Session de rattrapage 2026 — 2e Bac Sciences Physiques et Sciences de la Vie et de la Terre

Correction complète de mathématiques

Session de rattrapage 2026 — 2e Bac Sciences Physiques et Sciences de la Vie et de la Terre

Prof Maths Maroc

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Exercice 1
Géométrie dans l’espace Exercice 2
Nombres complexes Exercice 3
Probabilités Problème
Fonctions, intégrale et suites

Exercice 1 — Géométrie dans l’espace

Produit vectoriel, plans, droite orthogonale et sphère tangente.

1a1b1c1d2a2b2c2d

Question 1.a

Calculer $\overrightarrow{OA}\wedge \overrightarrow{OB}$.

Afficher la correction Masquer la correction

Propriété utilisée

Dans un repère orthonormé direct, le produit vectoriel se calcule par le déterminant des composantes.

Application

$$\overrightarrow{OA}=(1,1,1),\overrightarrow{OB}=(2,0,1).$$

$$\overrightarrow{OA}\wedge \overrightarrow{OB}=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ 1& 1& 1\\ 2& 0& 1\end{array}\right|=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}.$$

Conclusion

$$\boxed{{\displaystyle \overrightarrow{OA}\wedge \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}}}$$

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Question 1.b

Déduire la position relative de $(P)$ et $(OAB)$.

Afficher la correction Masquer la correction

Propriété utilisée

Deux plans sont parallèles lorsque leurs vecteurs normaux sont colinéaires.

Application

Le vecteur $(1,1,-2)$ est normal à $(OAB)$, car il est égal à $\overrightarrow{OA}\wedge \overrightarrow{OB}$.

L’équation $x+y-2z+12=0$ montre que $(1,1,-2)$ est également normal à $(P)$.

De plus, $O\notin (P)$, car $12\ne 0$.

Conclusion

$$\boxed{{\displaystyle (P)\parallel (OAB)}}$$ et les deux plans sont distincts.

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Question 1.c

Vérifier une représentation paramétrique de la droite $(OC)$.

Afficher la correction Masquer la correction

Propriété utilisée

Une droite passant par $O$ et dirigée par $\overrightarrow{u}=(u_1,u_2,u_3)$ admet la représentation $x=t{u}_1,y=t{u}_2,z=t{u}_3$.

Application

$$\overrightarrow{OC}=(-2,-2,4)=-2(1,1,-2).$$

Le vecteur $(1,1,-2)$ est donc directeur de $(OC)$. Ainsi :

$$\boxed{{\displaystyle \{\begin{array}{l}x=t\\ y=t\\ z=-2t\end{array}(t\in \mathbb{R})}}.$$

Pour $t=-2$, on retrouve bien $C(-2,-2,4)$.

Conclusion

La représentation proposée est correcte.

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Question 1.d

Vérifier que $C\in (P)$ et montrer que $(OC)\perp (P)$.

Afficher la correction Masquer la correction

Application

$$-2-2-2\times 4+12=0,$$ donc $C\in (P)$.

Le vecteur directeur $(1,1,-2)$ de $(OC)$ est un vecteur normal à $(P)$.

Conclusion

$$\boxed{{\displaystyle C\in (P)\text{et}(OC)\perp (P)}}$$

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Question 2.a

Montrer que $\mathrm{\Omega }\in (OC)$, puis relier $a,b,c$.

Afficher la correction Masquer la correction

Propriété utilisée

Au point de tangence d’une sphère et d’un plan, le rayon est perpendiculaire au plan.

Application

Comme la sphère est tangente à $(P)$ en $C$, la droite $(\mathrm{\Omega }C)$ est perpendiculaire à $(P)$.

Or $(OC)\perp (P)$. Par unicité de la perpendiculaire à un plan passant par $C$, les droites $(\mathrm{\Omega }C)$ et $(OC)$ sont confondues.

Donc $\mathrm{\Omega }\in (OC)$. D’après la représentation paramétrique de $(OC)$, $\mathrm{\Omega }$ s’écrit $(t,t,-2t)$.

Conclusion

$$\boxed{{\displaystyle a=b\text{et}c=-2a}}$$

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Question 2.b

Calculer $O\mathrm{\Omega }$.

