Équations différentielles : correction des exercices 4 et 5
Équations du type \(y'=ay+b\) · 2e Bac Sciences Mathématiques
Ces deux exercices permettent d’appliquer la résolution des équations différentielles du premier ordre de la forme \(y'=ay+b\). La première étape consiste toujours à reconnaître cette forme, éventuellement après avoir isolé \(y'\). Il faut alors identifier correctement les constantes \(a\) et \(b\) et vérifier la condition \(a\neq0\), indispensable dans la formule utilisée ici. On détermine ensuite une solution particulière constante et on lui ajoute les solutions de l’équation homogène associée \(y'=ay\). Dans l’exercice 5, une condition initiale est imposée : elle intervient après la résolution générale afin de déterminer la constante restante. L’objectif est donc de bien distinguer les différentes étapes du raisonnement et de vérifier à chaque fois que les transformations effectuées sont autorisées.
On considère une équation différentielle de la forme :
\[ y'=ay+b, \qquad a\neq0. \]Une solution particulière constante est :
\[ y_p=-\frac{b}{a}. \]En effet, une fonction constante a une dérivée nulle, et l’équation devient alors :
\[ 0=ay_p+b. \]L’équation homogène associée est :
\[ y'=ay, \]dont les solutions sont :
\[ y_h(x)=\lambda e^{ax}, \qquad \lambda\in\mathbb R. \]On obtient donc la solution générale :
Si une condition initiale \(y(x_0)=y_0\) est donnée, elle permet ensuite de déterminer la constante \(\lambda\).
Exercice 4
Résoudre les équations différentielles suivantes.
Question 1
Afficher la correction Masquer la correction
L’équation est déjà de la forme \(y'=ay+b\), avec :
\[ a=2 \qquad\text{et}\qquad b=3. \]La condition du cours est bien vérifiée puisque :
\[ a=2\neq0. \]Une solution particulière constante est :
\[ y_p=-\frac{b}{a}=-\frac32. \]On considère ensuite l’équation homogène associée :
\[ y'=2y. \]Ses solutions sont :
\[ y_h(x)=\lambda e^{2x}, \qquad \lambda\in\mathbb R. \]Par conséquent, les solutions de l’équation donnée sont :
Pour \(y(x)=\lambda e^{2x}-\dfrac32\), on a :
\[ y'(x)=2\lambda e^{2x}. \]Et :
\[ 2y(x)+3 =2\left(\lambda e^{2x}-\frac32\right)+3 =2\lambda e^{2x} =y'(x). \]Question 2
Afficher la correction Masquer la correction
Comme \(\sqrt2\neq0\), on divise l’équation par \(\sqrt2\) :
\[ y'+y=\frac{\sqrt3}{\sqrt2}. \]Or :
\[ \frac{\sqrt3}{\sqrt2}=\frac{\sqrt6}{2}. \]L’équation devient donc :
\[ y'=-y+\frac{\sqrt6}{2}. \]On reconnaît alors la forme \(y'=ay+b\), avec :
\[ a=-1 \qquad\text{et}\qquad b=\frac{\sqrt6}{2}. \]La condition \(a\neq0\) est satisfaite puisque \(-1\neq0\).
Une solution particulière constante est :
\[ y_p=-\frac{b}{a} =\frac{\sqrt6}{2}. \]L’équation homogène associée est :
\[ y'=-y. \]Ses solutions sont :
\[ y_h(x)=\lambda e^{-x}, \qquad \lambda\in\mathbb R. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} \sqrt2\,y'(x)+\sqrt2\,y(x) &=\sqrt2\left(-\lambda e^{-x}\right) +\sqrt2\left(\lambda e^{-x}+\frac{\sqrt6}{2}\right)\\ &=\frac{\sqrt{12}}{2}\\ &=\sqrt3. \end{aligned} \]Question 3
Afficher la correction Masquer la correction
On divise l’équation par \(3\) :
\[ y'+\frac23y=\frac43. \]Elle s’écrit :
\[ y'=-\frac23y+\frac43. \]Ainsi :
\[ a=-\frac23 \qquad\text{et}\qquad b=\frac43. \]Comme \(a=-\dfrac23\neq0\), le résultat du cours est applicable.
