Correction complète de mathématiques
Session de rattrapage 2026 — 2e Bac Sciences Physiques et Sciences de la Vie et de la Terre
Prof Maths MarocExercice 1 — Géométrie dans l’espace
Produit vectoriel, plans, droite orthogonale et sphère tangente.
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\), on considère les points \(A(1,1,1)\), \(B(2,0,1)\) et \(C(-2,-2,4)\).
Le plan \((P)\) a pour équation \(x+y-2z+12=0\).
Dans la deuxième partie, \((S)\) est la sphère de centre \(\Omega(a,b,c)\), tangente au plan \((P)\) au point \(C\), et coupée par le plan \((OAB)\) suivant un cercle \((\Gamma)\) de centre \(O\) et de rayon \(r=4\sqrt{3}\).
Données : dans le repère orthonormé direct, on a \(A(1,1,1)\) et \(B(2,0,1)\).
Calculer le produit vectoriel \(\overrightarrow{OA}\wedge\overrightarrow{OB}\).
Afficher la correction Masquer la correction
Dans un repère orthonormé direct, si \(\vec u=(x,y,z)\) et \(\vec v=(x',y',z')\), alors :
\[\vec u\wedge\vec v=(yz'-zy')\vec i+(zx'-xz')\vec j+(xy'-yx')\vec k.\]
On a :
\[\overrightarrow{OA}=(1,1,1),\qquad \overrightarrow{OB}=(2,0,1).\]
Donc :
\[\begin{aligned} \overrightarrow{OA}\wedge\overrightarrow{OB} &=(1\times1-1\times0)\vec i+(1\times2-1\times1)\vec j+(1\times0-1\times2)\vec k\\ &=\vec i+\vec j-2\vec k. \end{aligned}\]
\[\overrightarrow{OA}\wedge\overrightarrow{OB}=\vec i+\vec j-2\vec k.\]
Données : \((P):x+y-2z+12=0\) et \(\overrightarrow{OA}\wedge\overrightarrow{OB}=\vec i+\vec j-2\vec k\).
Déduire la position relative des deux plans \((P)\) et \((OAB)\).
Afficher la correction Masquer la correction
Le vecteur \(\overrightarrow{OA}\wedge\overrightarrow{OB}\) est un vecteur normal au plan \((OAB)\) s’il est non nul. Deux plans qui ont des vecteurs normaux colinéaires sont parallèles.
D’après la question 1.a :
\[\overrightarrow{OA}\wedge\overrightarrow{OB}=(1,1,-2).\]
Ce vecteur est non nul, donc \(O,A,B\) ne sont pas alignés et \((1,1,-2)\) est un vecteur normal au plan \((OAB)\).
L’équation \((P):x+y-2z+12=0\) donne aussi un vecteur normal à \((P)\) :
\[\vec n_P=(1,1,-2).\]
Les deux plans ont le même vecteur normal, donc ils sont parallèles.
De plus, \(O(0,0,0)\in(OAB)\), mais :
\[0+0-2\times0+12=12\ne0.\]
Donc \(O\notin(P)\). Les deux plans ne sont donc pas confondus.
Les deux plans \((P)\) et \((OAB)\) sont strictement parallèles.
Donnée : \(C(-2,-2,4)\).
Vérifier que le système suivant est une représentation paramétrique de la droite \((OC)\) :
\[\begin{cases}x=t\\y=t\\z=-2t\end{cases}\qquad(t\in\mathbb R).\]
Afficher la correction Masquer la correction
Pour vérifier une représentation paramétrique d’une droite, on vérifie qu’elle passe par un point de la droite et qu’elle admet un vecteur directeur de cette droite.
La droite \((OC)\) passe par \(O\) et admet \(\overrightarrow{OC}\) comme vecteur directeur.
On calcule :
\[\overrightarrow{OC}=(-2,-2,4)=-2(1,1,-2).\]
Donc \((1,1,-2)\) est un vecteur directeur de \((OC)\).
Le système proposé s’écrit :
\[(x,y,z)=t(1,1,-2),\qquad t\in\mathbb R.\]
Il passe par \(O\) pour \(t=0\), et pour \(t=-2\), on obtient \((-2,-2,4)\), c’est-à-dire le point \(C\).
Le système proposé est bien une représentation paramétrique de la droite \((OC)\).
Données : \(C(-2,-2,4)\), \((P):x+y-2z+12=0\), et la droite \((OC)\) admet \((1,1,-2)\) comme vecteur directeur.
Vérifier que \(C\in(P)\), puis montrer que \((OC)\perp(P)\).
Afficher la correction Masquer la correction
Une droite est orthogonale à un plan lorsque son vecteur directeur est colinéaire à un vecteur normal de ce plan.
On remplace les coordonnées de \(C\) dans l’équation de \((P)\) :
\[-2+(-2)-2\times4+12=0.\]
Donc \(C\in(P)\).
Le plan \((P)\) a pour équation \(x+y-2z+12=0\). Donc :
\[\vec n=(1,1,-2)\]
est un vecteur normal à \((P)\).
