Équations différentielles : correction des exercices 6 et 7

Équations linéaires homogènes du second ordre — 2e Bac Sciences Mathématiques

Les exercices 6 et 7 utilisent l’équation caractéristique pour résoudre une équation différentielle homogène du second ordre. Dans l’exercice 7, les conditions initiales déterminent ensuite une solution unique.

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Exercice 6 Exercice 7

Rappel du cours.

Pour résoudre :

\[ Ay''+By'+Cy=0, \qquad A\neq0, \]

on considère l’équation caractéristique :

\[ Ar^2+Br+C=0. \]

Si \(\Delta>0\)

Deux racines réelles distinctes \(r_1,r_2\) :

\[ y=\alpha e^{r_1x}+\beta e^{r_2x}. \]

Si \(\Delta=0\)

Une racine double \(r_0\) :

\[ y=(\alpha x+\beta)e^{r_0x}. \]

Si \(\Delta<0\)

Racines \(p\pm iq\) :

\[ y=e^{px}\bigl(\alpha\cos(qx)+\beta\sin(qx)\bigr). \]

Dans toutes ces formules, \((\alpha,\beta)\in\mathbb R^2\).

Exercice 6

Résoudre les équations différentielles suivantes.

Question 1 \[ y''+2y'-3y=0. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

L’équation caractéristique associée est :

\[ r^2+2r-3=0. \]

On factorise :

\[ r^2+2r-3=(r-1)(r+3). \]

Elle admet donc deux racines réelles distinctes :

\[ r_1=1 \qquad\text{et}\qquad r_2=-3. \]

\[ \boxed{ y(x)=\alpha e^x+\beta e^{-3x}, \qquad (\alpha,\beta)\in\mathbb R^2 }. \]

Question 2 \[ y''+3y'-4y=0. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

L’équation caractéristique est :

\[ r^2+3r-4=0. \]

On a :

\[ r^2+3r-4=(r-1)(r+4). \]

Ses racines sont donc :

\[ r_1=1 \qquad\text{et}\qquad r_2=-4. \]

\[ \boxed{ y(x)=\alpha e^x+\beta e^{-4x}, \qquad (\alpha,\beta)\in\mathbb R^2 }. \]

Question 3 \[ y''-y'-2y=0. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

L’équation caractéristique associée est :

\[ r^2-r-2=0. \]

Elle se factorise sous la forme :

\[ r^2-r-2=(r-2)(r+1). \]

Ses deux racines réelles distinctes sont :

\[ r_1=2 \qquad\text{et}\qquad r_2=-1. \]

\[ \boxed{ y(x)=\alpha e^{2x}+\beta e^{-x}, \qquad (\alpha,\beta)\in\mathbb R^2 }. \]

Question 4 \[ y''+10y'+25y=0. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

L’équation caractéristique est :

\[ r^2+10r+25=0. \]

Or :

\[ r^2+10r+25=(r+5)^2. \]

L’équation caractéristique admet donc la racine double :

\[ r_0=-5. \]

\[ \boxed{ y(x)=(\alpha x+\beta)e^{-5x}, \qquad (\alpha,\beta)\in\mathbb R^2 }. \]

Question 5 \[ y''+6y'+\frac52y=0. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

L’équation caractéristique associée est :

\[ r^2+6r+\frac52=0. \]

Son discriminant vaut :

\[ \Delta=6^2-4\times1\times\frac52=36-10=26>0. \]

Les deux racines réelles distinctes sont :

\[ r_1=\frac{-6+\sqrt{26}}2=-3+\frac{\sqrt{26}}2, \] \[ r_2=\frac{-6-\sqrt{26}}2=-3-\frac{\sqrt{26}}2. \]

\[ \boxed{ y(x)= \alpha e^{\left(-3+\frac{\sqrt{26}}2\right)x} + \beta e^{\left(-3-\frac{\sqrt{26}}2\right)x}, \quad (\alpha,\beta)\in\mathbb R^2 }. \]

Question 6 \[ y''-\sqrt3\,y'+\frac34y=0. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

L’équation caractéristique est :

\[ r^2-\sqrt3\,r+\frac34=0. \]

Son discriminant est :

\[ \Delta=(-\sqrt3)^2-4\times1\times\frac34=3-3=0. \]

Elle admet donc une racine double :

\[ r_0=\frac{\sqrt3}{2}. \]

\[ \boxed{ y(x)=(\alpha x+\beta)e^{\frac{\sqrt3}{2}x}, \qquad (\alpha,\beta)\in\mathbb R^2 }. \]