Afficher la correction Masquer la correction

Application

Comme $\mathrm{\Omega }(a,a,-2a)$,

$$O\mathrm{\Omega }=\sqrt{a^2+a^2+(-2a{)}^2}=\sqrt{6a^2}=|a|\sqrt{6}.$$

Conclusion

$$\boxed{{\displaystyle O\mathrm{\Omega }=|a|\sqrt{6}}}$$

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Question 2.c

Calculer $d(\mathrm{\Omega },(P))$.

Afficher la correction Masquer la correction

Propriété utilisée

Pour $Ax+By+Cz+D=0$, ${\displaystyle d(M,(P))=\frac{|A{x}_M+B{y}_M+C{z}_M+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}}$.

Application

$$d(\mathrm{\Omega },(P))=\frac{|a+a-2(-2a)+12|}{\sqrt{1+1+4}}=\frac{|6a+12|}{\sqrt{6}}=|a+2|\sqrt{6}.$$

Conclusion

$$\boxed{{\displaystyle d(\mathrm{\Omega },(P))=|a+2|\sqrt{6}}}$$

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Question 2.d

Déterminer $a$, les coordonnées de $\mathrm{\Omega }$ et le rayon $R$.

Afficher la correction Masquer la correction

Propriété utilisée

Dans la section d’une sphère par un plan, si $O$ est le centre du cercle de section, alors $R^2=O{\mathrm{\Omega }}^2+r^2$.

Application

Ici $r=4\sqrt{3}$, donc $r^2=48$. Comme $R=\mathrm{\Omega }C=d(\mathrm{\Omega },(P))$,

$$6(a+2{)}^2-6a^2=48.$$

En divisant par $6$ :

$$(a+2{)}^2-a^2=8⟺4a+4=8⟺a=1.$$

Ainsi $\mathrm{\Omega }=(1,1,-2)$ et

$$R=|1+2|\sqrt{6}=3\sqrt{6}.$$

Conclusion

$$\boxed{{\displaystyle \mathrm{\Omega }(1,1,-2)\text{et}R=3\sqrt{6}}}$$

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Exercice 2 — Nombres complexes

Forme trigonométrique, rotation et géométrie complexe.

1a1b2a2b3a3b3c3d

Question 1.a

Calculer ${\displaystyle \frac{a-c}{a}}$.

Afficher la correction Masquer la correction

Application

Avec $a=\sqrt{3}+i$ et $c=2\sqrt{3}$,

$$\frac{a-c}{a}=\frac{-\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}+i}=\frac{(-\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i)}{(\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i)}=\frac{-2+2i\sqrt{3}}{4}.$$

Conclusion

$$\boxed{{\displaystyle \frac{a-c}{a}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}}}$$

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Question 1.b

Écrire $-{\displaystyle \frac{1}{2}}+i{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ sous forme trigonométrique.

Afficher la correction Masquer la correction

Application

Son module vaut $1$, et

$$\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2},\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Conclusion

$$\boxed{{\displaystyle -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}=e^{i\frac{2\pi }{3}}}}.$$

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Question 2.a

Déterminer la nature, le centre et l’angle de $R$.

Afficher la correction Masquer la correction

Propriété utilisée

Une transformation d’écriture $z^{\prime }-\omega =e^{i\theta }(z-\omega )$ est la rotation de centre d’affixe $\omega$ et d’angle $\theta$.

Application

L’écriture donnée devient :

$$z^{\prime }-a=e^{i\frac{2\pi }{3}}(z-a).$$

Conclusion

$$\boxed{{\displaystyle R\text{ est la rotation de centre }A\text{ et d’angle }\frac{2\pi }{3}}}$$

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Question 2.b

Montrer que $R(O)=C$.

Afficher la correction Masquer la correction

Application

Pour $z=0$,

$$z^{\prime }=e^{i\frac{2\pi }{3}}(-a)+a.$$

Or ${\displaystyle e^{i\frac{2\pi }{3}}=\frac{a-c}{a}}$. Ainsi :

$$z^{\prime }=-a\frac{a-c}{a}+a=-(a-c)+a=c.$$

Conclusion

$$\boxed{{\displaystyle R(O)=C}}$$

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Question 3.a

Calculer $d$, puis étudier l’alignement de $O,A,D$.