Or \((1,1,-2)\) est aussi un vecteur directeur de la droite \((OC)\). Ce vecteur directeur est donc colinéaire à un vecteur normal de \((P)\).
\[C\in(P)\qquad\text{et}\qquad (OC)\perp(P).\]
Données : la sphère \((S)\) de centre \(\Omega(a,b,c)\) est tangente au plan \((P)\) au point \(C\), et \((OC)\perp(P)\).
Montrer que \(\Omega\in(OC)\), puis en déduire une relation entre \(a\), \(b\) et \(c\).
Afficher la correction Masquer la correction
Si une sphère de centre \(\Omega\) est tangente à un plan en \(C\), alors le rayon \([\Omega C]\) est perpendiculaire à ce plan. Par un point d’un plan, il existe une seule droite perpendiculaire à ce plan.
La sphère \((S)\) est tangente au plan \((P)\) au point \(C\). Donc :
\[(\Omega C)\perp(P).\]
D’après la question 1.d, on a aussi :
\[(OC)\perp(P).\]
Les deux droites \((\Omega C)\) et \((OC)\) passent par le même point \(C\) et sont perpendiculaires au même plan \((P)\). Donc elles sont confondues.
Ainsi \(\Omega\in(OC)\).
D’après la représentation paramétrique de \((OC)\), il existe un réel \(t\) tel que :
\[\Omega(t,t,-2t).\]
Comme \(\Omega(a,b,c)\), on obtient :
\[a=t,\qquad b=t,\qquad c=-2t.\]
\[a=b\qquad\text{et}\qquad c=-2a.\]
Donnée : \(\Omega(a,a,-2a)\).
Calculer la distance \(O\Omega\).
Afficher la correction Masquer la correction
Dans un repère orthonormé, si \(\Omega(x,y,z)\), alors :
\[O\Omega=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.\]
On a \(\Omega(a,a,-2a)\). Donc :
\[O\Omega=\sqrt{a^2+a^2+(-2a)^2}=\sqrt{6a^2}=|a|\sqrt6.\]
\[O\Omega=|a|\sqrt6.\]
Données : \(\Omega(a,a,-2a)\) et \((P):x+y-2z+12=0\).
Calculer la distance \(d(\Omega,(P))\).
Afficher la correction Masquer la correction
La distance du point \(M(x_M,y_M,z_M)\) au plan \((Q):\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta=0\) est :
\[d(M,(Q))=\frac{|\alpha x_M+\beta y_M+\gamma z_M+\delta|}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}}.\]
Ici \(\Omega(a,a,-2a)\) et \((P):x+y-2z+12=0\). Donc :
\[\begin{aligned} d(\Omega,(P)) &=\frac{|a+a-2(-2a)+12|}{\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}}\\ &=\frac{|6a+12|}{\sqrt6}\\ &=|a+2|\sqrt6. \end{aligned}\]
\[d(\Omega,(P))=|a+2|\sqrt6.\]
Données : \(O\Omega=|a|\sqrt{6}\), \(d(\Omega,(P))=|a+2|\sqrt{6}\), et le plan \((OAB)\) coupe la sphère \((S)\) suivant un cercle de centre \(O\) et de rayon \(4\sqrt{3}\).
Déterminer \(a\), les coordonnées de \(\Omega\), puis le rayon \(R\) de la sphère \((S)\).
Afficher la correction Masquer la correction
Si un plan coupe une sphère de centre \(\Omega\) suivant un cercle de centre \(O\) et de rayon \(r\), alors, pour tout point \(M\) de ce cercle :
\[R^2=O\Omega^2+r^2,\]
où \(R\) est le rayon de la sphère. Ici, comme la sphère est tangente au plan \((P)\) au point \(C\), on a aussi :
\[R=\Omega C=d(\Omega,(P)).\]
Le rayon du cercle \((\Gamma)\) est \(r=4\sqrt{3}\). Donc :
\[r^2=(4\sqrt{3})^2=48.\]
Ainsi :
\[\Omega C^2-O\Omega^2=48.\]
Or :
\[O\Omega=|a|\sqrt6\qquad\text{et}\qquad \Omega C=d(\Omega,(P))=|a+2|\sqrt6.\]
Donc :
\[6(a+2)^2-6a^2=48.\]
En divisant par \(6\), on obtient :
\[(a+2)^2-a^2=8.\]
Alors :
\[a^2+4a+4-a^2=8\Longleftrightarrow 4a+4=8\Longleftrightarrow a=1.\]
Par suite :
\[\Omega(a,a,-2a)=\Omega(1,1,-2).\]
Enfin :
\[R=\Omega C=|1+2|\sqrt6=3\sqrt6.\]
\[a=1,\qquad \Omega(1,1,-2),\qquad R=3\sqrt6.\]
Exercice 2 — Nombres complexes
Forme trigonométrique, rotation et géométrie complexe.
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec{u},\vec{v})\), on considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) d’affixes respectives :
\[a=\sqrt{3}+i,\qquad b=\overline{a},\qquad c=2\sqrt{3}.\]
La transformation \(R\) associe à tout point \(M\) d’affixe \(z\) le point \(M'\) d’affixe \(z'\) tel que :
\[z'=e^{i\frac{2\pi}{3}}(z-a)+a.\]
Le point \(D\) a pour affixe \(d\) et vérifie \(R(B)=D\).
