Équations différentielles : correction des exercices 6 et 7
Équations différentielles homogènes du second ordre · 2e Bac Sciences Mathématiques
Ces deux exercices mettent en œuvre la méthode fondamentale de résolution des équations différentielles linéaires homogènes du second ordre à coefficients constants. Le réflexe essentiel consiste à associer à l’équation différentielle une équation caractéristique du second degré. La nature de ses racines détermine alors directement la forme de la solution générale : deux exponentielles lorsque les racines sont réelles distinctes, une expression de la forme \((\alpha x+\beta)e^{r_0x}\) lorsqu’il existe une racine double, ou une combinaison de sinus et de cosinus lorsque les racines sont complexes conjuguées. Dans l’exercice 7, une seconde étape intervient : les deux conditions initiales permettent de déterminer les deux constantes de la solution générale et donc d’obtenir l’unique solution demandée.
On considère une équation différentielle de la forme :
\[ Ay''+By'+Cy=0, \qquad A\neq0. \]On lui associe l’équation caractéristique :
\[ Ar^2+Br+C=0. \]La forme de la solution générale dépend alors du discriminant \(\Delta=B^2-4AC\).
L’équation caractéristique possède deux racines réelles distinctes \(r_1\) et \(r_2\). La solution générale est :
\[ y(x)=\alpha e^{r_1x}+\beta e^{r_2x}, \qquad (\alpha,\beta)\in\mathbb R^2. \]L’équation caractéristique possède une racine double \(r_0\). La solution générale est :
\[ y(x)=(\alpha x+\beta)e^{r_0x}, \qquad (\alpha,\beta)\in\mathbb R^2. \]Lorsque les racines complexes conjuguées s’écrivent \(p\pm iq\), la solution générale réelle est :
\[ y(x)= e^{px} \left( \alpha\cos(qx)+\beta\sin(qx) \right), \qquad (\alpha,\beta)\in\mathbb R^2. \]Exercice 6
Résoudre les équations différentielles suivantes.
Question 1
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L’équation caractéristique associée est :
\[ r^2+2r-3=0. \]On factorise :
\[ r^2+2r-3=(r-1)(r+3). \]Elle admet donc deux racines réelles distinctes :
\[ r_1=1 \qquad\text{et}\qquad r_2=-3. \]On se trouve dans le cas de deux racines réelles distinctes. On applique donc directement la première forme du cours.
Question 2
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L’équation caractéristique est :
\[ r^2+3r-4=0. \]On a :
\[ r^2+3r-4=(r-1)(r+4). \]Ses racines sont donc :
\[ r_1=1 \qquad\text{et}\qquad r_2=-4. \]Ces racines étant réelles et distinctes, la solution générale est une combinaison linéaire des deux exponentielles correspondantes.
Question 3
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L’équation caractéristique associée est :
\[ r^2-r-2=0. \]Elle se factorise sous la forme :
\[ r^2-r-2=(r-2)(r+1). \]Ses deux racines réelles distinctes sont :
\[ r_1=2 \qquad\text{et}\qquad r_2=-1. \]Question 4
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L’équation caractéristique est :
\[ r^2+10r+25=0. \]Or :
\[ r^2+10r+25=(r+5)^2. \]L’équation caractéristique admet donc la racine double :
\[ r_0=-5. \]On applique alors la forme spécifique correspondant à une racine double : le facteur exponentiel doit être multiplié par une fonction affine.
Question 5
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L’équation caractéristique associée est :
\[ r^2+6r+\frac52=0. \]Son discriminant vaut :
\[ \Delta = 6^2-4\times1\times\frac52 = 36-10 = 26>0. \]Comme \(\Delta>0\), l’équation caractéristique possède deux racines réelles distinctes.
\[ r_1=\frac{-6+\sqrt{26}}2 = -3+\frac{\sqrt{26}}2, \] \[ r_2=\frac{-6-\sqrt{26}}2 = -3-\frac{\sqrt{26}}2. \]Question 6
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L’équation caractéristique est :
\[ r^2-\sqrt3\,r+\frac34=0. \]Son discriminant est :
\[ \Delta = (-\sqrt3)^2 -4\times1\times\frac34 = 3-3 = 0. \]Le discriminant étant nul, l’équation caractéristique possède une racine double.
\[ r_0=\frac{\sqrt3}{2}. \]Question 7
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L’équation caractéristique associée est :
\[ 2r^2-2\sqrt3\,r=0. \]On factorise :
\[ 2r(r-\sqrt3)=0. \]Les racines sont :
\[ r_1=0 \qquad\text{et}\qquad r_2=\sqrt3. \]Il s’agit de deux racines réelles distinctes. La racine \(0\) donne le terme \(e^{0x}=1\).