Afficher la correction Masquer la correction

Application

Comme $D=R(B)$,

$$d=e^{i\frac{2\pi }{3}}(b-a)+a.$$

Or $b-a=-2i$. Donc :

$$d=(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})(-2i)+\sqrt{3}+i=2\sqrt{3}+2i=2a.$$

Ainsi $\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OA}$.

Conclusion

$$\boxed{{\displaystyle d=2\sqrt{3}+2i\text{et}O,A,D\text{ sont alignés}}}$$

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Question 3.b

Calculer ${\displaystyle \frac{c-b}{d}}$.

Afficher la correction Masquer la correction

Application

$$c-b=2\sqrt{3}-(\sqrt{3}-i)=\sqrt{3}+i=a,d=2a.$$

Donc :

$$\frac{c-b}{d}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}.$$

Conclusion

$$\boxed{{\displaystyle \frac{c-b}{d}=\frac{1}{2}}}$$

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Question 3.c

Montrer que $OB=DC$.

Afficher la correction Masquer la correction

Application

$$OB=|b|=\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+(-1{)}^2}=2.$$

De plus :

$$DC=|c-d|=|2\sqrt{3}-(2\sqrt{3}+2i)|=|-2i|=2.$$

Conclusion

$$\boxed{{\displaystyle OB=DC=2}}$$

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Question 3.d

Déduire la nature du quadrilatère $OBCD$.

Afficher la correction Masquer la correction

Propriété utilisée

Si le quotient de deux affixes vectorielles est réel, les vecteurs correspondants sont colinéaires.

Application

$$\frac{c-b}{d}=\frac{1}{2}\in \mathbb{R},$$ donc $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{OD}$ sont colinéaires, d’où $(BC)\parallel (OD)$.

D’après la question précédente, $OB=DC$.

Conclusion

$$\boxed{{\displaystyle OBCD\text{ est un trapèze isocèle}}}$$

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Exercice 3 — Probabilités

Dénombrement, probabilité conditionnelle et variable aléatoire.

1a1b23a3b

Question 1.a

Calculer P(A).

Afficher la correction Masquer la correction

Modélisation

Le tirage est simultané et sans remise : on utilise les combinaisons du manuel. Le nombre total de tirages est :

\[C_6^2=\frac{6\times5}{2}=15.\]

Application

L’événement A est réalisé si les deux boules sont blanches ou si les deux boules sont noires.

Le nombre de cas favorables est donc :

\[C_4^2+C_2^2=6+1=7.\]

Conclusion

\[P(A)=\frac{7}{15}.\]

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Question 1.b

Calculer P(B).

Afficher la correction Masquer la correction

Idée utilisée

La somme des deux numéros est égale à 2 uniquement lorsqu’on tire deux boules portant le numéro 1.

Application

Il y a trois boules numérotées 1. Le nombre de tirages favorables est donc :

\[C_3^2=3.\]

Le nombre total de tirages reste :

\[C_6^2=15.\]

Conclusion

\[P(B)=\frac{C_3^2}{C_6^2}=\frac{3}{15}=\frac15.\]

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Question 2

Calculer P(B/A).

Afficher la correction Masquer la correction

Propriété utilisée

Si P(A) n’est pas nul, alors :

\[P(B/A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}.\]

Application

L’événement \(A\cap B\) signifie : même couleur et somme égale à 2.

Il faut donc tirer deux boules de même couleur portant le numéro 1. Cela donne uniquement la paire formée par les deux boules blanches numérotées 1.

Ainsi :

\[P(A\cap B)=\frac{1}{15}.\]

Conclusion

\[P(B/A)=\frac{\frac1{15}}{\frac7{15}}=\frac17.\]

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Question 3.a

Déterminer la loi de probabilité de la somme X.

Afficher la correction Masquer la correction

Valeurs possibles

Chaque boule porte le numéro 0 ou le numéro 1. Donc la somme X peut prendre seulement les valeurs :

\[0,\quad 1,\quad 2.\]

Calculs

Il y a trois boules portant le numéro 0 et trois boules portant le numéro 1.

