Équations différentielles : solutions particulières et changement de fonction — Exercices 11 à 13
Correction détaillée — 2e Bac Sciences Mathématiques
Manuel : Al Moufid
Méthodes : solution particulière, équation homogène associée et changement de fonction.
Exercice 11
On considère l’équation différentielle :
\[ (E):\quad y'-2y=e^{2x}. \]Montrer que la fonction \(u:x\mapsto xe^{2x}\) est une solution de l’équation \((E)\).
Lire la correction +Masquer la correction −
La fonction \(u\) est dérivable sur \(\mathbb R\). Pour tout \(x\in\mathbb R\), on a :
\[ u(x)=xe^{2x}. \]En utilisant la formule de dérivation d’un produit :
\[ \begin{aligned} u'(x) &=1\cdot e^{2x}+x\cdot 2e^{2x}\\ &=e^{2x}+2xe^{2x}. \end{aligned} \]Alors :
\[ \begin{aligned} u'(x)-2u(x) &=e^{2x}+2xe^{2x}-2xe^{2x}\\ &=e^{2x}. \end{aligned} \]Résoudre l’équation différentielle :
\[ (E_0):\quad y'-2y=0. \]Lire la correction +Masquer la correction −
L’équation \((E_0)\) s’écrit :
\[ y'=2y. \]Ici, \(a=2\). Les solutions de \((E_0)\) sont donc :
Soit \(f\) une fonction définie et dérivable sur \(\mathbb R\).
Montrer que \(f\) est une solution de \((E)\) si, et seulement si, la fonction \(f-u\) est solution de \((E_0)\).
Lire la correction +Masquer la correction −
Posons :
\[ h=f-u. \]La fonction \(h\) est dérivable sur \(\mathbb R\) et :
\[ h'=f'-u'. \]Pour tout \(x\in\mathbb R\), on a :
\[ \begin{aligned} h'(x)-2h(x) &=f'(x)-u'(x)-2\bigl(f(x)-u(x)\bigr)\\ &=\bigl(f'(x)-2f(x)\bigr)-\bigl(u'(x)-2u(x)\bigr). \end{aligned} \]Or, d’après la question 1 :
\[ u'(x)-2u(x)=e^{2x}. \]Donc :
\[ h'(x)-2h(x)=f'(x)-2f(x)-e^{2x}. \]Par conséquent :
\[ \begin{aligned} f\text{ est solution de }(E) &\Longleftrightarrow f'(x)-2f(x)=e^{2x}\quad(\forall x\in\mathbb R)\\ &\Longleftrightarrow h'(x)-2h(x)=0\quad(\forall x\in\mathbb R)\\ &\Longleftrightarrow h=f-u\text{ est solution de }(E_0). \end{aligned} \]En déduire les solutions de l’équation \((E)\).
Lire la correction +Masquer la correction −
D’après la question précédente :
\[ f\text{ est solution de }(E) \Longleftrightarrow f-u\text{ est solution de }(E_0). \]Les solutions de \((E_0)\) sont les fonctions \(x\mapsto\lambda e^{2x}\), où \(\lambda\in\mathbb R\). Ainsi :
\[ f(x)-u(x)=\lambda e^{2x}. \]Comme \(u(x)=xe^{2x}\), on obtient :
\[ \begin{aligned} f(x) &=xe^{2x}+\lambda e^{2x}\\ &=(x+\lambda)e^{2x}. \end{aligned} \]Soit \(\lambda\in\mathbb R\) et \(f(x)=(x+\lambda)e^{2x}\). Alors :
\[ \begin{aligned} f'(x) &=e^{2x}+2(x+\lambda)e^{2x},\\ f'(x)-2f(x) &=e^{2x}. \end{aligned} \]La fonction obtenue vérifie bien \((E)\).