Question 8
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L’équation caractéristique est :
\[ 4r^2+25=0. \]Elle équivaut à :
\[ r^2=-\frac{25}{4}. \]Ses deux racines complexes conjuguées sont :
\[ r_1=\frac52i \qquad\text{et}\qquad r_2=-\frac52i. \]Leur partie réelle est nulle et leur partie imaginaire a pour valeur absolue \(\dfrac52\). La forme réelle des solutions fait donc intervenir \(\cos\left(\dfrac52x\right)\) et \(\sin\left(\dfrac52x\right)\).
Question 9
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L’équation caractéristique associée est :
\[ 5r^2-4=0. \]On obtient :
\[ r^2=\frac45. \]Les deux racines réelles distinctes sont :
\[ r_1=\frac{2}{\sqrt5} =\frac{2\sqrt5}{5}, \qquad r_2=-\frac{2}{\sqrt5} =-\frac{2\sqrt5}{5}. \]Question 10
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En multipliant l’équation par \(-1\), on obtient :
\[ 2y''+\sqrt3\,y'-y=0. \]L’équation caractéristique est donc :
\[ 2r^2+\sqrt3\,r-1=0. \]Son discriminant vaut :
\[ \Delta = (\sqrt3)^2-4\times2\times(-1) = 3+8 = 11. \]Comme \(\Delta>0\), l’équation caractéristique possède deux racines réelles distinctes :
\[ r_1=\frac{-\sqrt3+\sqrt{11}}4, \qquad r_2=\frac{-\sqrt3-\sqrt{11}}4. \]Exercice 7
Déterminer la solution \(y\) de l’équation différentielle \((E)\) qui vérifie les conditions initiales données pour chacun des cas suivants.
Une équation différentielle homogène du second ordre fournit en général une solution dépendant de deux constantes \(\alpha\) et \(\beta\). Les deux conditions initiales permettent précisément de déterminer ces deux constantes.
La démarche est donc : déterminer d’abord la solution générale, calculer \(y'\), remplacer ensuite \(x\) par la valeur imposée dans \(y\) et \(y'\), puis résoudre le système obtenu.
Lorsque les conditions sont données en un point \(x_0\neq0\), une écriture décalée en fonction de \(x-x_0\) peut simplifier fortement les calculs.
Question 1
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L’équation caractéristique est :
\[ 2r^2-3r-2=0. \]On factorise :
\[ 2r^2-3r-2=(2r+1)(r-2). \]Ses racines sont \(2\) et \(-\dfrac12\). Elles sont réelles et distinctes, donc la solution générale est :
\[ y(x)=\alpha e^{2x}+\beta e^{-\frac{x}{2}}. \]Pour utiliser la deuxième condition initiale, il faut maintenant calculer la dérivée.
\[ y'(x) = 2\alpha e^{2x} -\frac12\beta e^{-\frac{x}{2}}. \]Les conditions initiales donnent :
\[ \left\{ \begin{aligned} \alpha+\beta&=1,\\ 2\alpha-\frac12\beta&=1. \end{aligned} \right. \]Ce système détermine les deux constantes de la solution générale.