Question 7 \[ 2y''-2\sqrt3\,y'=0. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

L’équation caractéristique associée est :

\[ 2r^2-2\sqrt3\,r=0. \]

On factorise :

\[ 2r(r-\sqrt3)=0. \]

Les racines sont :

\[ r_1=0 \qquad\text{et}\qquad r_2=\sqrt3. \]

Comme \(e^{0x}=1\), on obtient :

\[ \boxed{ y(x)=\alpha+\beta e^{\sqrt3x}, \qquad (\alpha,\beta)\in\mathbb R^2 }. \]

Question 8 \[ 4y''+25y=0. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

L’équation caractéristique est :

\[ 4r^2+25=0. \]

Elle équivaut à :

\[ r^2=-\frac{25}{4}. \]

Ses deux racines complexes conjuguées sont :

\[ r_1=\frac52i \qquad\text{et}\qquad r_2=-\frac52i. \]

\[ \boxed{ y(x)= \alpha\cos\left(\frac52x\right) + \beta\sin\left(\frac52x\right), \quad (\alpha,\beta)\in\mathbb R^2 }. \]

Question 9 \[ 5y''-4y=0. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

L’équation caractéristique associée est :

\[ 5r^2-4=0. \]

On obtient :

\[ r^2=\frac45. \]

Les deux racines réelles distinctes sont :

\[ r_1=\frac{2}{\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}{5}, \qquad r_2=-\frac{2}{\sqrt5}=-\frac{2\sqrt5}{5}. \]

\[ \boxed{ y(x)= \alpha e^{\frac{2\sqrt5}{5}x} + \beta e^{-\frac{2\sqrt5}{5}x}, \quad (\alpha,\beta)\in\mathbb R^2 }. \]

Question 10 \[ -2y''-\sqrt3\,y'+y=0. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

En multipliant l’équation par \(-1\), on obtient :

\[ 2y''+\sqrt3\,y'-y=0. \]

L’équation caractéristique est donc :

\[ 2r^2+\sqrt3\,r-1=0. \]

Son discriminant vaut :

\[ \Delta=(\sqrt3)^2-4\times2\times(-1)=3+8=11. \]

Les racines sont :

\[ r_1=\frac{-\sqrt3+\sqrt{11}}4, \qquad r_2=\frac{-\sqrt3-\sqrt{11}}4. \]

\[ \boxed{ y(x)= \alpha e^{\frac{\sqrt{11}-\sqrt3}{4}x} + \beta e^{-\frac{\sqrt{11}+\sqrt3}{4}x}, \quad (\alpha,\beta)\in\mathbb R^2 }. \]

Exercice 7

Déterminer la solution \(y\) de l’équation différentielle \((E)\) qui vérifie les conditions initiales données pour chacun des cas suivants.

Question 1 \[ (E):\ 2y''-3y'-2y=0, \qquad y(0)=1 \quad\text{et}\quad y'(0)=1. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

L’équation caractéristique est :

\[ 2r^2-3r-2=0. \]

On factorise :

\[ 2r^2-3r-2=(2r+1)(r-2). \]

Ses racines sont \(2\) et \(-\dfrac12\). La solution générale est donc :

\[ y(x)=\alpha e^{2x}+\beta e^{-\frac{x}{2}}. \]

Sa dérivée est :

\[ y'(x)=2\alpha e^{2x}-\frac12\beta e^{-\frac{x}{2}}. \]

Les conditions initiales donnent :

\[ \left\{ \begin{aligned} \alpha+\beta&=1,\\ 2\alpha-\frac12\beta&=1. \end{aligned} \right. \]

La résolution de ce système donne :

\[ \alpha=\frac35 \qquad\text{et}\qquad \beta=\frac25. \]

\[ \boxed{ y(x)=\frac35e^{2x}+\frac25e^{-\frac{x}{2}} }. \]

Contrôle des conditions initiales. \[ y(0)=\frac35+\frac25=1, \] \[ y'(0)=\frac65-\frac15=1. \]

Question 2 \[ (E):\ 2y''+3y'+y=0, \qquad y(0)=-1 \quad\text{et}\quad y'(0)=2. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

L’équation caractéristique est :

\[ 2r^2+3r+1=0. \]

Elle se factorise :

\[ 2r^2+3r+1=(2r+1)(r+1). \]

