut donc diviser l’équation par \(n\) :

\[ \begin{aligned} ny'+(n+1)y=0 &\iff ny'=-(n+1)y\\ &\iff y'=-\frac{n+1}{n}y. \end{aligned} \]

Les solutions sont donc :

\[ y(x)= \lambda e^{-\frac{n+1}{n}x}, \qquad \lambda\in\mathbb R. \]

\[ \boxed{ \begin{cases} y(x)=0, &\text{si }n=0,\\[2mm] y(x)=\lambda e^{-\frac{n+1}{n}x}, \quad \lambda\in\mathbb R, &\text{si }n\geq1. \end{cases} } \]

Piège à éviter. On ne doit pas diviser directement par \(n\) sans traiter auparavant le cas \(n=0\). La vérification d’une condition de division fait ici partie intégrante du raisonnement.

C’est la présence du paramètre devant \(y'\) qui impose la discussion. Pour \(n\geq1\), on retrouve une équation classique \(y'=ay\) ; pour \(n=0\), l’équation change de nature et impose directement la solution nulle.

Exercice 2

Énoncé

Déterminer la solution de l’équation différentielle \((E)\) qui vérifie la condition initiale \(y(x_0)=y_0\), dans chacun des cas suivants.

Méthode — Utiliser une condition initiale

On commence par résoudre l’équation différentielle sans utiliser la condition initiale. On obtient ainsi une famille de solutions dépendant d’une constante \(\lambda\). La condition \(y(x_0)=y_0\) fournit ensuite une équation permettant de déterminer cette constante. Il reste enfin à vérifier simultanément l’équation différentielle et la condition initiale.

Question 1

\[ (E):\ y'-4y=0, \qquad x_0=0, \qquad y_0=2. \]

Méthode. On résout d’abord l’équation homogène en identifiant \(a=4\). La condition \(y(0)=2\) n’intervient qu’ensuite pour choisir, parmi toutes les solutions \(\lambda e^{4x}\), celle qui passe par la valeur imposée.

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L’équation s’écrit :

\[ y'=4y. \]

Sa solution générale est donc :

\[ y(x)=\lambda e^{4x}, \qquad \lambda\in\mathbb R. \]

Il reste maintenant à exploiter la condition initiale pour déterminer \(\lambda\).

La condition initiale \(y(0)=2\) donne :

\[ \begin{aligned} y(0)=2 &\iff \lambda e^{4\times0}=2\\ &\iff \lambda=2. \end{aligned} \]

\[ \boxed{ y(x)=2e^{4x} }. \]

Vérification. \[ y'(x)=8e^{4x}=4y(x) \]

et :

\[ y(0)=2. \]

Les deux vérifications sont nécessaires : la fonction obtenue doit à la fois satisfaire l’équation différentielle et prendre la valeur \(2\) en \(0\). La condition initiale a donc sélectionné une seule fonction dans la famille générale.

Question 2

\[ (E):\ y'+3y=0, \qquad x_0=-1, \qquad y_0=1. \]

Méthode. La première étape consiste à écrire \(y'=-3y\). La solution générale contient alors une constante \(\lambda\), que l’on détermine en remplaçant \(x\) par \(-1\) et \(y(-1)\) par \(1\).

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L’équation s’écrit :

\[ y'=-3y. \]

Sa solution générale est :

\[ y(x)=\lambda e^{-3x}, \qquad \lambda\in\mathbb R. \]

La condition initiale \(y(-1)=1\) donne :

\[ \begin{aligned} y(-1)=1 &\iff \lambda e^3=1\\ &\iff \lambda=e^{-3}. \end{aligned} \]

Après détermination de la constante, on rassemble les deux exponentielles afin d’obtenir une écriture adaptée à la condition initiale.

Par conséquent :

\[ y(x) = e^{-3}e^{-3x} = e^{-3(x+1)}. \]

\[ \boxed{ y(x)=e^{-3(x+1)} }. \]

Vérification. \[ y'(x) = -3e^{-3(x+1)} = -3y(x) \]

et :

\[ y(-1)=1. \]

L’écriture \(e^{-3(x+1)}\) fait apparaître immédiatement que l’exposant s’annule pour \(x=-1\), ce qui rend la condition \(y(-1)=1\) particulièrement lisible.

