Équations différentielles : correction des exercices 6 et 7
Équations linéaires homogènes du second ordre — 2e Bac Sciences Mathématiques
Pour résoudre :
\[ Ay''+By'+Cy=0, \qquad A\neq0, \]on considère l’équation caractéristique :
\[ Ar^2+Br+C=0. \]Deux racines réelles distinctes \(r_1,r_2\) :
\[ y=\alpha e^{r_1x}+\beta e^{r_2x}. \]Une racine double \(r_0\) :
\[ y=(\alpha x+\beta)e^{r_0x}. \]Racines \(p\pm iq\) :
\[ y=e^{px}\bigl(\alpha\cos(qx)+\beta\sin(qx)\bigr). \]Dans toutes ces formules, \((\alpha,\beta)\in\mathbb R^2\).
Exercice 6
Lire la correction + Masquer la correction −
L’équation caractéristique associée est :
\[ r^2+2r-3=0. \]On factorise :
\[ r^2+2r-3=(r-1)(r+3). \]Elle admet donc deux racines réelles distinctes :
\[ r_1=1 \qquad\text{et}\qquad r_2=-3. \]Lire la correction + Masquer la correction −
L’équation caractéristique est :
\[ r^2+3r-4=0. \]On a :
\[ r^2+3r-4=(r-1)(r+4). \]Ses racines sont donc :
\[ r_1=1 \qquad\text{et}\qquad r_2=-4. \]Lire la correction + Masquer la correction −
L’équation caractéristique associée est :
\[ r^2-r-2=0. \]Elle se factorise sous la forme :
\[ r^2-r-2=(r-2)(r+1). \]Ses deux racines réelles distinctes sont :
\[ r_1=2 \qquad\text{et}\qquad r_2=-1. \]Lire la correction + Masquer la correction −
L’équation caractéristique est :
\[ r^2+10r+25=0. \]Or :
\[ r^2+10r+25=(r+5)^2. \]L’équation caractéristique admet donc la racine double :
\[ r_0=-5. \]Lire la correction + Masquer la correction −
L’équation caractéristique associée est :
\[ r^2+6r+\frac52=0. \]Son discriminant vaut :
\[ \Delta=6^2-4\times1\times\frac52=36-10=26>0. \]Les deux racines réelles distinctes sont :
\[ r_1=\frac{-6+\sqrt{26}}2=-3+\frac{\sqrt{26}}2, \] \[ r_2=\frac{-6-\sqrt{26}}2=-3-\frac{\sqrt{26}}2. \]Lire la correction + Masquer la correction −
L’équation caractéristique est :
\[ r^2-\sqrt3\,r+\frac34=0. \]Son discriminant est :
\[ \Delta=(-\sqrt3)^2-4\times1\times\frac34=3-3=0. \]Elle admet donc une racine double :
\[ r_0=\frac{\sqrt3}{2}. \]Lire la correction + Masquer la correction −
L’équation caractéristique associée est :
\[ 2r^2-2\sqrt3\,r=0. \]On factorise :
\[ 2r(r-\sqrt3)=0. \]Les racines sont :
\[ r_1=0 \qquad\text{et}\qquad r_2=\sqrt3. \]Comme \(e^{0x}=1\), on obtient :
Lire la correction + Masquer la correction −
L’équation caractéristique est :
\[ 4r^2+25=0. \]Elle équivaut à :
\[ r^2=-\frac{25}{4}. \]Ses deux racines complexes conjuguées sont :
\[ r_1=\frac52i \qquad\text{et}\qquad r_2=-\frac52i. \]Lire la correction + Masquer la correction −
L’équation caractéristique associée est :
\[ 5r^2-4=0. \]On obtient :
\[ r^2=\frac45. \]Les deux racines réelles distinctes sont :
\[ r_1=\frac{2}{\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}{5}, \qquad r_2=-\frac{2}{\sqrt5}=-\frac{2\sqrt5}{5}. \]Lire la correction + Masquer la correction −
En multipliant l’équation par \(-1\), on obtient :
\[ 2y''+\sqrt3\,y'-y=0. \]L’équation caractéristique est donc :
\[ 2r^2+\sqrt3\,r-1=0. \]Son discriminant vaut :