Données : \(a=\sqrt{3}+i\) et \(c=2\sqrt{3}\).
Calculer \(\dfrac{a-c}{a}\).
Afficher la correction Masquer la correction
Pour diviser deux nombres complexes écrits sous forme algébrique, on peut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
On a :
\[a-c=(\sqrt{3}+i)-2\sqrt{3}=-\sqrt{3}+i.\]
Donc :
\[\frac{a-c}{a}=\frac{-\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}+i}.\]
On multiplie par le conjugué de \(\sqrt{3}+i\), c’est-à-dire \(\sqrt{3}-i\) :
\[\frac{a-c}{a}=\frac{(-\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i)}{(\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i)}.\]
Or :
\[(-\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i)=-3+i\sqrt{3}+i\sqrt{3}+1=-2+2i\sqrt{3},\]
et :
\[(\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i)=3+1=4.\]
Ainsi :
\[\frac{a-c}{a}=\frac{-2+2i\sqrt{3}}{4}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}2.\]
\[\boxed{\frac{a-c}{a}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}2}.\]
Donnée : \(\dfrac{a-c}{a}=-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
Écrire ce nombre complexe sous forme trigonométrique.
Afficher la correction Masquer la correction
Si \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\), avec \(r>0\), alors \(r=|z|\) et \(\theta\) est un argument de \(z\).
Posons :
\[z=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}2.\]
Son module est :
\[|z|=\sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}2\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=1.\]
De plus :
\[\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}\qquad\text{et}\qquad \sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}2.\]
Donc \(\dfrac{2\pi}{3}\) est un argument de \(z\).
\[\boxed{-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}2=\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}}.\]
On peut aussi écrire :
\[\boxed{-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}2=e^{i\frac{2\pi}{3}}}.\]
Donnée : \(R\) est définie par :
\[z'=e^{i\frac{2\pi}{3}}(z-a)+a.\]
Déterminer la nature de \(R\), son centre et son angle.
Afficher la correction Masquer la correction
Dans le plan complexe, l’écriture :
\[z'-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)\]
est l’écriture complexe de la rotation de centre d’affixe \(\omega\) et d’angle \(\theta\).
À partir de :
\[z'=e^{i\frac{2\pi}{3}}(z-a)+a,\]
on obtient :
\[z'-a=e^{i\frac{2\pi}{3}}(z-a).\]
Cette écriture est de la forme \(z'-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)\), avec :
\[\omega=a\qquad\text{et}\qquad \theta=\frac{2\pi}{3}.\]
\[\boxed{R\text{ est la rotation de centre }A\text{ et d’angle }\frac{2\pi}{3}}.\]
Données : \(R\) est définie par \(z'=e^{i\frac{2\pi}{3}}(z-a)+a\), avec \(a=\sqrt{3}+i\), \(c=2\sqrt{3}\), et :
\[e^{i\frac{2\pi}{3}}=\frac{a-c}{a}.\]
Montrer que \(R(O)=C\).
Afficher la correction Masquer la correction
Pour trouver l’image d’un point par une transformation complexe, on remplace \(z\) par l’affixe du point de départ.
Le point \(O\) a pour affixe \(0\). On remplace donc \(z\) par \(0\) dans l’expression de \(R\) :
\[z'=e^{i\frac{2\pi}{3}}(0-a)+a=-ae^{i\frac{2\pi}{3}}+a.\]
D’après la question 1,
\[e^{i\frac{2\pi}{3}}=\frac{a-c}{a}.\]
Alors :
\[z'=-a\frac{a-c}{a}+a=-(a-c)+a=c.\]
L’image de \(O\) par \(R\) a donc pour affixe \(c\), qui est l’affixe du point \(C\).
\[\boxed{R(O)=C}.\]
Données : \(D=R(B)\), \(b=\overline{a}=\sqrt{3}-i\), et :
\[z'=e^{i\frac{2\pi}{3}}(z-a)+a.\]
Calculer \(d\), puis montrer que les points \(O\), \(A\) et \(D\) sont alignés.
Afficher la correction Masquer la correction
Si \(D=R(B)\), alors on remplace \(z\) par l’affixe \(b\) de \(B\). Pour montrer que \(O\), \(A\) et \(D\) sont alignés, il suffit de montrer que les affixes \(a\) et \(d\) sont proportionnelles par un réel.
Comme \(D=R(B)\), on remplace \(z\) par \(b\) :
\[d=e^{i\frac{2\pi}{3}}(b-a)+a.\]
Or :
\[b-a=(\sqrt{3}-i)-(\sqrt{3}+i)=-2i,\]
et :
\[e^{i\frac{2\pi}{3}}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}2.\]
Donc :
\[\begin{aligned} d&=\left(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}2\right)(-2i)+\sqrt{3}+i\\ &=i+\sqrt{3}+\sqrt{3}+i\\ &=2\sqrt{3}+2i. \end{aligned}\]
Comme \(a=\sqrt{3}+i\), on a :
\[d=2\sqrt{3}+2i=2(\sqrt{3}+i)=2a.\]
Le nombre \(2\) est réel, donc les vecteurs \(\overrightarrow{OA}\) et \(\overrightarrow{OD}\) sont colinéaires.
\[\boxed{d=2\sqrt{3}+2i}\]
et les points \(O\), \(A\) et \(D\) sont alignés.