Déterminer la solution \(g\) de \((E)\) telle que :
\[ g(0)=1. \]Lire la correction +Masquer la correction −
Toute solution de \((E)\) est de la forme :
\[ g(x)=(x+\lambda)e^{2x}, \qquad \lambda\in\mathbb R. \]La condition \(g(0)=1\) donne :
\[ \begin{aligned} g(0)=1 &\Longleftrightarrow (0+\lambda)e^0=1\\ &\Longleftrightarrow \lambda=1. \end{aligned} \]Exercice 12
On considère l’équation différentielle :
\[ (E):\quad 2y'+3y=6x^2-7x+2. \]Montrer que l’équation \((E)\) admet une solution \(u\) de la forme :
\[ u(x)=ax^2+bx+c. \]Lire la correction +Masquer la correction −
On cherche trois réels \(a\), \(b\) et \(c\) tels que :
\[ u(x)=ax^2+bx+c. \]Alors :
\[ u'(x)=2ax+b. \]En substituant \(u\) et \(u'\) dans le membre de gauche de \((E)\), on obtient :
\[ \begin{aligned} 2u'(x)+3u(x) &=2(2ax+b)+3(ax^2+bx+c)\\ &=4ax+2b+3ax^2+3bx+3c\\ &=3ax^2+(4a+3b)x+(2b+3c). \end{aligned} \]La fonction \(u\) est solution de \((E)\) si, et seulement si :
\[ 3ax^2+(4a+3b)x+(2b+3c)=6x^2-7x+2 \]pour tout \(x\in\mathbb R\). Deux polynômes égaux ont les mêmes coefficients. On obtient donc le système :
\[ \begin{cases} 3a=6,\\ 4a+3b=-7,\\ 2b+3c=2. \end{cases} \]Résolvons ce système :
\[ 3a=6\Longleftrightarrow a=2. \] \[ \begin{aligned} 4a+3b=-7 &\Longleftrightarrow 8+3b=-7\\ &\Longleftrightarrow b=-5. \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} 2b+3c=2 &\Longleftrightarrow -10+3c=2\\ &\Longleftrightarrow c=4. \end{aligned} \]Ainsi :
\[ u(x)=2x^2-5x+4. \]On a \(u'(x)=4x-5\), donc :
\[ \begin{aligned} 2u'(x)+3u(x) &=2(4x-5)+3(2x^2-5x+4)\\ &=8x-10+6x^2-15x+12\\ &=6x^2-7x+2. \end{aligned} \]Résoudre l’équation différentielle :
\[ (E_0):\quad 2y'+3y=0. \]Lire la correction +Masquer la correction −
L’équation \((E_0)\) est équivalente à :
\[ y'=-\frac32y. \]Les solutions de cette équation sont donc :
Soit \(f\) une fonction définie et dérivable sur \(\mathbb R\).
Montrer que \(f\) est une solution de \((E)\) si, et seulement si, la fonction \(f-u\) est solution de \((E_0)\).
Lire la correction +Masquer la correction −
Posons :
\[ h=f-u. \]Alors \(h'=f'-u'\), et :
\[ \begin{aligned} 2h'(x)+3h(x) &=2\bigl(f'(x)-u'(x)\bigr)+3\bigl(f(x)-u(x)\bigr)\\ &=\bigl(2f'(x)+3f(x)\bigr)-\bigl(2u'(x)+3u(x)\bigr). \end{aligned} \]Or, puisque \(u\) est une solution particulière de \((E)\) :
\[ 2u'(x)+3u(x)=6x^2-7x+2. \]Donc :
\[ 2h'(x)+3h(x)=2f'(x)+3f(x)-(6x^2-7x+2). \]Par conséquent :
\[ \begin{aligned} f\text{ est solution de }(E) &\Longleftrightarrow 2f'(x)+3f(x)=6x^2-7x+2\quad(\forall x\in\mathbb R)\\ &\Longleftrightarrow 2h'(x)+3h(x)=0\quad(\forall x\in\mathbb R)\\ &\Longleftrightarrow h=f-u\text{ est solution de }(E_0). \end{aligned} \]En déduire les solutions de l’équation \((E)\).
Lire la correction +Masquer la correction −
La fonction \(f\) est solution de \((E)\) si, et seulement si, \(f-u\) est une solution de \((E_0)\).
