Équations différentielles : symétrie et second membre exponentiel — Exercices 21 et 22

Correction détaillée — 2e Bac Sciences Mathématiques

Chapitre : Équations différentielles — Manuel Al Moufid

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Exercice 21 22.1) Équation homogène 22.2) Solution particulière 22.3) Équivalence 22.4) Solutions de \((E)\) 22.5) Conditions initiales

Exercice 21

Question unique

Déterminer toutes les fonctions \(f\) deux fois dérivables sur \(\mathbb R\) telles que :

\[ (\forall x\in\mathbb R) \qquad f'(1-x)=f(x). \tag{R} \]

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1. Obtenir une équation différentielle vérifiée par \(f\).

Dans la relation \((R)\), remplaçons \(x\) par \(1-x\). Comme \(1-(1-x)=x\), on obtient :

\[ f'(x)=f(1-x). \tag{1} \]

La fonction \(f\) étant deux fois dérivable, nous pouvons dériver l’égalité (1). La dérivée de \(x\mapsto f(1-x)\) est \(x\mapsto-f'(1-x)\). Ainsi :

\[ f''(x)=-f'(1-x). \]

Or la relation \((R)\) donne \(f'(1-x)=f(x)\). Donc :

\[ f''(x)=-f(x). \]

Par conséquent, \(f\) est solution de :

\[ f''+f=0. \tag{2} \]

2. Résoudre l’équation différentielle obtenue.

Les solutions de \(y''+y=0\) sont les fonctions de la forme :

\[ f(x)=A\cos x+B\sin x, \qquad (A,B)\in\mathbb R^2. \tag{3} \]

3. Imposer la relation initiale.

D’après (3) :

\[ f'(x)=-A\sin x+B\cos x. \]

En utilisant l’égalité (1), on doit avoir \(f'(x)=f(1-x)\) pour tout \(x\in\mathbb R\). Or :

\[ \begin{aligned} f(1-x) &=A\cos(1-x)+B\sin(1-x)\\ &=A(\cos1\cos x+\sin1\sin x)\\ &\quad+B(\sin1\cos x-\cos1\sin x). \end{aligned} \]

En identifiant les coefficients de \(\cos x\) et de \(\sin x\), on obtient notamment :

\[ B\cos1=A(1+\sin1). \tag{4} \]

Comme \(1\in]0;\frac{\pi}{2}[\), on a \(\cos1>0\). Il existe donc un réel \(\lambda\) tel que :

\[ A=\lambda\cos1 \qquad\text{et}\qquad B=\lambda(1+\sin1). \]

Alors :

\[ \begin{aligned} f(x) &=\lambda\bigl(\cos1\cos x+(1+\sin1)\sin x\bigr)\\ &=\lambda\bigl(\cos(x-1)+\sin x\bigr). \end{aligned} \]

4. Vérification.

Soit :

\[ f(x)=\lambda\bigl(\cos(x-1)+\sin x\bigr). \]

Pour tout \(x\in\mathbb R\) :

\[ f'(x)=\lambda\bigl(-\sin(x-1)+\cos x\bigr). \]

Donc :

\[ \begin{aligned} f'(1-x) &=\lambda\bigl(-\sin(-x)+\cos(1-x)\bigr)\\ &=\lambda\bigl(\sin x+\cos(x-1)\bigr)\\ &=f(x). \end{aligned} \]

\[ \boxed{ f(x)=\lambda\bigl(\cos(x-1)+\sin x\bigr), \qquad \lambda\in\mathbb R }. \]

Exercice 22

Équation étudiée

On considère l’équation différentielle :

\[ (E): \qquad y''-y'-2y=(-6x-4)e^{-x}. \]

On lui associe l’équation homogène :

\[ (E_0): \qquad y''-y'-2y=0. \]

Question 1

Résoudre l’équation :

\[ (E_0): \qquad y''-y'-2y=0. \]

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L’équation caractéristique associée à \((E_0)\) est :

\[ r^2-r-2=0. \]

On factorise :

\[ r^2-r-2=(r-2)(r+1). \]

Les deux racines réelles distinctes sont :

\[ r_1=2 \qquad\text{et}\qquad r_2=-1. \]

\[ \boxed{ y_h(x)=Ae^{2x}+Be^{-x}, \qquad (A,B)\in\mathbb R^2 }. \]

Question 2

Démontrer que la fonction \(u\) définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ u(x)=(x^2+2x)e^{-x} \]

est une solution de \((E)\).

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La fonction \(u\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb R\).