Données : \(b=\sqrt{3}-i\), \(c=2\sqrt{3}\) et \(d=2\sqrt{3}+2i\).
Calculer \(\dfrac{c-b}{d}\).
Afficher la correction Masquer la correction
On calcule d’abord l’affixe du vecteur concerné, puis on simplifie le quotient obtenu.
On a :
\[c-b=2\sqrt{3}-(\sqrt{3}-i)=\sqrt{3}+i=a.\]
D’après la question précédente :
\[d=2\sqrt{3}+2i=2a.\]
Donc :
\[\frac{c-b}{d}=\frac{a}{2a}.\]
Comme \(a\ne0\), on obtient :
\[\frac{c-b}{d}=\frac{1}{2}.\]
\[\boxed{\frac{c-b}{d}=\frac{1}{2}}.\]
Données : \(b=\sqrt{3}-i\), \(c=2\sqrt{3}\) et \(d=2\sqrt{3}+2i\).
Montrer que \(OB=DC\).
Afficher la correction Masquer la correction
Dans le plan complexe, si deux points \(M\) et \(N\) ont pour affixes \(z_M\) et \(z_N\), alors :
\[MN=|z_N-z_M|.\]
Comme \(O\) a pour affixe \(0\), on a :
\[OB=|b-0|=|b|=|\sqrt{3}-i|.\]
Donc :
\[OB=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}=\sqrt{4}=2.\]
D’autre part :
\[DC=|c-d|=|2\sqrt{3}-(2\sqrt{3}+2i)|=|-2i|=2.\]
\[\boxed{OB=DC=2}.\]
Données obtenues :
\[\frac{c-b}{d}=\frac{1}{2}\qquad\text{et}\qquad OB=DC.\]
En déduire la nature du quadrilatère \(OBCD\).
Afficher la correction Masquer la correction
Dans le plan complexe, si le quotient des affixes de deux vecteurs non nuls est réel, alors ces deux vecteurs sont colinéaires.
Un quadrilatère qui possède deux côtés opposés parallèles est un trapèze. Si ses deux côtés non parallèles ont la même longueur, alors c’est un trapèze isocèle.
L’affixe du vecteur \(\overrightarrow{BC}\) est \(c-b\).
L’affixe du vecteur \(\overrightarrow{OD}\) est \(d-0=d\).
Or :
\[\frac{c-b}{d}=\frac{1}{2}\in\mathbb{R}.\]
Donc les vecteurs \(\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{OD}\) sont colinéaires. Ainsi :
\[(BC)\parallel(OD).\]
Le quadrilatère \(OBCD\) est donc un trapèze.
D’après la question 3.c :
\[OB=DC.\]
Les deux côtés non parallèles du trapèze ont donc la même longueur.
\[\boxed{OBCD\text{ est un trapèze isocèle}}.\]
Exercice 3 — Probabilités
Dénombrement, probabilité conditionnelle et variable aléatoire.
Une urne contient six boules indiscernables au toucher : quatre boules blanches et deux boules noires.
Trois boules portent le numéro \(0\) et trois boules portent le numéro \(1\). Parmi les boules portant le numéro \(1\), deux sont blanches et une est noire. Parmi les boules portant le numéro \(0\), deux sont blanches et une est noire.
| Numéro | Boules blanches | Boules noires | Total |
|---|---|---|---|
| \(0\) | \(2\) | \(1\) | \(3\) |
| \(1\) | \(2\) | \(1\) | \(3\) |
| Total | \(4\) | \(2\) | \(6\) |
On tire simultanément deux boules de l’urne. On note \(A\) l’événement : « les deux boules tirées sont de même couleur », \(B\) l’événement : « la somme des numéros inscrits est égale à \(2\) », et \(X\) la variable aléatoire égale à la somme des numéros inscrits sur les deux boules tirées.
On tire simultanément deux boules de l’urne. On note \(A\) l’événement : « les deux boules tirées sont de même couleur ». Calculer \(P(A)\).
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Le tirage est simultané. Donc l’ordre des deux boules tirées ne compte pas.
L’univers \(\Omega\) contient tous les choix de deux boules parmi six :
\[\mathrm{Card}(\Omega)=C_6^2=\frac{6\times5}{2}=15.\]
L’événement \(A\) est réalisé dans deux cas :
• tirer deux boules blanches ;
• tirer deux boules noires.
Il y a \(4\) boules blanches et \(2\) boules noires. Donc :
\[\mathrm{Card}(A)=C_4^2+C_2^2=6+1=7.\]
\[P(A)=\frac{\mathrm{Card}(A)}{\mathrm{Card}(\Omega)}=\frac{7}{15}.\]
On note \(B\) l’événement : « la somme des numéros inscrits sur les deux boules tirées est égale à \(2\) ». Calculer \(P(B)\).
