Équations différentielles : correction des exercices 4 et 5
Équations du type \(y'=ay+b\) — 2e Bac Sciences Mathématiques
Considérons l’équation différentielle :
\[ y'=ay+b, \qquad a\neq0. \]Une solution particulière constante est :
\[ y_p=-\frac{b}{a}. \]Les solutions de l’équation sont donc :
\[ \boxed{ y(x)=\lambda e^{ax}-\frac{b}{a}, \qquad \lambda\in\mathbb R }. \]Si l’on impose \(y(x_0)=y_0\), on peut écrire directement :
\[ \boxed{ y(x)=-\frac{b}{a} +\left(y_0+\frac{b}{a}\right)e^{a(x-x_0)} }. \]Exercice 4
Lire la correction + Masquer la correction −
L’équation est déjà de la forme \(y'=ay+b\), avec :
\[ a=2 \qquad\text{et}\qquad b=3. \]Une solution particulière constante est :
\[ y_p=-\frac{b}{a}=-\frac32. \]Les solutions de l’équation homogène associée \(y'=2y\) sont :
\[ y_h(x)=\lambda e^{2x}, \qquad \lambda\in\mathbb R. \]Par conséquent, les solutions de l’équation donnée sont :
Pour \(y(x)=\lambda e^{2x}-\dfrac32\), on a :
\[ y'(x)=2\lambda e^{2x}. \]Et :
\[ 2y(x)+3 =2\left(\lambda e^{2x}-\frac32\right)+3 =2\lambda e^{2x} =y'(x). \]Lire la correction + Masquer la correction −
Comme \(\sqrt2\neq0\), on divise l’équation par \(\sqrt2\) :
\[ y'+y=\frac{\sqrt3}{\sqrt2}. \]Or :
\[ \frac{\sqrt3}{\sqrt2}=\frac{\sqrt6}{2}. \]L’équation devient donc :
\[ y'=-y+\frac{\sqrt6}{2}. \]Ici, \(a=-1\) et \(b=\dfrac{\sqrt6}{2}\). Une solution particulière constante est :
\[ y_p=-\frac{b}{a}=\frac{\sqrt6}{2}. \]Les solutions de l’équation homogène associée \(y'=-y\) sont :
\[ y_h(x)=\lambda e^{-x}, \qquad \lambda\in\mathbb R. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} \sqrt2\,y'(x)+\sqrt2\,y(x) &=\sqrt2\left(-\lambda e^{-x}\right) +\sqrt2\left(\lambda e^{-x}+\frac{\sqrt6}{2}\right)\\ &=\frac{\sqrt{12}}{2}\\ &=\sqrt3. \end{aligned} \]Lire la correction + Masquer la correction −
On divise l’équation par \(3\) :
\[ y'+\frac23y=\frac43. \]Elle s’écrit :
\[ y'=-\frac23y+\frac43. \]Une solution particulière constante vérifie :
\[ 2y_p=4. \]Donc :
\[ y_p=2. \]Les solutions de l’équation homogène associée sont :
\[ y_h(x)=\lambda e^{-\frac23x}, \qquad \lambda\in\mathbb R. \]Par conséquent :
\[ \begin{aligned} 3y'(x)+2y(x) &=-2\lambda e^{-\frac23x} +2\left(\lambda e^{-\frac23x}+2\right)\\ &=4. \end{aligned} \]Lire la correction + Masquer la correction −
L’équation s’écrit :
\[ y'=(\ln2)y+\ln3. \]On a donc :
\[ a=\ln2 \qquad\text{et}\qquad b=\ln3. \]Comme \(\ln2\neq0\), une solution particulière constante est :
\[ y_p=-\frac{\ln3}{\ln2}. \]Les solutions de l’équation homogène associée \(y'=(\ln2)y\) sont :
\[ y_h(x)=\lambda e^{x\ln2}, \qquad \lambda\in\mathbb R. \]Or \(e^{x\ln2}=2^x\). Ainsi :
On a :
\[ y'(x)=\lambda(\ln2)2^x. \]Donc :
\[ \begin{aligned} y'(x)-(\ln2)y(x) &=\lambda(\ln2)2^x -(\ln2)\left(\lambda2^x-\frac{\ln3}{\ln2}\right)\\ &=\ln3. \end{aligned} \]Exercice 5
Lire la correction + Masquer la correction −
On divise l’équation par \(2\) :
\[ y'+\frac52y=\frac14. \]Elle s’écrit :
\[ y'=-\frac52y+\frac14. \]Une solution particulière constante est obtenue en posant \(y'=0\) :
