Équations différentielles : fonction réciproque et équation \(y''-y=0\) — Exercice 19
Correction détaillée — 2e Bac Sciences Mathématiques
Exercice 19
Soit \(F\) la primitive sur \(\mathbb R\), qui s’annule en \(0\), de la fonction :
\[ f:t\longmapsto\frac{2}{\sqrt{1+4t^2}}. \]Ainsi :
\[ F'(x)=\frac{2}{\sqrt{1+4x^2}} \qquad\text{et}\qquad F(0)=0. \]Montrer que la fonction \(F\) est impaire.
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La fonction \(f\) est paire. En effet, pour tout \(x\in\mathbb R\) :
\[ f(-x)=\frac{2}{\sqrt{1+4(-x)^2}} =\frac{2}{\sqrt{1+4x^2}} =f(x). \]Considérons la fonction \(H\) définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ H(x)=F(x)+F(-x). \]La fonction \(H\) est dérivable et, pour tout \(x\in\mathbb R\) :
\[ \begin{aligned} H'(x) &=F'(x)-F'(-x)\\ &=f(x)-f(-x)\\ &=0. \end{aligned} \]La fonction \(H\) est donc constante sur \(\mathbb R\). Or :
\[ H(0)=F(0)+F(0)=0. \]Par conséquent, pour tout \(x\in\mathbb R\) :
\[ F(x)+F(-x)=0. \]La fonction \(F\) est donc impaire.
Montrer que :
\[ (\forall x\in\mathbb R^+) \qquad \ln(1+2x)\leq F(x), \]puis déterminer :
\[ \lim_{x\to+\infty}F(x). \]Lire la correction + Masquer la correction −
Soit \(t\geq0\). On a :
\[ (1+2t)^2-(1+4t^2)=4t\geq0. \]Les deux membres étant positifs, on en déduit :
\[ \sqrt{1+4t^2}\leq1+2t. \]En prenant les inverses, puis en multipliant par \(2>0\), il vient :
\[ \frac{2}{\sqrt{1+4t^2}} \geq \frac{2}{1+2t}. \]Soit maintenant \(x\geq0\). Puisque \(F'(t)=f(t)\) et \(F(0)=0\), on a :
\[ F(x)=\int_0^x\frac{2}{\sqrt{1+4t^2}}\,dt. \]En intégrant l’inégalité précédente sur \([0;x]\), on obtient :
\[ \begin{aligned} F(x) &\geq \int_0^x\frac{2}{1+2t}\,dt\\ &= \left[\ln(1+2t)\right]_0^x\\ &=\ln(1+2x). \end{aligned} \]Or :
\[ \lim_{x\to+\infty}\ln(1+2x)=+\infty. \]Comme \(F(x)\geq\ln(1+2x)\) pour tout \(x\geq0\), le théorème de comparaison donne :
Montrer que \(F\) est une bijection de \(\mathbb R\) sur \(\mathbb R\).
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Pour tout \(x\in\mathbb R\) :
\[ F'(x)=\frac{2}{\sqrt{1+4x^2}}>0. \]La fonction \(F\) est donc strictement croissante sur \(\mathbb R\).
D’après la question 2 :
\[ \lim_{x\to+\infty}F(x)=+\infty. \]Comme \(F\) est impaire :
\[ F(x)=-F(-x). \]Lorsque \(x\to-\infty\), on a \(-x\to+\infty\). Par conséquent :
\[ \lim_{x\to-\infty}F(x) =- \lim_{x\to-\infty}F(-x) =-\infty. \]Enfin, \(F\) est dérivable, donc continue sur \(\mathbb R\). Elle est continue et strictement croissante, avec :
\[ \lim_{x\to-\infty}F(x)=-\infty \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}F(x)=+\infty. \]Son image est donc \(\mathbb R\), et sa stricte croissance assure l’unicité de chaque antécédent.
On pose désormais :
\[ G=F^{-1}. \]Montrer que \(G\) est dérivable sur \(\mathbb R\) et que :
\[ (\forall x\in\mathbb R^+) \qquad G'(x)=\frac12\sqrt{1+4G^2(x)}. \]Lire la correction + Masquer la correction −
La fonction \(F\) est une bijection de \(\mathbb R\) sur \(\mathbb R\). De plus, elle est dérivable sur \(\mathbb R\) et :
\[ (\forall t\in\mathbb R) \qquad F'(t)=\frac{2}{\sqrt{1+4t^2}}>0. \]Ainsi, la dérivée \(F'\) ne s’annule en aucun point de \(\mathbb R\).
