Équations différentielles : correction des exercices 1 à 3

Équations du type \(y'=ay\) — 2e Bac Sciences Mathématiques

Dans ces exercices, on résout des équations différentielles du premier ordre, puis on utilise des conditions initiales pour déterminer l’unique solution cherchée.

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Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3

Rappel du cours.

Pour tout réel \(a\), les solutions de l’équation différentielle :

\[ y'=ay \]

sont les fonctions définies sur \(\mathbb R\) par :

\[ \boxed{y(x)=\lambda e^{ax}}, \qquad \lambda\in\mathbb R. \]

La solution vérifiant \(y(x_0)=y_0\) peut aussi s’écrire :

\[ \boxed{y(x)=y_0e^{a(x-x_0)}}. \]

Exercice 1

Résoudre les équations différentielles suivantes.

Question 1 \[ y'=3y. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

L’équation est de la forme \(y'=ay\), avec :

\[ a=3. \]

Ses solutions sont donc les fonctions :

\[ \boxed{ y(x)=\lambda e^{3x}, \qquad \lambda\in\mathbb R }. \]

Vérification.

Si \(y(x)=\lambda e^{3x}\), alors :

\[ y'(x)=3\lambda e^{3x}=3y(x). \]

Question 2 \[ y'=-2y. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

L’équation est de la forme \(y'=ay\), avec :

\[ a=-2. \]

\[ \boxed{ y(x)=\lambda e^{-2x}, \qquad \lambda\in\mathbb R }. \]

Vérification. \[ y'(x) = -2\lambda e^{-2x} = -2y(x). \]

Question 3 \[ 2y'+3y=0. \]

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On transforme l’équation afin d’isoler \(y'\) :

\[ \begin{aligned} 2y'+3y=0 &\iff 2y'=-3y\\ &\iff y'=-\frac32y. \end{aligned} \]

On a donc \(a=-\dfrac32\).

\[ \boxed{ y(x)=\lambda e^{-\frac32x}, \qquad \lambda\in\mathbb R }. \]

Vérification. \[ y'(x) = -\frac32\lambda e^{-\frac32x}. \]

Par conséquent :

\[ 2y'(x)+3y(x)=0. \]

Question 4 \[ \sqrt2\,y'-\sqrt3\,y=0. \]

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On a :

\[ \begin{aligned} \sqrt2\,y'-\sqrt3\,y=0 &\iff \sqrt2\,y'=\sqrt3\,y\\ &\iff y'=\frac{\sqrt3}{\sqrt2}y. \end{aligned} \]

Or :

\[ \frac{\sqrt3}{\sqrt2} = \frac{\sqrt6}{2}. \]

L’équation s’écrit donc :

\[ y'=\frac{\sqrt6}{2}y. \]

\[ \boxed{ y(x)=\lambda e^{\frac{\sqrt6}{2}x}, \qquad \lambda\in\mathbb R }. \]

Question 5 \[ (\ln2)y-\pi y'=0. \]

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On isole \(y'\) :

\[ \begin{aligned} (\ln2)y-\pi y'=0 &\iff \pi y'=(\ln2)y\\ &\iff y'=\frac{\ln2}{\pi}y. \end{aligned} \]

On a donc :

\[ a=\frac{\ln2}{\pi}. \]

\[ \boxed{ y(x)= \lambda e^{\frac{\ln2}{\pi}x}, \qquad \lambda\in\mathbb R }. \]

Question 6 \[ ny'+(n+1)y=0, \qquad n\in\mathbb N. \]

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Comme \(n\in\mathbb N\), il faut distinguer le cas \(n=0\) du cas \(n\geq1\).

Premier cas : \(n=0\).

L’équation devient :

\[ y=0. \]

Elle admet uniquement la solution nulle :

\[ y(x)=0. \]

Deuxième cas : \(n\geq1\).

Dans ce cas, \(n\neq0\). On peut donc diviser l’équation par \(n\) :

\[ \begin{aligned} ny'+(n+1)y=0 &\iff ny'=-(n+1)y\\ &\iff y'=-\frac{n+1}{n}y. \end{aligned} \]

Les solutions sont donc :

\[ y(x)= \lambda e^{-\frac{n+1}{n}x}, \qquad \lambda\in\mathbb R. \]

\[ \boxed{ \begin{cases} y(x)=0, &\text{si }n=0,\\[2mm] y(x)=\lambda e^{-\frac{n+1}{n}x}, \quad \lambda\in\mathbb R, &\text{si }n\geq1. \end{cases} } \]

On ne doit pas diviser directement par \(n\) sans traiter auparavant le cas \(n=0\).