Afficher la correction Masquer la correction
Les numéros possibles sur les boules sont \(0\) et \(1\).
Pour que la somme soit égale à \(2\), il faut tirer deux boules portant le numéro \(1\).
Il y a \(3\) boules portant le numéro \(1\). Donc :
\[\mathrm{Card}(B)=C_3^2=3.\]
Or \(\mathrm{Card}(\Omega)=15\). Par suite :
\[P(B)=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}.\]
\[P(B)=\frac{1}{5}.\]
Avec \(A\) : « les deux boules tirées sont de même couleur » et \(B\) : « la somme des numéros inscrits est égale à \(2\) », calculer la probabilité conditionnelle \(P(B/A)\).
Afficher la correction Masquer la correction
Comme \(P(A)\neq0\), on utilise la formule :
\[P(B/A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}.\]
L’événement \(A\cap B\) signifie :
• les deux boules sont de même couleur ;
• la somme des numéros est \(2\).
La somme vaut \(2\) seulement si les deux boules portent le numéro \(1\). Parmi les boules portant le numéro \(1\), il y a deux blanches et une noire.
Pour avoir en plus la même couleur, le seul choix possible est donc : les deux boules blanches portant le numéro \(1\).
Ainsi :
\[\mathrm{Card}(A\cap B)=1,\qquad P(A\cap B)=\frac{1}{15}.\]
\[P(B/A)=\frac{\frac{1}{15}}{\frac{7}{15}}=\frac{1}{7}.\]
Soit \(X\) la variable aléatoire égale à la somme des numéros inscrits sur les deux boules tirées. Déterminer la loi de probabilité de \(X\).
Afficher la correction Masquer la correction
Chaque boule porte le numéro \(0\) ou le numéro \(1\). Comme on tire deux boules, la somme peut être égale à \(0\), \(1\) ou \(2\).
Donc :
\[X(\Omega)=\{0,1,2\}.\]
Il y a \(3\) boules portant le numéro \(0\) et \(3\) boules portant le numéro \(1\).
Cas \(X=0\). Il faut tirer deux boules portant le numéro \(0\) :
\[P(X=0)=\frac{C_3^2}{C_6^2}=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}.\]
Cas \(X=2\). Il faut tirer deux boules portant le numéro \(1\) :
\[P(X=2)=\frac{C_3^2}{C_6^2}=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}.\]
Cas \(X=1\). Il faut tirer une boule portant le numéro \(0\) et une boule portant le numéro \(1\) :
\[P(X=1)=\frac{C_3^1\times C_3^1}{C_6^2}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}.\]
| \(x_i\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | \(\frac{1}{5}\) | \(\frac{3}{5}\) | \(\frac{1}{5}\) |
On vérifie que la somme des probabilités est égale à \(1\) :
\[\frac{1}{5}+\frac{3}{5}+\frac{1}{5}=1.\]
Donc le tableau obtenu est bien une loi de probabilité.
En utilisant la loi de probabilité de \(X\), calculer l’espérance mathématique \(E(X)\).
Afficher la correction Masquer la correction
Si \(X\) prend les valeurs \(x_i\) avec les probabilités \(p_i=P(X=x_i)\), alors :
\[E(X)=\sum x_i p_i.\]
D’après la loi de probabilité trouvée :
\[E(X)=0\times\frac{1}{5}+1\times\frac{3}{5}+2\times\frac{1}{5}.\]
Donc :
\[E(X)=0+\frac{3}{5}+\frac{2}{5}=1.\]
\[E(X)=1.\]
Problème — Fonctions, calcul intégral et suites
Fonction exponentielle, logarithme, branches infinies, aire, fonction réciproque et suite définie par récurrence.
Partie I : on considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=e^{2x}-1\).
Partie II : on considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x-\ln2+\ln(1+e^{-2x})\), et \((C_f)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
On note \(\Delta\) la droite d’équation \(y=x-\ln2\), et \(\varphi\) la restriction de \(f\) à \([0;+\infty[\) lorsqu’elle est utilisée.
Partie III : la suite \((u_n)\) est définie par \(u_0=\ln2\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Partie I — Fonction auxiliaire \(g\)
On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=e^{2x}-1\).
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(g(x)=0\).
Afficher la correction Masquer la correction
On utilise la propriété fondamentale de la fonction exponentielle :
\[e^{u}=1\Longleftrightarrow u=0.\]
On a :
\[g(x)=0\Longleftrightarrow e^{2x}-1=0\Longleftrightarrow e^{2x}=1.\]
Donc :
\[2x=0\Longleftrightarrow x=0.\]
L’ensemble des solutions est :
\[S=\{0\}.\]
Étudier le signe de \(g(x)=e^{2x}-1\) sur \(\mathbb{R}\).
Afficher la correction Masquer la correction
La fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), et \(e^{0}=1\).
Si \(x<0\), alors \(2x<0\), donc :
\[e^{2x}<e^{0}=1.\]
Ainsi \(g(x)<0\).
Si \(x=0\), alors \(g(0)=e^{0}-1=0\).