Une solution particulière constante vérifie :
\[ 2y_p=4. \]Donc :
\[ y_p=2. \]L’équation homogène associée est :
\[ y'=-\frac23y. \]Ses solutions sont :
\[ y_h(x)=\lambda e^{-\frac23x}, \qquad \lambda\in\mathbb R. \]Par conséquent :
\[ \begin{aligned} 3y'(x)+2y(x) &=-2\lambda e^{-\frac23x} +2\left(\lambda e^{-\frac23x}+2\right)\\ &=4. \end{aligned} \]Question 4
Afficher la correction Masquer la correction
L’équation s’écrit :
\[ y'=(\ln2)y+\ln3. \]On a donc :
\[ a=\ln2 \qquad\text{et}\qquad b=\ln3. \]Comme \(\ln2\neq0\), le résultat du cours peut être appliqué.
Une solution particulière constante est :
\[ y_p=-\frac{\ln3}{\ln2}. \]L’équation homogène associée est :
\[ y'=(\ln2)y. \]Ses solutions sont :
\[ y_h(x)=\lambda e^{x\ln2}, \qquad \lambda\in\mathbb R. \]Or :
\[ e^{x\ln2}=2^x. \]Ainsi :
On a :
\[ y'(x)=\lambda(\ln2)2^x. \]Donc :
\[ \begin{aligned} y'(x)-(\ln2)y(x) &=\lambda(\ln2)2^x -(\ln2)\left(\lambda2^x-\frac{\ln3}{\ln2}\right)\\ &=\ln3. \end{aligned} \]Exercice 5
Déterminer la solution \(y\) de l’équation différentielle \((E)\) qui vérifie la condition initiale \(y_0=y(x_0)\) pour chacun des cas suivants.
On commence par résoudre l’équation différentielle et obtenir la famille de toutes ses solutions. La condition \(y(x_0)=y_0\) est ensuite utilisée pour déterminer la constante qui apparaît dans cette famille.
Il est souvent utile, après détermination de cette constante, d’écrire l’exponentielle en fonction de \(x-x_0\). Lorsque \(x=x_0\), l’exposant devient alors nul et la vérification de la condition initiale est immédiate.
Question 1
Afficher la correction Masquer la correction
Comme \(2\neq0\), on peut diviser l’équation par \(2\) :
\[ y'+\frac52y=\frac14. \]Elle s’écrit :
\[ y'=-\frac52y+\frac14. \]On a ici \(a=-\dfrac52\neq0\). On peut donc rechercher une solution particulière constante.
Une solution particulière constante est obtenue en posant \(y'=0\) :
\[ 5y_p=\frac12. \]D’où :
\[ y_p=\frac1{10}. \]La solution générale est donc :
\[ y(x)=\lambda e^{-\frac52x}+\frac1{10}, \qquad \lambda\in\mathbb R. \]Il reste maintenant à déterminer \(\lambda\) à l’aide de la condition initiale.
La condition initiale \(y(-1)=2\) donne :
\[ \begin{aligned} y(-1)=2 &\iff \lambda e^{\frac52}+\frac1{10}=2\\ &\iff \lambda e^{\frac52}=\frac{19}{10}\\ &\iff \lambda=\frac{19}{10}e^{-\frac52}. \end{aligned} \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} y(x) &=\frac{19}{10}e^{-\frac52}e^{-\frac52x}+\frac1{10}\\ &=\frac{19}{10}e^{-\frac52(x+1)}+\frac1{10}. \end{aligned} \]On a :
\[ y'(x)=-\frac{19}{4}e^{-\frac52(x+1)}. \]Alors :
\[ \begin{aligned} 2y'(x)+5y(x) &=-\frac{19}{2}e^{-\frac52(x+1)} +\frac12 +\frac{19}{2}e^{-\frac52(x+1)}\\ &=\frac12. \end{aligned} \]De plus :
\[ y(-1) =\frac1{10}+\frac{19}{10}e^0 =2. \]Question 2
Afficher la correction Masquer la correction
Comme \(3\neq0\), on divise l’équation par \(3\) :
\[ y'-\frac43y=\frac{\sqrt2}{3}. \]Elle s’écrit :
\[ y'=\frac43y+\frac{\sqrt2}{3}. \]Ici :
\[ a=\frac43\neq0. \]Une solution particulière constante vérifie :
\[ -4y_p=\sqrt2. \]Donc :
\[ y_p=-\frac{\sqrt2}{4}. \]La solution générale est :
\[ y(x)=\lambda e^{\frac43x}-\frac{\sqrt2}{4}, \qquad \lambda\in\mathbb R. \]On utilise maintenant la condition initiale.