Pour X = 0, on choisit deux boules numérotées 0 :

\[P(X=0)=\frac{C_3^2}{C_6^2}=\frac{3}{15}=\frac15.\]

Pour X = 2, on choisit deux boules numérotées 1 :

\[P(X=2)=\frac{C_3^2}{C_6^2}=\frac{3}{15}=\frac15.\]

Pour X = 1, on choisit une boule numérotée 0 et une boule numérotée 1 :

\[P(X=1)=\frac{3\times3}{15}=\frac{9}{15}=\frac35.\]

\(x_i\)	0	1	2
\(P(X=x_i)\)	\(\frac15\)	\(\frac35\)	\(\frac15\)

Vérification

\[\frac15+\frac35+\frac15=1.\]

La loi de probabilité est donc cohérente.

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Question 3.b

Calculer E(X).

Afficher la correction Masquer la correction

Définition utilisée

L’espérance de X est donnée par :

\[E(X)=\sum x_i P(X=x_i).\]

Application

En utilisant la loi obtenue :

\[E(X)=0\times\frac15+1\times\frac35+2\times\frac15.\]

Donc :

\[E(X)=\frac35+\frac25=1.\]

Conclusion

\[E(X)=1.\]

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Problème — Fonctions, calcul intégral et suites

Fonction exponentielle, logarithme, branches infinies, aire, fonction réciproque et suite définie par récurrence.

Partie I — Fonction auxiliaire et intégrale

1.a1.b2

Partie II — Étude de la fonction

12.a2.b 3.a3.b4.a 4.b5.a5.b 5.c5.d6.a 6.b7.a7.b 7.c

Partie III — Suite numérique

123

Partie I — Fonction auxiliaire $g$

Partie I — Question 1.a

Résoudre $g(x)=0$, où $g(x)=e^{2x}-1$.

Afficher la correction Masquer la correction

Propriété utilisée

Pour tout réel $u$, $e^u=1⟺u=0$.

Application

$$g(x)=0⟺e^{2x}=1⟺2x=0⟺x=0.$$

Conclusion

$$\boxed{{\displaystyle S=\{0\}}}$$

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Partie I — Question 1.b

Déterminer le signe de $g(x)=e^{2x}-1$.

Afficher la correction Masquer la correction

Propriété utilisée

La fonction exponentielle est strictement croissante et $e^0=1$.

Application

Si $x<0$, alors $2x<0$, donc $e^{2x}<1$ et $g(x)<0$.

Si $x>0$, alors $2x>0$, donc $e^{2x}>1$ et $g(x)>0$.

$x$$-\mathrm{\infty }$0$+\mathrm{\infty }$

$g(x)$−0+

Conclusion

$$\boxed{{\displaystyle g<0\text{ sur }]-\mathrm{\infty };0[\text{et}g>0\text{ sur }]0;+\mathrm{\infty }[}}$$

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Partie I — Question 2

Calculer ${\displaystyle {\int }_{-\ln 2}^{\ln 2}|g(x)|dx}$.

Afficher la correction Masquer la correction

Découpage suivant le signe

Comme $g\le 0$ sur $[-\ln 2;0]$ et $g\ge 0$ sur $[0;\ln 2]$,

$${\int }_{-\ln 2}^{\ln 2}|g(x)|dx={\int }_{-\ln 2}^0(1-e^{2x})dx+{\int }_0^{\ln 2}(e^{2x}-1)dx.$$

Or :

$${\int }_{-\ln 2}^0(1-e^{2x})dx={[x-\frac{1}{2}{e}^{2x}]}_{-\ln 2}^0=\ln 2-\frac{3}{8},$$

et

$${\int }_0^{\ln 2}(e^{2x}-1)dx={[\frac{1}{2}{e}^{2x}-x]}_0^{\ln 2}=\frac{3}{2}-\ln 2.$$

Conclusion

$$\boxed{{\displaystyle {\int }_{-\ln 2}^{\ln 2}|g(x)|dx=(\ln 2-\frac{3}{8})+(\frac{3}{2}-\ln 2)=\frac{9}{8}}}.$$

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Partie II — Étude de $f$

Partie II — Question 1

Déterminer l’ensemble de définition de $f(x)=x-\ln 2+\ln (1+e^{-2x})$.