\[ 5y_p=\frac12. \]D’où :
\[ y_p=\frac1{10}. \]La solution générale est donc :
\[ y(x)=\lambda e^{-\frac52x}+\frac1{10}, \qquad \lambda\in\mathbb R. \]La condition initiale \(y(-1)=2\) donne :
\[ \begin{aligned} y(-1)=2 &\iff \lambda e^{\frac52}+\frac1{10}=2\\ &\iff \lambda e^{\frac52}=\frac{19}{10}\\ &\iff \lambda=\frac{19}{10}e^{-\frac52}. \end{aligned} \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} y(x) &=\frac{19}{10}e^{-\frac52}e^{-\frac52x}+\frac1{10}\\ &=\frac{19}{10}e^{-\frac52(x+1)}+\frac1{10}. \end{aligned} \]On a :
\[ y'(x)=-\frac{19}{4}e^{-\frac52(x+1)}. \]Alors :
\[ \begin{aligned} 2y'(x)+5y(x) &=-\frac{19}{2}e^{-\frac52(x+1)} +\frac12 +\frac{19}{2}e^{-\frac52(x+1)}\\ &=\frac12. \end{aligned} \]De plus :
\[ y(-1) =\frac1{10}+\frac{19}{10}e^0 =2. \]Lire la correction + Masquer la correction −
On divise l’équation par \(3\) :
\[ y'-\frac43y=\frac{\sqrt2}{3}. \]Elle s’écrit :
\[ y'=\frac43y+\frac{\sqrt2}{3}. \]Une solution particulière constante vérifie :
\[ -4y_p=\sqrt2. \]Donc :
\[ y_p=-\frac{\sqrt2}{4}. \]La solution générale est :
\[ y(x)=\lambda e^{\frac43x}-\frac{\sqrt2}{4}, \qquad \lambda\in\mathbb R. \]La condition initiale \(y(-2)=-3\) donne :
\[ \begin{aligned} y(-2)=-3 &\iff \lambda e^{-\frac83}-\frac{\sqrt2}{4}=-3\\ &\iff \lambda e^{-\frac83}=-3+\frac{\sqrt2}{4}\\ &\iff \lambda e^{-\frac83}=\frac{\sqrt2-12}{4}. \end{aligned} \]Il est alors plus naturel d’écrire la solution sous la forme décalée par rapport à \(x_0=-2\) :
Posons :
\[ A=\frac{\sqrt2-12}{4}. \]Alors :
\[ y(x)=-\frac{\sqrt2}{4}+Ae^{\frac43(x+2)} \]et :
\[ y'(x)=\frac43Ae^{\frac43(x+2)}. \]Par conséquent :
\[ \begin{aligned} 3y'(x)-4y(x) &=4Ae^{\frac43(x+2)} -4\left(-\frac{\sqrt2}{4}+Ae^{\frac43(x+2)}\right)\\ &=\sqrt2. \end{aligned} \]Enfin :
\[ \begin{aligned} y(-2) &=-\frac{\sqrt2}{4} +\frac{\sqrt2-12}{4}e^0\\ &=-3. \end{aligned} \]Lire la correction + Masquer la correction −
Comme \(\ln2\neq0\), on divise l’équation par \(\ln2\) :
\[ y'+\frac1{\ln2}y=\frac{\ln8}{\ln2}. \]Or :
\[ \ln8=\ln(2^3)=3\ln2. \]Donc :
\[ y'=-\frac1{\ln2}y+3. \]Une solution particulière constante est :
\[ y_p=\ln8. \]En effet, si \(y=\ln8\), alors \(y'=0\) et :
\[ (\ln2)y'+y=\ln8. \]La solution générale est donc :
\[ y(x)=\lambda e^{-\frac{x}{\ln2}}+\ln8, \qquad \lambda\in\mathbb R. \]Pour utiliser directement la condition initiale, écrivons la solution sous la forme :
\[ y(x)=\ln8+C\,e^{-\frac{x-\ln2}{\ln2}}. \]La condition \(y(\ln2)=\dfrac1e\) donne :
\[ \begin{aligned} \frac1e &=\ln8+C e^0\\ &=\ln8+C. \end{aligned} \]D’où :
\[ C=\frac1e-\ln8. \]Posons :
\[ B=\frac1e-\ln8. \]Alors :
\[ y(x)=\ln8+B e^{-\frac{x-\ln2}{\ln2}} \]et :
\[ y'(x)=-\frac{B}{\ln2}e^{-\frac{x-\ln2}{\ln2}}. \]Donc :
\[ \begin{aligned} (\ln2)y'(x)+y(x) &=-B e^{-\frac{x-\ln2}{\ln2}} +\ln8 +B e^{-\frac{x-\ln2}{\ln2}}\\ &=\ln8. \end{aligned} \]De plus :
\[ y(\ln2) =\ln8+\left(\frac1e-\ln8\right)e^0 =\frac1e. \]
Commentaires
Enregistrer un commentaire