Soit \(x\in\mathbb R\). Le nombre \(G(x)\) appartient à \(\mathbb R\), et le théorème de dérivation de la fonction réciproque donne :
\[ G'(x)=\frac{1}{F'(G(x))}. \]Or :
\[ F'(G(x)) = \frac{2}{\sqrt{1+4G^2(x)}}. \]Par conséquent :
\[ \begin{aligned} G'(x) &= \frac{1}{\dfrac{2}{\sqrt{1+4G^2(x)}}}\\ &= \frac12\sqrt{1+4G^2(x)}. \end{aligned} \]En particulier, la relation demandée est vraie pour tout \(x\in\mathbb R^+\).
En déduire que \(G\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb R\) et que \(G\) est solution de l’équation différentielle :
\[ y''-y=0. \]Lire la correction + Masquer la correction −
Considérons la fonction \(\varphi\) définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ \varphi(u)=\frac12\sqrt{1+4u^2}. \]La fonction \(\varphi\) est dérivable sur \(\mathbb R\), car \(1+4u^2>0\) pour tout \(u\in\mathbb R\).
La relation obtenue à la question précédente s’écrit :
\[ G'=\varphi\circ G. \]Comme \(G\) est dérivable et \(\varphi\) est dérivable, la fonction \(G'\) est dérivable. Ainsi, \(G\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb R\).
Dérivons maintenant l’égalité :
\[ G'(x)=\frac12\sqrt{1+4G^2(x)}. \]Pour tout \(x\in\mathbb R\) :
\[ \begin{aligned} G''(x) &= \frac12\times \frac{8G(x)G'(x)}{2\sqrt{1+4G^2(x)}}\\ &= \frac{2G(x)G'(x)}{\sqrt{1+4G^2(x)}}. \end{aligned} \]En utilisant de nouveau :
\[ G'(x)=\frac12\sqrt{1+4G^2(x)}, \]on obtient :
\[ \begin{aligned} G''(x) &= \frac{2G(x)}{\sqrt{1+4G^2(x)}} \times \frac12\sqrt{1+4G^2(x)}\\ &=G(x). \end{aligned} \]La fonction \(G\) est donc une solution de l’équation différentielle \(y''-y=0\).
Calculer \(G(0)\) et \(G'(0)\), puis déterminer \(G(x)\) et \(F(x)\) en fonction de \(x\).
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Comme \(F(0)=0\) et \(G=F^{-1}\), on a :
\[ G(0)=0. \]D’après la relation obtenue à la question 3 b) :
\[ \begin{aligned} G'(0) &= \frac12\sqrt{1+4G^2(0)}\\ &= \frac12. \end{aligned} \]La fonction \(G\) est solution de :
\[ y''-y=0. \]L’équation caractéristique associée est :
\[ r^2-1=0, \]dont les racines sont \(1\) et \(-1\). La solution générale est donc :
\[ G(x)=ae^x+be^{-x}, \qquad (a,b)\in\mathbb R^2. \]La condition \(G(0)=0\) donne :
\[ a+b=0. \]De plus :
\[ G'(x)=ae^x-be^{-x}. \]La condition \(G'(0)=\dfrac12\) donne :
\[ a-b=\frac12. \]En résolvant le système :
\[ \begin{cases} a+b=0,\\ a-b=\dfrac12, \end{cases} \]on trouve :
\[ a=\frac14 \qquad\text{et}\qquad b=-\frac14. \]Déterminons maintenant \(F\). Pour tout \(x\in\mathbb R\), posons :
\[ y=F(x). \]Comme \(G=F^{-1}\), cette égalité équivaut à :
\[ x=G(y)=\frac{e^y-e^{-y}}{4}. \]Posons \(u=e^y\). On a \(u>0\) et :
\[ 4x=u-\frac1u. \]En multipliant par \(u\) :
\[ u^2-4xu-1=0. \]Les solutions de cette équation du second degré sont :
\[ u=2x\pm\sqrt{1+4x^2}. \]Or :
\[ \sqrt{1+4x^2}>2|x|. \]Ainsi :
\[ 2x-\sqrt{1+4x^2}<0, \]tandis que \(u=e^y>0\). La seule valeur admissible est donc :
\[ e^y=2x+\sqrt{1+4x^2}. \]En prenant le logarithme népérien :
\[ y=\ln\left(2x+\sqrt{1+4x^2}\right). \]Comme \(y=F(x)\), on obtient finalement :
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