Exercice 2

Déterminer la solution de l’équation différentielle \((E)\) qui vérifie la condition initiale \(y(x_0)=y_0\), dans chacun des cas suivants.

Question 1 \[ (E):\ y'-4y=0, \qquad x_0=0 \quad\text{et}\quad y_0=2. \]

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L’équation s’écrit :

\[ y'=4y. \]

Sa solution générale est donc :

\[ y(x)=\lambda e^{4x}, \qquad \lambda\in\mathbb R. \]

La condition initiale \(y(0)=2\) donne :

\[ \begin{aligned} y(0)=2 &\iff \lambda e^{4\times0}=2\\ &\iff \lambda=2. \end{aligned} \]

\[ \boxed{ y(x)=2e^{4x} }. \]

Vérification. \[ y'(x)=8e^{4x}=4y(x) \]

et :

\[ y(0)=2. \]

Question 2 \[ (E):\ y'+3y=0, \qquad x_0=-1 \quad\text{et}\quad y_0=1. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

L’équation s’écrit :

\[ y'=-3y. \]

Sa solution générale est :

\[ y(x)=\lambda e^{-3x}, \qquad \lambda\in\mathbb R. \]

La condition initiale \(y(-1)=1\) donne :

\[ \begin{aligned} y(-1)=1 &\iff \lambda e^3=1\\ &\iff \lambda=e^{-3}. \end{aligned} \]

Par conséquent :

\[ y(x) = e^{-3}e^{-3x} = e^{-3(x+1)}. \]

\[ \boxed{ y(x)=e^{-3(x+1)} }. \]

Vérification. \[ y'(x) = -3e^{-3(x+1)} = -3y(x) \]

et :

\[ y(-1)=1. \]

Question 3 \[ (E):\ 2y'-\sqrt2\,y=0, \qquad x_0=-2 \quad\text{et}\quad y_0=-3. \]

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On transforme l’équation :

\[ \begin{aligned} 2y'-\sqrt2\,y=0 &\iff 2y'=\sqrt2\,y\\ &\iff y'=\frac{\sqrt2}{2}y. \end{aligned} \]

La solution générale est donc :

\[ y(x)= \lambda e^{\frac{\sqrt2}{2}x}, \qquad \lambda\in\mathbb R. \]

La condition initiale \(y(-2)=-3\) donne :

\[ \begin{aligned} y(-2)=-3 &\iff \lambda e^{-\sqrt2}=-3\\ &\iff \lambda=-3e^{\sqrt2}. \end{aligned} \]

Par conséquent :

\[ \begin{aligned} y(x) &= -3e^{\sqrt2} e^{\frac{\sqrt2}{2}x}\\ &= -3e^{\frac{\sqrt2}{2}(x+2)}. \end{aligned} \]

\[ \boxed{ y(x)= -3e^{\frac{\sqrt2}{2}(x+2)} }. \]

Vérification. \[ y'(x) = \frac{\sqrt2}{2}y(x). \]

Donc :

\[ 2y'(x)-\sqrt2\,y(x)=0. \]

De plus :

\[ y(-2)=-3. \]

Exercice 3

Énoncé complet

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ f(x)=3e^{\frac52x}. \]

Déterminer une équation différentielle de la forme :

\[ y'=ay \]

dont la fonction \(f\) est une solution.

Lire la correction + Masquer la correction −

Pour tout \(x\in\mathbb R\), on a :

\[ \begin{aligned} f'(x) &= 3\times\frac52 e^{\frac52x}\\ &= \frac52 \left( 3e^{\frac52x} \right). \end{aligned} \]

Or :

\[ f(x)=3e^{\frac52x}. \]

Par conséquent :

\[ f'(x)=\frac52f(x). \]

La fonction \(f\) est donc une solution de l’équation différentielle :

\[ \boxed{ y'=\frac52y }. \]

Vérification par substitution.

En remplaçant \(y\) par \(f\), l’équation devient :

\[ f'(x)=\frac52f(x), \]

ce qui est bien vérifié pour tout \(x\in\mathbb R\).

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