\[ \alpha=\frac35 \qquad\text{et}\qquad \beta=\frac25. \]Question 2
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L’équation caractéristique est :
\[ 2r^2+3r+1=0. \]Elle se factorise :
\[ 2r^2+3r+1=(2r+1)(r+1). \]Ses racines sont \(-\dfrac12\) et \(-1\). Ainsi :
\[ y(x)= \alpha e^{-\frac{x}{2}} + \beta e^{-x}. \]On a :
\[ y'(x) = -\frac12\alpha e^{-\frac{x}{2}} - \beta e^{-x}. \]Les conditions initiales donnent le système :
\[ \left\{ \begin{aligned} \alpha+\beta&=-1,\\ -\frac12\alpha-\beta&=2. \end{aligned} \right. \]On en déduit :
\[ \alpha=2 \qquad\text{et}\qquad \beta=-3. \]Question 3
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L’équation caractéristique est :
\[ r^2-6r+9=0. \]Or :
\[ r^2-6r+9=(r-3)^2. \]Elle admet la racine double \(r_0=3\). Pour appliquer facilement les conditions en \(x_0=-1\), on écrit la solution générale sous la forme décalée :
\[ y(x)= \bigl(\alpha(x+1)+\beta\bigr)e^{3(x+1)}. \]Sa dérivée est :
\[ y'(x) = \Bigl[ \alpha + 3\bigl(\alpha(x+1)+\beta\bigr) \Bigr] e^{3(x+1)}. \]Pour \(x=-1\), le facteur \(x+1\) s’annule et l’exponentielle vaut \(1\). La première condition donne donc :
\[ y(-1)=\beta=1. \]La seconde donne :
\[ y'(-1)=\alpha+3\beta=3. \]Comme \(\beta=1\), on obtient \(\alpha=0\).
Question 4
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L’équation caractéristique est :
\[ r^2+\pi^2=0. \]Ses racines sont \(i\pi\) et \(-i\pi\). Pour utiliser directement les conditions en \(x_0=1\), on écrit :
\[ y(x)= \alpha\cos\bigl(\pi(x-1)\bigr) + \beta\sin\bigl(\pi(x-1)\bigr). \]Alors :
\[ y'(x)= -\alpha\pi\sin\bigl(\pi(x-1)\bigr) + \beta\pi\cos\bigl(\pi(x-1)\bigr). \]À \(x=1\), l’angle \(\pi(x-1)\) vaut \(0\). On utilise donc \(\cos0=1\) et \(\sin0=0\).
\[ y(1)=\alpha=1. \]Et :
\[ y'(1)=\beta\pi=-1, \]d’où :
\[ \beta=-\frac1\pi. \]En utilisant les formules de décalage de \(\pi\), on peut aussi écrire :
\[ y(x) = -\cos(\pi x) + \frac1\pi\sin(\pi x). \]Question 5
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L’équation caractéristique associée est :
\[ r^2-16=0. \]On factorise :
\[ r^2-16=(r-4)(r+4). \]Les racines sont \(4\) et \(-4\). La solution générale est :
\[ y(x)=\alpha e^{4x}+\beta e^{-4x}. \]Sa dérivée est :
\[ y'(x)=4\alpha e^{4x}-4\beta e^{-4x}. \]Les conditions initiales donnent :
\[ \left\{ \begin{aligned} \alpha+\beta&=1,\\ 4\alpha-4\beta&=-1. \end{aligned} \right. \]La seconde égalité équivaut à :
\[ \alpha-\beta=-\frac14. \]On en déduit :
\[ \alpha=\frac38 \qquad\text{et}\qquad \beta=\frac58. \]Pour une équation différentielle homogène du second ordre à coefficients constants, la première étape est toujours de construire l’équation caractéristique. La nature de ses racines décide ensuite de la forme de la solution générale : deux exponentielles pour deux racines réelles distinctes, une expression \((\alpha x+\beta)e^{r_0x}\) pour une racine double, ou une combinaison de sinus et de cosinus lorsque les racines sont complexes conjuguées.
Lorsqu’on impose deux conditions initiales, on ne les utilise qu’après avoir déterminé la solution générale. On calcule alors \(y'\), puis les deux conditions fournissent deux équations permettant de déterminer \(\alpha\) et \(\beta\). Si les données sont imposées en \(x_0\neq0\), une écriture en fonction de \(x-x_0\) peut rendre les calculs beaucoup plus directs.
Le schéma à retenir est donc : équation différentielle → équation caractéristique → nature des racines → solution générale → dérivée → conditions initiales → détermination des constantes → contrôle.
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt
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