Équations différentielles : parité et relation f′(x)=f(−x)+x — Exercice 20

Correction détaillée — 2e Bac Sciences Mathématiques

Chapitre : Équations différentielles — Manuel Al Moufid

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1 a) Parité de \(g\) et \(h\) 1 b) Équations vérifiées 2) Détermination de \(f\)

Exercice 20

Énoncé général

Soit \(f\) une fonction numérique deux fois dérivable sur \(\mathbb R\) telle que :

\[ (\forall x\in\mathbb R) \qquad f'(x)=f(-x)+x. \]

On pose, pour tout \(x\in\mathbb R\) :

\[ g(x)=f(x)+f(-x) \]

et :

\[ h(x)=f(x)-f(-x)-2x. \]

Question 1 a)

Vérifier que \(g\) est paire et que \(h\) est impaire.

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Soit \(x\in\mathbb R\).

Parité de \(g\).

\[ \begin{aligned} g(-x) &=f(-x)+f(-(-x))\\ &=f(-x)+f(x)\\ &=g(x). \end{aligned} \]

Donc \(g\) est paire.

Parité de \(h\).

\[ \begin{aligned} h(-x) &=f(-x)-f(-(-x))-2(-x)\\ &=f(-x)-f(x)+2x\\ &=-\bigl(f(x)-f(-x)-2x\bigr)\\ &=-h(x). \end{aligned} \]

\[ \boxed{g\text{ est paire}} \qquad\text{et}\qquad \boxed{h\text{ est impaire}}. \]

Question 1 b)

Montrer que \(g\) est solution de l’équation différentielle :

\[ y''=y, \]

et que \(h\) est solution de l’équation différentielle :

\[ y''=-y. \]

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Rectification locale de l’énoncé imprimé : le calcul exact donne \[ g''+g=2, \] et non \(g''=g\). En revanche, l’équation imprimée pour \(h\) est correcte : \(h''=-h\), c’est-à-dire \(h''+h=0\).

La relation donnée est :

\[ f'(x)=f(-x)+x. \tag{1} \]

En remplaçant \(x\) par \(-x\) dans cette relation, on obtient :

\[ f'(-x)=f(x)-x. \tag{2} \]

Calcul de \(g'(x)\).

Comme la dérivée de \(x\mapsto f(-x)\) est \(x\mapsto -f'(-x)\), on a :

\[ \begin{aligned} g'(x) &=f'(x)-f'(-x)\\ &=\bigl(f(-x)+x\bigr)-\bigl(f(x)-x\bigr)\\ &=f(-x)-f(x)+2x\\ &=-h(x). \end{aligned} \tag{3} \]

Calcul de \(h'(x)\).

\[ \begin{aligned} h'(x) &=f'(x)+f'(-x)-2\\ &=\bigl(f(-x)+x\bigr)+\bigl(f(x)-x\bigr)-2\\ &=f(x)+f(-x)-2\\ &=g(x)-2. \end{aligned} \tag{4} \]

Équation vérifiée par \(g\).

En dérivant l’égalité \(g'=-h\), puis en utilisant \(h'=g-2\), on trouve :

\[ g''(x)=-h'(x)=-(g(x)-2)=2-g(x). \]

Ainsi :

\[ \boxed{g''(x)+g(x)=2}. \]

Équation vérifiée par \(h\).

En dérivant l’égalité \(h'=g-2\), puis en utilisant \(g'=-h\), on obtient :

\[ h''(x)=g'(x)=-h(x). \]

\[ \boxed{g''+g=2} \qquad\text{et}\qquad \boxed{h''+h=0}. \]

Question 2

Écrire \(f(x)\) en fonction de \(g(x)\) et \(h(x)\), puis donner l’expression de \(f(x)\) en fonction de \(x\).

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Expression de \(f\) à l’aide de \(g\) et \(h\).

En additionnant les définitions de \(g(x)\) et de \(h(x)\), on obtient :

\[ \begin{aligned} g(x)+h(x) &=f(x)+f(-x)+f(x)-f(-x)-2x\\ &=2f(x)-2x. \end{aligned} \]

Par conséquent :

\[ \boxed{ f(x)=x+\frac{g(x)+h(x)}{2} }. \tag{5} \]

Résolution de l’équation vérifiée par \(g\).

On doit résoudre :

\[ g''+g=2. \]

Une solution particulière constante est \(x\mapsto2\). Les solutions de l’équation homogène \(y''+y=0\) sont de la forme :

\[ x\longmapsto A\cos x+B\sin x. \]

Donc :

\[ g(x)=2+A\cos x+B\sin x. \]

Comme \(g\) est paire, le coefficient du terme impair \(\sin x\) est nul. Ainsi :

\[ g(x)=2+A\cos x. \tag{6} \]

Résolution de l’équation vérifiée par \(h\).

On doit résoudre :

\[ h''+h=0. \]

Donc :

\[ h(x)=C\cos x+D\sin x. \]

Comme \(h\) est impaire, le coefficient du terme pair \(\cos x\) est nul. Ainsi :

\[ h(x)=D\sin x. \tag{7} \]

Compatibilité des constantes.

Les constantes \(A\) et \(D\) ne sont pas indépendantes. D’après la relation déjà établie \(g'=-h\), on a :

\[ -A\sin x=-D\sin x \qquad (\forall x\in\mathbb R). \]

Donc :

\[ D=A. \]

Les relations (5), (6) et (7) donnent alors :

\[ \begin{aligned} f(x) &=x+\frac{2+A\cos x+A\sin x}{2}\\ &=x+1+\frac A2(\cos x+\sin x). \end{aligned} \]

En posant \(\lambda=\dfrac A2\), on obtient :

\[ f(x)=x+1+\lambda(\cos x+\sin x). \]

Vérification dans la relation initiale.

Pour tout \(x\in\mathbb R\) :

\[ f'(x)=1+\lambda(\cos x-\sin x), \]

et :

\[ \begin{aligned} f(-x)+x &=-x+1+\lambda(\cos x-\sin x)+x\\ &=1+\lambda(\cos x-\sin x). \end{aligned} \]

Ainsi \(f'(x)=f(-x)+x\).

\[ \boxed{ f(x)=x+1+\lambda(\cos x+\sin x), \qquad \lambda\in\mathbb R }. \]

Méthode à retenir : lorsque l’équation fait intervenir \(f(-x)\), il est utile d’écrire aussi la relation obtenue en remplaçant \(x\) par \(-x\), puis de former une combinaison paire et une combinaison impaire. Les relations différentielles obtenues doivent ensuite rester compatibles avec l’équation initiale.

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