Il existe donc un réel \(\lambda\) tel que :
\[ f(x)-u(x)=\lambda e^{-\frac32x}. \]Comme \(u(x)=2x^2-5x+4\), on obtient :
\[ f(x)=2x^2-5x+4+\lambda e^{-\frac32x}. \]Pour \(f(x)=2x^2-5x+4+\lambda e^{-\frac32x}\), on a :
\[ f'(x)=4x-5-\frac32\lambda e^{-\frac32x}. \]Alors :
\[ \begin{aligned} 2f'(x)+3f(x) &=8x-10-3\lambda e^{-\frac32x}\\ &\quad+6x^2-15x+12+3\lambda e^{-\frac32x}\\ &=6x^2-7x+2. \end{aligned} \]Exercice 13
On considère l’équation différentielle :
\[ (E):\quad y'-2y=\frac{2}{1+e^{-2x}}. \]Soit \(g\) une fonction définie et dérivable sur \(\mathbb R\), et \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ f(x)=e^{2x}g(x). \]Montrer que \(f\) est une solution de \((E)\) si, et seulement si :
\[ g'(x)=\frac{2e^{-2x}}{1+e^{-2x}}. \]Lire la correction +Masquer la correction −
Pour tout \(x\in\mathbb R\), on a :
\[ f(x)=e^{2x}g(x). \]La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\). En dérivant explicitement le produit, on obtient :
\[ \begin{aligned} f'(x) &=(e^{2x})'g(x)+e^{2x}g'(x)\\ &=2e^{2x}g(x)+e^{2x}g'(x). \end{aligned} \]Par conséquent :
\[ \begin{aligned} f'(x)-2f(x) &=2e^{2x}g(x)+e^{2x}g'(x)-2e^{2x}g(x)\\ &=e^{2x}g'(x). \end{aligned} \]On en déduit les équivalences suivantes :
\[ \begin{aligned} f\text{ est solution de }(E) &\Longleftrightarrow f'(x)-2f(x)=\frac{2}{1+e^{-2x}}\quad(\forall x\in\mathbb R)\\ &\Longleftrightarrow e^{2x}g'(x)=\frac{2}{1+e^{-2x}}\quad(\forall x\in\mathbb R). \end{aligned} \]Comme \(e^{2x}>0\) pour tout \(x\in\mathbb R\), on peut diviser par \(e^{2x}\) :
\[ \begin{aligned} e^{2x}g'(x)=\frac{2}{1+e^{-2x}} &\Longleftrightarrow g'(x)=\frac{2e^{-2x}}{1+e^{-2x}}. \end{aligned} \]En déduire les solutions de l’équation \((E)\).
Lire la correction +Masquer la correction −
D’après la question précédente, il faut déterminer les fonctions \(g\) telles que :
\[ g'(x)=\frac{2e^{-2x}}{1+e^{-2x}}. \]Pour tout \(x\in\mathbb R\), on a \(1+e^{-2x}>0\). Posons :
\[ t=1+e^{-2x}. \]Alors :
\[ dt=-2e^{-2x}\,dx. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} \int\frac{2e^{-2x}}{1+e^{-2x}}\,dx &=-\int\frac{dt}{t}\\ &=-\ln t+C\\ &=-\ln\bigl(1+e^{-2x}\bigr)+C, \end{aligned} \]où \(C\in\mathbb R\). Les fonctions \(g\) cherchées sont donc :
\[ g(x)=C-\ln\bigl(1+e^{-2x}\bigr). \]Comme \(f(x)=e^{2x}g(x)\), on obtient :
\[ f(x)=e^{2x}\left[C-\ln\bigl(1+e^{-2x}\bigr)\right]. \]Posons \(g(x)=C-\ln(1+e^{-2x})\). Alors :
\[ \begin{aligned} g'(x) &=-\frac{-2e^{-2x}}{1+e^{-2x}}\\ &=\frac{2e^{-2x}}{1+e^{-2x}}. \end{aligned} \]Pour \(f=e^{2x}g\), la question 1 donne :
\[ \begin{aligned} f'(x)-2f(x) &=e^{2x}g'(x)\\ &=e^{2x}\frac{2e^{-2x}}{1+e^{-2x}}\\ &=\frac{2}{1+e^{-2x}}. \end{aligned} \]La fonction obtenue vérifie donc bien \((E)\).
Pour une équation linéaire non homogène, toute solution s’écrit comme la somme d’une solution particulière et d’une solution de l’équation homogène associée.
Lorsqu’une solution particulière polynomiale est cherchée, il faut dériver, substituer, regrouper suivant les puissances de \(x\), puis identifier rigoureusement les coefficients.
Pour un changement de fonction tel que \(f=e^{2x}g\), il faut calculer \(f'\) avant toute simplification, puis vérifier la solution finale dans l’équation initiale.
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