Si \(x>0\), alors \(2x>0\), donc :
\[e^{2x}>e^{0}=1.\]
Ainsi \(g(x)>0\).
On obtient :
\[g(x)<0\text{ sur }]-\infty;0[,\quad g(0)=0,\quad g(x)>0\text{ sur }]0;+\infty[.\]
Calculer l’intégrale suivante :
\[I=\int_{-\ln 2}^{\ln 2}|g(x)|\,dx.\]
Afficher la correction Masquer la correction
Pour intégrer une valeur absolue, on utilise d’abord le signe de la fonction.
D’après la question précédente, \(g(x)\le0\) sur \([-\ln2;0]\) et \(g(x)\ge0\) sur \([0;\ln2]\).
Donc :
\[I=\int_{-\ln2}^{0}(1-e^{2x})\,dx+\int_{0}^{\ln2}(e^{2x}-1)\,dx.\]
On calcule :
\[\int_{-\ln2}^{0}(1-e^{2x})\,dx=\left[x-\frac{1}{2} e^{2x} ight]_{-\ln2}^{0}=\ln2-\frac{3}{8}.\]
De même :
\[\int_{0}^{\ln2}(e^{2x}-1)\,dx=\left[\frac{1}{2} e^{2x}-x ight]_{0}^{\ln2}=\frac{3}{2}-\ln2.\]
Par suite :
\[I=\left(\ln2-\frac{3}{8} ight)+\left(\frac{3}{2}-\ln2 ight).\]
On trouve :
\[\int_{-\ln2}^{\ln2}|g(x)|\,dx=\frac{9}{8}.\]
Partie II — Étude de \(f\)
On considère la fonction \(f\) définie par :
\[f(x)=x-\ln2+\ln(1+e^{-2x}).\]
Déterminer son ensemble de définition.
Afficher la correction Masquer la correction
Le logarithme \(\ln A\) est défini si et seulement si \(A>0\).
Pour tout réel \(x\), on a \(e^{-2x}>0\). Donc :
\[1+e^{-2x}>0.\]
Ainsi \(\ln(1+e^{-2x})\) est défini pour tout \(x\in\mathbb{R}\).
L’ensemble de définition de \(f\) est :
\[D_f=\mathbb{R}.\]
Montrer que la fonction \(f\) est paire.
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Une fonction définie sur \(\mathbb{R}\) est paire si, pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(f(-x)=f(x)\).
Pour tout \(x\in\mathbb{R}\), on a :
\[f(-x)=-x-\ln2+\ln(1+e^{2x}).\]
Or :
\[1+e^{2x}=e^{2x}(1+e^{-2x}).\]
Donc :
\[\ln(1+e^{2x})=\ln\big(e^{2x}(1+e^{-2x})\big)=2x+\ln(1+e^{-2x}).\]
Par suite :
\[f(-x)=-x-\ln2+2x+\ln(1+e^{-2x})=f(x).\]
La fonction \(f\) est paire.
Calculer les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
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Lorsque \(x\to+\infty\), on a \(e^{-2x}\to0\), donc :
\[\ln(1+e^{-2x})\to\ln1=0.\]
Ainsi :
\[f(x)=x-\ln2+\ln(1+e^{-2x})\to+\infty.\]
Comme \(f\) est paire, la courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Donc la limite en \(-\infty\) est la même que la limite en \(+\infty\).
On obtient :
\[\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\quad\text{et}\quad\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty.\]
Étudier la branche infinie de \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
Afficher la correction Masquer la correction
Pour montrer que la droite \(y=ax+b\) est une asymptote à \((C_f)\) en \(+\infty\), on calcule \(f(x)-(ax+b)\) et on montre que cette différence tend vers \(0\).
On compare \(f(x)\) avec \(x-\ln2\) :
\[f(x)-(x-\ln2)=\ln(1+e^{-2x}).\]
Lorsque \(x\to+\infty\), \(e^{-2x}\to0\), donc :
\[\ln(1+e^{-2x})\to0.\]
La droite :
\[\Delta:y=x-\ln2\]
est une asymptote oblique à \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
Déduire l’asymptote à \((C_f)\) au voisinage de \(-\infty\).
Afficher la correction Masquer la correction
La fonction \(f\) est paire. Donc \((C_f)\) est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
La droite symétrique de \(\Delta:y=x-\ln2\) par rapport à l’axe des ordonnées est :
\[\Delta':y=-x-\ln2.\]
On a :
\[f(x)-(-x-\ln2)=\ln(1+e^{2x}).\]
Lorsque \(x\to-\infty\), \(e^{2x}\to0\), donc cette différence tend vers \(0\).
La droite :
\[\Delta':y=-x-\ln2\]
est une asymptote oblique à \((C_f)\) au voisinage de \(-\infty\).
Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb{R}\),
\[f'(x)=\frac{g(x)}{1+e^{2x}}.\]
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On utilise la formule :
\[(\ln u)'=\frac{u'}{u}\quad(u>0).\]
Pour tout \(x\in\mathbb{R}\),
\[f'(x)=1+\frac{-2e^{-2x}}{1+e^{-2x}}=\frac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}.\]
En multipliant le numérateur et le dénominateur par \(e^{2x}\), on obtient :
\[f'(x)=\frac{e^{2x}-1}{1+e^{2x}}.\]
Or \(g(x)=e^{2x}-1\).