Afficher la correction Masquer la correction

Application

Pour tout $x\in \mathbb{R}$, $e^{-2x}>0$, donc $1+e^{-2x}>0$. Le logarithme est donc défini pour tout réel $x$.

Conclusion

$$\boxed{{\displaystyle D_f=\mathbb{R}}}$$

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Partie II — Question 2.a

Montrer que $f$ est paire.

Afficher la correction Masquer la correction

Application

Pour tout $x\in \mathbb{R}$,

$$f(-x)=-x-\ln 2+\ln (1+e^{2x}).$$

Or $1+e^{2x}=e^{2x}(1+e^{-2x})$, donc :

$$\ln (1+e^{2x})=2x+\ln (1+e^{-2x}).$$

Ainsi $f(-x)=f(x)$.

Conclusion

$$\boxed{{\displaystyle f\text{ est paire}}}$$

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Partie II — Question 2.b

Calculer les limites de $f$ en $+\mathrm{\infty }$ et en $-\mathrm{\infty }$.

Afficher la correction Masquer la correction

Application

Lorsque $x\to +\mathrm{\infty }$, $e^{-2x}\to 0$, donc $\ln (1+e^{-2x})\to 0$, tandis que $x-\ln 2\to +\mathrm{\infty }$. Ainsi :

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }.$$

Comme $f$ est paire, $f(x)=f(-x)$, d’où :

$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }.$$

Conclusion

$$\boxed{{\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }}}$$

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Partie II — Question 3.a

Étudier la branche infinie au voisinage de $+\mathrm{\infty }$.

Afficher la correction Masquer la correction

Critère utilisé

La droite $y=ax+b$ est asymptote à ${\mathcal{C}}_f$ en $+\mathrm{\infty }$ si $f(x)-(ax+b)\to 0$.

Application

$$f(x)-(x-\ln 2)=\ln (1+e^{-2x})\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0.$$

Conclusion

$$\boxed{{\displaystyle \mathrm{\Delta }:y=x-\ln 2\text{ est une asymptote oblique en }+\mathrm{\infty }}}$$

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Partie II — Question 3.b

Déduire l’asymptote au voisinage de $-\mathrm{\infty }$.

Afficher la correction Masquer la correction

Application

La courbe de $f$, fonction paire, est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Le symétrique de $\mathrm{\Delta }:y=x-\ln 2$ est :

$${\mathrm{\Delta }}^{\prime }:y=-x-\ln 2.$$

Vérification :

$$f(x)-(-x-\ln 2)=\ln (1+e^{2x})\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0.$$

Conclusion

$$\boxed{{\displaystyle {\mathrm{\Delta }}^{\prime }:y=-x-\ln 2\text{ est une asymptote oblique en }-\mathrm{\infty }}}$$

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Partie II — Question 4.a

Exprimer $f^{\prime }(x)$ à l’aide de $g(x)$.

Afficher la correction Masquer la correction

Application

$$f^{\prime }(x)=1+\frac{-2e^{-2x}}{1+e^{-2x}}=\frac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}.$$

En multipliant le numérateur et le dénominateur par $e^{2x}>0$,

$$f^{\prime }(x)=\frac{e^{2x}-1}{1+e^{2x}}=\frac{g(x)}{1+e^{2x}}.$$

Conclusion

$$\boxed{{\displaystyle f^{\prime }(x)=\frac{g(x)}{1+e^{2x}}}}$$

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Partie II — Question 4.b

Déterminer les variations de $f$.

Afficher la correction Masquer la correction

Application

Pour tout $x$, $1+e^{2x}>0$. Ainsi $f^{\prime }(x)$ a le même signe que $g(x)$.

D’après la Partie I, $f^{\prime }<0$ sur $]-\mathrm{\infty };0[$, $f^{\prime }(0)=0$, et $f^{\prime }>0$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$.

Enfin :

$$f(0)=-\ln 2+\ln 2=0.$$

$x$$-\mathrm{\infty }$0$+\mathrm{\infty }$

$f^{\prime }(x)$−0+

$f(x)$$+\mathrm{\infty }\searrow$0$\nearrow +\mathrm{\infty }$

Conclusion

$$\boxed{{\displaystyle f\text{ décroît sur }]-\mathrm{\infty };0]\text{ et croît sur }[0;+\mathrm{\infty }[}}$$

Son minimum est $f(0)=0$.