\[ \Delta=(\sqrt3)^2-4\times2\times(-1)=3+8=11. \]Les racines sont :
\[ r_1=\frac{-\sqrt3+\sqrt{11}}4, \qquad r_2=\frac{-\sqrt3-\sqrt{11}}4. \]Exercice 7
Lire la correction + Masquer la correction −
L’équation caractéristique est :
\[ 2r^2-3r-2=0. \]On factorise :
\[ 2r^2-3r-2=(2r+1)(r-2). \]Ses racines sont \(2\) et \(-\dfrac12\). La solution générale est donc :
\[ y(x)=\alpha e^{2x}+\beta e^{-\frac{x}{2}}. \]Sa dérivée est :
\[ y'(x)=2\alpha e^{2x}-\frac12\beta e^{-\frac{x}{2}}. \]Les conditions initiales donnent :
\[ \left\{ \begin{aligned} \alpha+\beta&=1,\\ 2\alpha-\frac12\beta&=1. \end{aligned} \right. \]La résolution de ce système donne :
\[ \alpha=\frac35 \qquad\text{et}\qquad \beta=\frac25. \]Lire la correction + Masquer la correction −
L’équation caractéristique est :
\[ 2r^2+3r+1=0. \]Elle se factorise :
\[ 2r^2+3r+1=(2r+1)(r+1). \]Ses racines sont \(-\dfrac12\) et \(-1\). Ainsi :
\[ y(x)=\alpha e^{-\frac{x}{2}}+\beta e^{-x}. \]On a :
\[ y'(x)=-\frac12\alpha e^{-\frac{x}{2}}-\beta e^{-x}. \]Les conditions initiales donnent le système :
\[ \left\{ \begin{aligned} \alpha+\beta&=-1,\\ -\frac12\alpha-\beta&=2. \end{aligned} \right. \]On en déduit :
\[ \alpha=2 \qquad\text{et}\qquad \beta=-3. \]Lire la correction + Masquer la correction −
L’équation caractéristique est :
\[ r^2-6r+9=0. \]Or :
\[ r^2-6r+9=(r-3)^2. \]Elle admet la racine double \(r_0=3\). Pour appliquer facilement les conditions en \(x_0=-1\), on écrit la solution générale sous la forme décalée :
\[ y(x)=\bigl(\alpha(x+1)+\beta\bigr)e^{3(x+1)}. \]Sa dérivée est :
\[ y'(x)= \Bigl[ \alpha+3\bigl(\alpha(x+1)+\beta\bigr) \Bigr]e^{3(x+1)}. \]La première condition donne :
\[ y(-1)=\beta=1. \]La seconde donne :
\[ y'(-1)=\alpha+3\beta=3. \]Comme \(\beta=1\), on obtient \(\alpha=0\).
Lire la correction + Masquer la correction −
L’équation caractéristique est :
\[ r^2+\pi^2=0. \]Ses racines sont \(i\pi\) et \(-i\pi\). Pour utiliser directement les conditions en \(x_0=1\), on écrit :
\[ y(x)= \alpha\cos\bigl(\pi(x-1)\bigr) + \beta\sin\bigl(\pi(x-1)\bigr). \]Alors :
\[ y'(x)= -\alpha\pi\sin\bigl(\pi(x-1)\bigr) + \beta\pi\cos\bigl(\pi(x-1)\bigr). \]À \(x=1\), on a :
\[ y(1)=\alpha=1. \]Et :
\[ y'(1)=\beta\pi=-1, \]d’où :
\[ \beta=-\frac1\pi. \]En utilisant les formules de décalage de \(\pi\), on peut aussi écrire :
\[ y(x)=-\cos(\pi x)+\frac1\pi\sin(\pi x). \]Lire la correction + Masquer la correction −
L’équation caractéristique associée est :
\[ r^2-16=0. \]On factorise :
\[ r^2-16=(r-4)(r+4). \]Les racines sont \(4\) et \(-4\). La solution générale est :
\[ y(x)=\alpha e^{4x}+\beta e^{-4x}. \]Sa dérivée est :
\[ y'(x)=4\alpha e^{4x}-4\beta e^{-4x}. \]Les conditions initiales donnent :
\[ \left\{ \begin{aligned} \alpha+\beta&=1,\\ 4\alpha-4\beta&=-1. \end{aligned} \right. \]La seconde égalité équivaut à :
\[ \alpha-\beta=-\frac14. \]On en déduit :
\[ \alpha=\frac38 \qquad\text{et}\qquad \beta=\frac58. \]
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