La condition \(y(-2)=-3\) donne :
\[ \begin{aligned} y(-2)=-3 &\iff \lambda e^{-\frac83}-\frac{\sqrt2}{4}=-3\\ &\iff \lambda e^{-\frac83}=-3+\frac{\sqrt2}{4}\\ &\iff \lambda e^{-\frac83}=\frac{\sqrt2-12}{4}. \end{aligned} \]On écrit alors la solution sous une forme adaptée au point initial \(x_0=-2\).
Posons :
\[ A=\frac{\sqrt2-12}{4}. \]Alors :
\[ y(x)=-\frac{\sqrt2}{4}+Ae^{\frac43(x+2)} \]et :
\[ y'(x)=\frac43Ae^{\frac43(x+2)}. \]Par conséquent :
\[ \begin{aligned} 3y'(x)-4y(x) &=4Ae^{\frac43(x+2)} -4\left(-\frac{\sqrt2}{4}+Ae^{\frac43(x+2)}\right)\\ &=\sqrt2. \end{aligned} \]Enfin :
\[ \begin{aligned} y(-2) &=-\frac{\sqrt2}{4} +\frac{\sqrt2-12}{4}e^0\\ &=-3. \end{aligned} \]Question 3
Afficher la correction Masquer la correction
Comme \(\ln2\neq0\), on divise l’équation par \(\ln2\) :
\[ y'+\frac1{\ln2}y=\frac{\ln8}{\ln2}. \]Or :
\[ \ln8=\ln(2^3)=3\ln2. \]Donc :
\[ y'=-\frac1{\ln2}y+3. \]Le coefficient :
\[ a=-\frac1{\ln2} \]est bien non nul.
Une solution particulière constante est :
\[ y_p=\ln8. \]En effet, si \(y=\ln8\), alors \(y'=0\) et :
\[ (\ln2)y'+y=\ln8. \]La solution générale est donc :
\[ y(x)=\lambda e^{-\frac{x}{\ln2}}+\ln8, \qquad \lambda\in\mathbb R. \]Pour utiliser directement la condition initiale, on réécrit la partie exponentielle relativement au point \(x_0=\ln2\) :
\[ y(x)=\ln8+C\,e^{-\frac{x-\ln2}{\ln2}}. \]La condition \(y(\ln2)=\dfrac1e\) donne :
\[ \begin{aligned} \frac1e &=\ln8+C e^0\\ &=\ln8+C. \end{aligned} \]D’où :
\[ C=\frac1e-\ln8. \]Posons :
\[ B=\frac1e-\ln8. \]Alors :
\[ y(x)=\ln8+B e^{-\frac{x-\ln2}{\ln2}} \]et :
\[ y'(x)=-\frac{B}{\ln2}e^{-\frac{x-\ln2}{\ln2}}. \]Donc :
\[ \begin{aligned} (\ln2)y'(x)+y(x) &=-B e^{-\frac{x-\ln2}{\ln2}} +\ln8 +B e^{-\frac{x-\ln2}{\ln2}}\\ &=\ln8. \end{aligned} \]De plus :
\[ y(\ln2) =\ln8+\left(\frac1e-\ln8\right)e^0 =\frac1e. \]Pour résoudre une équation de la forme \(y'=ay+b\), avec \(a\neq0\), on identifie d’abord les coefficients \(a\) et \(b\). Lorsque l’équation n’est pas encore sous cette forme, il faut commencer par isoler \(y'\), en vérifiant que toute division effectuée est autorisée.
Une solution particulière constante est \(y_p=-\dfrac{b}{a}\). On lui ajoute ensuite les solutions de l’équation homogène associée \(y'=ay\), ce qui donne la solution générale. Si une condition initiale est imposée, elle intervient ensuite pour déterminer la constante restante.
Le schéma de résolution à retenir est donc : mettre sous la forme \(y'=ay+b\) → vérifier \(a\neq0\) → déterminer une solution particulière constante → résoudre \(y'=ay\) → former la solution générale → utiliser la condition initiale si elle existe → vérifier.
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt
Commentaires
Enregistrer un commentaire