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Partie II — Question 5.a

Résoudre $f(x)=x$.

Afficher la correction Masquer la correction

Application

$$f(x)=x⟺\ln (1+e^{-2x})=\ln 2⟺1+e^{-2x}=2⟺e^{-2x}=1⟺x=0.$$

Conclusion

$$\boxed{{\displaystyle S=\{0\}}}$$

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Partie II — Question 5.b

Montrer que $f(x)\le x$ pour $x\ge 0$.

Afficher la correction Masquer la correction

Application

Pour $x\ge 0$, $e^{-2x}\le 1$. Donc $1+e^{-2x}\le 2$, puis :

$$\ln (1+e^{-2x})\le \ln 2.$$

En ajoutant $x-\ln 2$, on obtient $f(x)\le x$.

Conclusion

$$\boxed{{\displaystyle \mathrm{\forall }x\in [0;+\mathrm{\infty }[,f(x)\le x}}$$

L’égalité a lieu uniquement pour $x=0$.

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Partie II — Question 5.c

Étudier la position de ${\mathcal{C}}_f$ et de $\mathrm{\Delta }$ sur $[0;+\mathrm{\infty }[$.

Afficher la correction Masquer la correction

Application

$$f(x)-(x-\ln 2)=\ln (1+e^{-2x}).$$

Comme $e^{-2x}>0$, on a $1+e^{-2x}>1$, donc :

$$\ln (1+e^{-2x})>0.$$

Conclusion

$$\boxed{{\displaystyle {\mathcal{C}}_f\text{ est strictement au-dessus de }\mathrm{\Delta }\text{ sur }[0;+\mathrm{\infty }[}}$$

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Partie II — Question 5.d

Encadrer $f(x)-(x-\ln 2)$ pour $x\ge 0$.

Afficher la correction Masquer la correction

Application

D’après la question précédente, $f(x)-(x-\ln 2)\ge 0$.

D’autre part, $f(x)\le x$, donc :

$$f(x)-(x-\ln 2)\le x-(x-\ln 2)=\ln 2.$$

Conclusion

$$\boxed{{\displaystyle 0\le f(x)-(x-\ln 2)\le \ln 2}}$$

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Partie II — Question 6.a

Compléter la courbe sur $]-\mathrm{\infty };0]$ et tracer ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$.

Afficher la correction Masquer la correction

Construction

La fonction $f$ est paire : la partie gauche de ${\mathcal{C}}_f$ est le symétrique de sa partie droite par rapport à l’axe des ordonnées.

La droite symétrique de $\mathrm{\Delta }:y=x-\ln 2$ est ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }:y=-x-\ln 2$.

La courbe passe par $O(0,0)$, où $f^{\prime }(0)=0$ : la tangente est horizontale.

Construction contrôlée : symétrie par rapport à l’axe des ordonnées, minimum en $O$, et rapprochement des deux asymptotes.

Contrôles

La courbe reste au-dessus de chacune de ses asymptotes et tend vers $+\mathrm{\infty }$ aux deux extrémités.

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Partie II — Question 6.b

Encadrer l’aire comprise entre ${\mathcal{C}}_f$, $\mathrm{\Delta }$, $x=0$ et $x=1$.

Afficher la correction Masquer la correction

Application

Sur $[0;1]$, ${\mathcal{C}}_f$ est au-dessus de $\mathrm{\Delta }$. Ainsi :

$$\mathcal{A}={\int }_0^1[f(x)-(x-\ln 2)]dx.$$

Or, pour tout $x\in [0;1]$,

$$0\le f(x)-(x-\ln 2)\le \ln 2.$$

Par compatibilité de l’intégrale avec l’ordre :

$$0\le \mathcal{A}\le {\int }_0^1\ln 2dx=\ln 2.$$

Conclusion

$$\boxed{{\displaystyle 0\le \mathcal{A}\le \ln 2}}$$

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Partie II — Question 7.a

Étudier la restriction $\phi$ est la restriction de $f$ à $[0;+\mathrm{\infty }[$.