Calcul de \(u'(x)\).

\[ \begin{aligned} u'(x) &=(2x+2)e^{-x}-(x^2+2x)e^{-x}\\ &=(2-x^2)e^{-x}. \end{aligned} \]

Calcul de \(u''(x)\).

\[ \begin{aligned} u''(x) &=-2xe^{-x}-(2-x^2)e^{-x}\\ &=(x^2-2x-2)e^{-x}. \end{aligned} \]

Substitution dans le membre de gauche de \((E)\).

\[ \begin{aligned} u''-u'-2u &=\bigl[(x^2-2x-2)-(2-x^2)-2(x^2+2x)\bigr]e^{-x}\\ &=(-6x-4)e^{-x}. \end{aligned} \]

\[ \boxed{ u''-u'-2u=(-6x-4)e^{-x} }. \]

Ainsi, \(u\) est bien une solution particulière de \((E)\).

Question 3

Soit \(f\) une fonction définie et dérivable sur \(\mathbb R\).

Montrer que \(f\) est une solution de \((E)\) si, et seulement si, la fonction \(f-u\) est une solution de \((E_0)\).

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Précision : pour être solution d’une équation différentielle du second ordre, la fonction considérée doit être deux fois dérivable. Le raisonnement suivant porte donc sur une fonction \(f\) deux fois dérivable sur \(\mathbb R\).

Posons, pour toute fonction \(y\) deux fois dérivable :

\[ L(y)=y''-y'-2y. \]

L’opérateur \(L\) est linéaire. Par conséquent :

\[ L(f-u)=L(f)-L(u). \]

D’après la question précédente :

\[ L(u)=(-6x-4)e^{-x}. \]

Ainsi :

\[ \begin{aligned} f\text{ est solution de }(E) &\Longleftrightarrow L(f)=(-6x-4)e^{-x}\\ &\Longleftrightarrow L(f)-L(u)=0\\ &\Longleftrightarrow L(f-u)=0\\ &\Longleftrightarrow f-u\text{ est solution de }(E_0). \end{aligned} \]

\[ \boxed{ f\text{ est solution de }(E) \Longleftrightarrow f-u\text{ est solution de }(E_0) }. \]

Question 4

En déduire l’ensemble des solutions de \((E)\).

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D’après la question 3, une fonction \(f\) est solution de \((E)\) si, et seulement si, \(f-u\) est solution de \((E_0)\).

Or les solutions de \((E_0)\) sont :

\[ x\longmapsto Ae^{2x}+Be^{-x}, \qquad (A,B)\in\mathbb R^2. \]

Donc :

\[ f(x)-u(x)=Ae^{2x}+Be^{-x}. \]

Comme \(u(x)=(x^2+2x)e^{-x}\), on obtient :

\[ f(x)=Ae^{2x}+Be^{-x}+(x^2+2x)e^{-x}. \]

\[ \boxed{ f(x)=Ae^{2x}+(x^2+2x+B)e^{-x}, \qquad (A,B)\in\mathbb R^2 }. \]

Question 5

Déterminer la solution \(g\) de \((E)\) vérifiant les conditions initiales :

\[ g(0)=g'(0)=1. \]

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Toute solution de \((E)\) est de la forme :

\[ g(x)=Ae^{2x}+Be^{-x}+(x^2+2x)e^{-x}. \tag{5} \]

Première condition initiale.

Pour \(x=0\), l’égalité (5) donne :

\[ g(0)=A+B. \]

Comme \(g(0)=1\), on obtient :

\[ A+B=1. \tag{6} \]

Deuxième condition initiale.

D’après la question 2 :

\[ \bigl((x^2+2x)e^{-x}\bigr)'=(2-x^2)e^{-x}. \]

Ainsi :

\[ g'(x)=2Ae^{2x}-Be^{-x}+(2-x^2)e^{-x}. \]

Donc :

\[ g'(0)=2A-B+2. \]

Comme \(g'(0)=1\), on obtient :

\[ 2A-B=-1. \tag{7} \]

En résolvant le système formé par (6) et (7) :

\[ \begin{cases} A+B=1,\\ 2A-B=-1, \end{cases} \]

on trouve :

\[ A=0 \qquad\text{et}\qquad B=1. \]

Par conséquent :

\[ \begin{aligned} g(x) &=e^{-x}+(x^2+2x)e^{-x}\\ &=(x^2+2x+1)e^{-x}\\ &=(x+1)^2e^{-x}. \end{aligned} \]

\[ \boxed{ g(x)=(x+1)^2e^{-x} }. \]

Méthodes à retenir : une relation contenant \(f(1-x)\) se traite souvent en remplaçant \(x\) par \(1-x\). Pour une équation linéaire avec second membre, la différence entre deux solutions du même problème est une solution de l’équation homogène associée.

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