Donc :
\[f'(x)=\frac{g(x)}{1+e^{2x}}.\]
Étudier les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
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Pour tout \(x\in\mathbb{R}\), on a \(1+e^{2x}>0\). Donc \(f'(x)\) a le même signe que \(g(x)\).
D’après la Partie I :
\[g(x)<0\text{ sur }]-\infty;0[,\quad g(0)=0,\quad g(x)>0\text{ sur }]0;+\infty[.\]
Alors :
\[f'(x)<0\text{ sur }]-\infty;0[,\quad f'(0)=0,\quad f'(x)>0\text{ sur }]0;+\infty[.\]
On calcule :
\[f(0)=0-\ln2+\ln(1+1)=0.\]
La fonction \(f\) est décroissante sur \(]-\infty;0]\), puis croissante sur \([0;+\infty[\). Elle admet un minimum en \(0\), égal à \(0\).
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation :
\[f(x)=x.\]
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On a :
\[f(x)=x\Longleftrightarrow x-\ln2+\ln(1+e^{-2x})=x.\]
Donc :
\[\ln(1+e^{-2x})=\ln2.\]
Comme la fonction logarithme est strictement croissante :
\[1+e^{-2x}=2\Longleftrightarrow e^{-2x}=1.\]
Donc :
\[-2x=0\Longleftrightarrow x=0.\]
L’équation \(f(x)=x\) admet une seule solution :
\[x=0.\]
Montrer que, pour tout \(x\in[0;+\infty[\), on a :
\[f(x)\le x.\]
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Soit \(x\in[0;+\infty[\). Alors \(-2x\le0\), donc :
\[e^{-2x}\le1.\]
Par suite :
\[1+e^{-2x}\le2.\]
La fonction logarithme est croissante, donc :
\[\ln(1+e^{-2x})\le\ln2.\]
En ajoutant \(x-\ln2\), on obtient :
\[x-\ln2+\ln(1+e^{-2x})\le x.\]
Donc :
\[\forall x\in[0;+\infty[,\quad f(x)\le x.\]
Étudier la position relative de \((C_f)\) et de la droite \(\Delta:y=x-\ln2\) sur \([0;+\infty[\).
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Pour comparer une courbe \(y=f(x)\) avec une droite \(y=ax+b\), on étudie le signe de \(f(x)-(ax+b)\).
Pour tout \(x\in[0;+\infty[\),
\[f(x)-(x-\ln2)=\ln(1+e^{-2x}).\]
Or \(e^{-2x}>0\), donc \(1+e^{-2x}>1\). Ainsi :
\[\ln(1+e^{-2x})>0.\]
Sur \([0;+\infty[\), la courbe \((C_f)\) est strictement au-dessus de la droite \(\Delta\).
Montrer que, pour tout \(x\in[0;+\infty[\),
\[0\le f(x)-(x-\ln2)\le\ln2.\]
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D’après la question précédente :
\[f(x)-(x-\ln2)=\ln(1+e^{-2x})>0.\]
Donc :
\[0\le f(x)-(x-\ln2).\]
Pour \(x\ge0\), on a \(f(x)\le x\) d’après la question 5.b. Donc :
\[f(x)-(x-\ln2)\le x-(x-\ln2)=\ln2.\]
Pour tout \(x\in[0;+\infty[\),
\[0\le f(x)-(x-\ln2)\le\ln2.\]
Compléter la représentation graphique de \((C_f)\) sur \(]-\infty;0]\) et tracer la droite \(\Delta'\).
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Comme \(f\) est paire, la courbe \((C_f)\) est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Donc on obtient la partie de \((C_f)\) sur \(]-\infty;0]\) par symétrie de la partie déjà tracée sur \([0;+\infty[\).
La droite asymptote au voisinage de \(-\infty\) est :
\[\Delta':y=-x-\ln2.\]
De plus, \((C_f)\) passe par \(O(0,0)\) et \(f'(0)=0\), donc la tangente en \(O\) est horizontale.
La figure doit respecter la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées, le minimum en \(O\), et les deux asymptotes \(\Delta\) et \(\Delta'\).
On note \(A\) l’aire du domaine limité par \((C_f)\), \(\Delta\), les droites \(x=0\) et \(x=1\).
Montrer que :
\[0\le A\le\ln2.\]
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L’aire entre deux courbes sur un segment est donnée par l’intégrale de la différence « courbe du haut moins courbe du bas ».
Sur \([0;1]\), la courbe \((C_f)\) est au-dessus de \(\Delta\). Donc :
\[A=\int_0^1\big(f(x)-(x-\ln2)\big)\,dx.\]
D’après la question 5.d, pour tout \(x\in[0;1]\),
\[0\le f(x)-(x-\ln2)\le\ln2.\]
En intégrant sur \([0;1]\), l’ordre est conservé :
\[0\le A\le\int_0^1\ln2\,dx.\]
Donc :
\[0\le A\le\ln2.\]
On obtient :
\[0\le A\le\ln2.\]
On note \(\varphi\) la restriction de \(f\) à \([0;+\infty[\).