Afficher la correction Masquer la correction

Théorème utilisé

Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle réalise une bijection de cet intervalle sur son image.

Application

$\phi$ est continue et strictement croissante sur $[0;+\mathrm{\infty }[$.

De plus, $\phi (0)=0$ et ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\phi (x)=+\mathrm{\infty }}$.

Ainsi :

$$\phi ([0;+\mathrm{\infty }[)=[0;+\mathrm{\infty }[.$$

Conclusion

$$\boxed{{\displaystyle {\phi }^{-1}:[0;+\mathrm{\infty }[⟶[0;+\mathrm{\infty }[}}$$

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Partie II — Question 7.b

Vérifier que ${\phi }^{-1}(\ln \frac{5}{4})=\ln 2$.

Afficher la correction Masquer la correction

Application

$$\phi (\ln 2)=f(\ln 2)=\ln (1+e^{-2\ln 2})=\ln (1+\frac{1}{4})=\ln \frac{5}{4}.$$

Conclusion

$$\boxed{{\displaystyle {\phi }^{-1}(\ln \frac{5}{4})=\ln 2}}$$

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Partie II — Question 7.c

Montrer que ${\phi }^{-1}$ est dérivable en $\ln \frac{5}{4}$ et calculer sa dérivée.

Afficher la correction Masquer la correction

Théorème utilisé

Si ${\phi }^{\prime }(x_0)\ne 0$, alors $({\phi }^{-1}{)}^{\prime }(\phi (x_0))={\displaystyle \frac{1}{{\phi }^{\prime }(x_0)}}$.

Application

Ici $x_0=\ln 2$ et $\phi (x_0)=\ln \frac{5}{4}$.

$${\phi }^{\prime }(\ln 2)=\frac{e^{2\ln 2}-1}{1+e^{2\ln 2}}=\frac{4-1}{1+4}=\frac{3}{5}\ne 0.$$

Donc :

$$({\phi }^{-1}{)}^{\prime }(\ln \frac{5}{4})=\frac{1}{\frac{3}{5}}=\frac{5}{3}.$$

Conclusion

$$\boxed{{\displaystyle ({\phi }^{-1}{)}^{\prime }(\ln \frac{5}{4})=\frac{5}{3}}}$$

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Partie III — Suite $(u_n)$

Partie III — Question 1

Montrer que $0\le u_n\le \ln 2$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

Afficher la correction Masquer la correction

Méthode

On montre par récurrence la propriété $P(n):0\le u_n\le \ln 2$.

Initialisation

$$u_0=\ln 2,$$ donc $0\le u_0\le \ln 2$.

Hérédité

Supposons $0\le u_n\le \ln 2$. Comme $f$ est croissante sur $[0;+\mathrm{\infty }[$,

$$f(0)\le f(u_n)\le f(\ln 2).$$

Or $f(0)=0$, $f(u_n)=u_{n+1}$, et $f(\ln 2)=\ln \frac{5}{4}\le \ln 2$. Ainsi :

$$0\le u_{n+1}\le \ln 2.$$

Conclusion

$$\boxed{{\displaystyle \mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},0\le u_n\le \ln 2}}$$

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Partie III — Question 2

Montrer que $(u_n)$ est décroissante.

Afficher la correction Masquer la correction

Application

D’après la question précédente, $u_n\ge 0$. Or, pour tout $x\ge 0$, $f(x)\le x$.

En prenant $x=u_n$,

$$u_{n+1}=f(u_n)\le u_n.$$

Conclusion

$$\boxed{{\displaystyle (u_n)\text{ est décroissante}}}$$

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Partie III — Question 3

Montrer que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.

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Théorème utilisé

Toute suite décroissante et minorée est convergente.

Convergence

La suite est décroissante et $u_n\ge 0$. Elle converge donc vers un réel $\ell \ge 0$.

Comme $f$ est continue et $u_{n+1}=f(u_n)$, le passage à la limite donne :

$$\ell =f(\ell ).$$

Or l’équation $f(x)=x$ admet l’unique solution $x=0$.

Conclusion

$$\boxed{{\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=0}}$$

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