Ses racines sont \(-\dfrac12\) et \(-1\). Ainsi :

\[ y(x)=\alpha e^{-\frac{x}{2}}+\beta e^{-x}. \]

On a :

\[ y'(x)=-\frac12\alpha e^{-\frac{x}{2}}-\beta e^{-x}. \]

Les conditions initiales donnent le système :

\[ \left\{ \begin{aligned} \alpha+\beta&=-1,\\ -\frac12\alpha-\beta&=2. \end{aligned} \right. \]

On en déduit :

\[ \alpha=2 \qquad\text{et}\qquad \beta=-3. \]

\[ \boxed{ y(x)=2e^{-\frac{x}{2}}-3e^{-x} }. \]

Contrôle. \[ y(0)=2-3=-1, \] \[ y'(0)=-1+3=2. \]

Question 3 \[ (E):\ y''-6y'+9y=0, \qquad y(-1)=1 \quad\text{et}\quad y'(-1)=3. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

L’équation caractéristique est :

\[ r^2-6r+9=0. \]

Or :

\[ r^2-6r+9=(r-3)^2. \]

Elle admet la racine double \(r_0=3\). Pour appliquer facilement les conditions en \(x_0=-1\), on écrit la solution générale sous la forme décalée :

\[ y(x)=\bigl(\alpha(x+1)+\beta\bigr)e^{3(x+1)}. \]

Sa dérivée est :

\[ y'(x)= \Bigl[ \alpha+3\bigl(\alpha(x+1)+\beta\bigr) \Bigr]e^{3(x+1)}. \]

La première condition donne :

\[ y(-1)=\beta=1. \]

La seconde donne :

\[ y'(-1)=\alpha+3\beta=3. \]

Comme \(\beta=1\), on obtient \(\alpha=0\).

\[ \boxed{ y(x)=e^{3(x+1)} }. \]

Contrôle. \[ y(-1)=e^0=1, \qquad y'(-1)=3e^0=3. \]

Question 4 \[ (E):\ y''+\pi^2y=0, \qquad y(1)=1 \quad\text{et}\quad y'(1)=-1. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

L’équation caractéristique est :

\[ r^2+\pi^2=0. \]

Ses racines sont \(i\pi\) et \(-i\pi\). Pour utiliser directement les conditions en \(x_0=1\), on écrit :

\[ y(x)= \alpha\cos\bigl(\pi(x-1)\bigr) + \beta\sin\bigl(\pi(x-1)\bigr). \]

Alors :

\[ y'(x)= -\alpha\pi\sin\bigl(\pi(x-1)\bigr) + \beta\pi\cos\bigl(\pi(x-1)\bigr). \]

À \(x=1\), on a :

\[ y(1)=\alpha=1. \]

Et :

\[ y'(1)=\beta\pi=-1, \]

d’où :

\[ \beta=-\frac1\pi. \]

\[ \boxed{ y(x)= \cos\bigl(\pi(x-1)\bigr) -\frac1\pi\sin\bigl(\pi(x-1)\bigr) }. \]

Forme équivalente.

En utilisant les formules de décalage de \(\pi\), on peut aussi écrire :

\[ y(x)=-\cos(\pi x)+\frac1\pi\sin(\pi x). \]

Question 5 \[ (E):\ y''-16y=0, \qquad y(0)=1 \quad\text{et}\quad y'(0)=-1. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

L’équation caractéristique associée est :

\[ r^2-16=0. \]

On factorise :

\[ r^2-16=(r-4)(r+4). \]

Les racines sont \(4\) et \(-4\). La solution générale est :

\[ y(x)=\alpha e^{4x}+\beta e^{-4x}. \]

Sa dérivée est :

\[ y'(x)=4\alpha e^{4x}-4\beta e^{-4x}. \]

Les conditions initiales donnent :

\[ \left\{ \begin{aligned} \alpha+\beta&=1,\\ 4\alpha-4\beta&=-1. \end{aligned} \right. \]

La seconde égalité équivaut à :

\[ \alpha-\beta=-\frac14. \]

On en déduit :

\[ \alpha=\frac38 \qquad\text{et}\qquad \beta=\frac58. \]

\[ \boxed{ y(x)=\frac38e^{4x}+\frac58e^{-4x} }. \]

Contrôle. \[ y(0)=\frac38+\frac58=1, \] \[ y'(0)=4\times\frac38-4\times\frac58=-1. \]

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