Montrer que \(\varphi\) admet une fonction réciproque, puis préciser son ensemble de départ et son ensemble d’arrivée.
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Si une fonction est continue et strictement monotone sur un intervalle \(I\), alors elle réalise une bijection de \(I\) sur son image.
Sur \([0;+\infty[\), la fonction \(f\) est continue et strictement croissante.
De plus :
\[\varphi(0)=f(0)=0\]
et
\[\lim_{x\to+\infty}\varphi(x)=+\infty.\]
Ainsi :
\[\varphi([0;+\infty[)=[0;+\infty[.\]
La fonction \(\varphi\) admet une fonction réciproque :
\[\varphi^{-1}:[0;+\infty[\longrightarrow[0;+\infty[.\]
Vérifier que :
\[\varphi^{-1}\left(\ln\frac{5}{4} ight)=\ln2.\]
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Pour montrer que \(\varphi^{-1}(y)=a\), il suffit de montrer que \(\varphi(a)=y\).
On calcule :
\[\varphi(\ln2)=f(\ln2).\]
Or :
\[f(\ln2)=\ln2-\ln2+\ln(1+e^{-2\ln2}).\]
Comme \(e^{-2\ln2}=e^{\ln(2^{-2})}=\dfrac{1}{4}\), on obtient :
\[f(\ln2)=\ln\left(1+\frac{1}{4} ight)=\ln\frac{5}{4}.\]
Donc :
\[\varphi^{-1}\left(\ln\frac{5}{4} ight)=\ln2.\]
Montrer que \(\varphi^{-1}\) est dérivable en \(\ln\dfrac{5}{4}\), puis calculer :
\[(\varphi^{-1})'\left(\ln\frac{5}{4} ight).\]
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Si \(\varphi\) est dérivable en \(a\) et \(\varphi'(a) e0\), alors \(\varphi^{-1}\) est dérivable en \(\varphi(a)\), et :
\[(\varphi^{-1})'(\varphi(a))=\frac{1}{\varphi'(a)}.\]
D’après la question précédente :
\[\varphi(\ln2)=\ln\frac{5}{4}.\]
On calcule :
\[\varphi'(\ln2)=f'(\ln2)=\frac{e^{2\ln2}-1}{1+e^{2\ln2}}=\frac{4-1}{1+4}=\frac{3}{5}.\]
Comme \(\dfrac{3}{5} e0\), la fonction \(\varphi^{-1}\) est dérivable en \(\ln\dfrac{5}{4}\).
On a :
\[(\varphi^{-1})'\left(\ln\frac{5}{4} ight)=\frac{1}{\frac{3}{5}}=\frac{5}{3}.\]
Partie III — Suite \((u_{n})\)
La suite \((u_n)\) est définie par :
\[u_0=\ln2\quad\text{et}\quad u_{n+1}=f(u_n).\]
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\),
\[0\le u_n\le\ln2.\]
Afficher la correction Masquer la correction
On démontre l’encadrement par récurrence.
Pour \(n=0\), on a \(u_0=\ln2\). Donc :
\[0\le u_0\le\ln2.\]
Supposons que :
\[0\le u_n\le\ln2.\]
Comme \(f\) est croissante sur \([0;+\infty[\), on obtient :
\[f(0)\le f(u_n)\le f(\ln2).\]
Or \(f(0)=0\), \(f(u_n)=u_{n+1}\), et \(f(\ln2)=\ln\dfrac{5}{4}\).
Comme \(\dfrac{5}{4}<2\), on a \(\ln\dfrac{5}{4}<\ln2\). Donc :
\[0\le u_{n+1}\le\ln2.\]
Par récurrence :
\[\forall n\in\mathbb{N},\quad 0\le u_n\le\ln2.\]
Montrer que la suite \((u_n)\) est décroissante.
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D’après la question précédente, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on a \(u_n\ge0\).
Or, d’après la Partie II, pour tout \(x\in[0;+\infty[\), on a :
\[f(x)\le x.\]
En prenant \(x=u_n\), on obtient :
\[f(u_n)\le u_n.\]
Comme \(u_{n+1}=f(u_n)\), on a :
\[u_{n+1}\le u_n.\]
La suite \((u_n)\) est décroissante.
Montrer que la suite \((u_n)\) converge, puis déterminer sa limite.
Afficher la correction Masquer la correction
Toute suite décroissante et minorée est convergente.
D’après les questions précédentes, \((u_n)\) est décroissante et \(u_n\ge0\) pour tout \(n\).
Donc \((u_n)\) converge vers un réel \(\ell\ge0\).
Comme \(u_{n+1}=f(u_n)\) et comme \(f\) est continue sur \([0;+\infty[\), on passe à la limite :
\[\ell=f(\ell).\]
Donc \(\ell\) est une solution de l’équation \(f(x)=x\) sur \([0;+\infty[\).
D’après la Partie II, cette équation admet une seule solution : \(0\).
Ainsi \(\ell=0\).
On obtient :
\[\lim_{n\to+\infty}u_n=0.\]
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