Question 3

\[ (E):\ 2y'-\sqrt2\,y=0, \qquad x_0=-2, \qquad y_0=-3. \]

Méthode. Il faut d’abord ramener l’équation à \(y'=ay\), puis résoudre l’équation générale. Ce n’est qu’après cette étape que la condition \(y(-2)=-3\) permet de déterminer la valeur de \(\lambda\).

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On transforme l’équation :

\[ \begin{aligned} 2y'-\sqrt2\,y=0 &\iff 2y'=\sqrt2\,y\\ &\iff y'=\frac{\sqrt2}{2}y. \end{aligned} \]

Le coefficient \(2\) étant non nul, la division est autorisée et on peut maintenant appliquer la forme générale.

La solution générale est donc :

\[ y(x)= \lambda e^{\frac{\sqrt2}{2}x}, \qquad \lambda\in\mathbb R. \]

La condition initiale \(y(-2)=-3\) donne :

\[ \begin{aligned} y(-2)=-3 &\iff \lambda e^{-\sqrt2}=-3\\ &\iff \lambda=-3e^{\sqrt2}. \end{aligned} \]

Par conséquent :

\[ \begin{aligned} y(x) &= -3e^{\sqrt2} e^{\frac{\sqrt2}{2}x}\\ &= -3e^{\frac{\sqrt2}{2}(x+2)}. \end{aligned} \]

\[ \boxed{ y(x)= -3e^{\frac{\sqrt2}{2}(x+2)} }. \]

Vérification. \[ y'(x) = \frac{\sqrt2}{2}y(x). \]

Donc :

\[ 2y'(x)-\sqrt2\,y(x)=0. \]

De plus :

\[ y(-2)=-3. \]

La solution finale satisfait bien les deux exigences du problème. Le facteur \(-3\) fixe la valeur initiale, tandis que l’exponentielle traduit l’évolution imposée par l’équation différentielle.

Exercice 3

Énoncé

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ f(x)=3e^{\frac52x}. \]

Déterminer une équation différentielle de la forme :

\[ y'=ay \]

dont la fonction \(f\) est une solution.

Méthode. Le raisonnement est ici inverse de celui des deux exercices précédents. On connaît déjà la fonction et l’on cherche le coefficient \(a\). Il faut donc calculer \(f'\), puis comparer \(f'(x)\) à \(f(x)\) afin de faire apparaître une relation de la forme \(f'=af\).

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Pour déterminer l’équation vérifiée par \(f\), on dérive la fonction puis on cherche à exprimer le résultat comme un multiple de \(f(x)\).

Pour tout \(x\in\mathbb R\), on a :

\[ \begin{aligned} f'(x) &= 3\times\frac52 e^{\frac52x}\\ &= \frac52 \left( 3e^{\frac52x} \right). \end{aligned} \]

Or :

\[ f(x)=3e^{\frac52x}. \]

Le terme placé entre parenthèses est exactement \(f(x)\). On peut donc identifier le coefficient constant recherché.

Par conséquent :

\[ f'(x)=\frac52f(x). \]

La fonction \(f\) est donc une solution de l’équation différentielle :

\[ \boxed{ y'=\frac52y }. \]

Vérification par substitution.

En remplaçant \(y\) par \(f\), l’équation devient :

\[ f'(x)=\frac52f(x), \]

ce qui est bien vérifié pour tout \(x\in\mathbb R\).

Pour une fonction exponentielle de la forme \(\lambda e^{ax}\), la dérivation fait réapparaître la même fonction multipliée par \(a\). C’est précisément cette propriété qui permet de reconstruire l’équation différentielle vérifiée par \(f\).

À retenir.

Ces exercices font apparaître trois réflexes complémentaires. Pour résoudre une équation du premier ordre, on commence par la ramener à la forme \(y'=ay\), en vérifiant avant toute division que le coefficient concerné est non nul. Une fois \(a\) identifié, on obtient une famille de solutions dépendant d’une constante \(\lambda\).

Lorsqu’une condition initiale est donnée, elle sert ensuite à déterminer cette constante et donc à sélectionner la solution particulière demandée. Inversement, lorsqu’une fonction exponentielle est fournie et que l’on cherche une équation qu’elle vérifie, on calcule sa dérivée puis on recherche une relation de proportionnalité entre \(f'\) et \(f\).

Le schéma à retenir est donc : mettre sous la bonne forme → identifier \(a\) → résoudre → utiliser éventuellement la condition initiale → vérifier le résultat.

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Correction rédigée par Professeur Hammou Boudraa — Parcours Maths Maroc (PMM)
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt

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