PMMProf Maths Maroc
Correction de l’examen national 2026 — Session de rattrapage — 2e Bac Sciences Physiques et SVT
CORRECTION
Exercice 1 — Géométrie dans l’espace
E1 · 1aProduit vectoriel
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Par calcul direct. Dans la base orthonormée directe,
\[
\overrightarrow{OA}=(1,1,1),\qquad \overrightarrow{OB}=(2,0,1).
\]
Donc
\[
\overrightarrow{OA}\wedge\overrightarrow{OB}
=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&1&1\\2&0&1\end{vmatrix}
=\vec i+\vec j-2\vec k.
\]
Conclusion. \(\boxed{\overrightarrow{OA}\wedge\overrightarrow{OB}=\vec i+\vec j-2\vec k}\).
E1 · 1bProduit vectoriel / plans
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Propriété utilisée. Deux plans sont parallèles lorsque leurs vecteurs normaux sont colinéaires.
D’après la question précédente, le vecteur \(\vec n=(1,1,-2)\) est normal au plan \((OAB)\).
Le plan \((P):x+y-2z+12=0\) admet également \(\vec n=(1,1,-2)\) comme vecteur normal. De plus, \(O\in(OAB)\) tandis que \(O\notin(P)\), car \(0+0-2\times0+12\ne0\). Les deux plans sont donc distincts.
Conclusion. \(\boxed{(P)\parallel(OAB)}\).
E1 · 1cGéométrie analytique — 1re Bac
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Acquis de 1re Bac — représentation paramétrique d’une droite. Une droite passant par un point \(A\) et dirigée par \(\vec u=(a,b,c)\) s’écrit \(M=A+t\vec u\).
La droite proposée passe par \(O(0,0,0)\) pour \(t=0\) et possède pour vecteur directeur \(\vec u=(1,1,-2)\). Or
\[
\overrightarrow{OC}=(-2,-2,4)=-2(1,1,-2),
\]
donc \(\vec u\) est colinéaire à \(\overrightarrow{OC}\).
Conclusion. Le système proposé représente bien \(\boxed{(OC)}\).
E1 · 1dProduit scalaire / orthogonalité
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Vérification par substitution.
\[
-2-2-2\times4+12=0,
\]
donc \(C\in(P)\).
Critère d’orthogonalité. Une droite est orthogonale à un plan lorsque son vecteur directeur est colinéaire à un vecteur normal du plan.
Un vecteur directeur de \((OC)\) est \((1,1,-2)\), qui est précisément un vecteur normal de \((P)\).
Conclusion. \(\boxed{C\in(P)\text{ et }(OC)\perp(P)}\).
E1 · 2aSphère tangente à un plan
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Propriété utilisée. Au point de tangence d’une sphère avec un plan, le rayon est perpendiculaire au plan tangent.
La sphère est tangente à \((P)\) au point \(C\), donc \((\Omega C)\perp(P)\). Or, d’après la question 1.d, \((OC)\perp(P)\). Par le point \(C\), il existe une unique droite perpendiculaire au plan \((P)\); ainsi \((\Omega C)=(OC)\), donc \(\Omega\in(OC)\).
En utilisant la représentation paramétrique de \((OC)\), les coordonnées de \(\Omega(a,b,c)\) vérifient
\[
a=t,\quad b=t,\quad c=-2t.
\]
Conclusion. \(\boxed{a=b\text{ et }c=-2a}\).
E1 · 2bDistance dans l’espace
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
D’après la question précédente, \(\Omega(a,a,-2a)\).
Calcul direct de la distance.
\[
O\Omega=\sqrt{a^2+a^2+(-2a)^2}=\sqrt{6a^2}=|a|\sqrt6.
\]
Conclusion. \(\boxed{O\Omega=|a|\sqrt6}\).
E1 · 2cDistance point-plan
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Distance d’un point à un plan. Si le plan a pour équation
\[
\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta=0,
\]
alors, pour tout point \(M(x_M,y_M,z_M)\),
\[
d(M,P)=\frac{|\alpha x_M+\beta y_M+\gamma z_M+\delta|}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}}.
\]
Application. Avec \(\Omega(a,a,-2a)\) et \((P):x+y-2z+12=0\),
\[
\begin{aligned}
d(\Omega,(P))
&=\frac{|a+a-2(-2a)+12|}{\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}}\\
&=\frac{|6a+12|}{\sqrt6}=|a+2|\sqrt6.
\end{aligned}
\]
Conclusion. \(\boxed{d(\Omega,(P))=|a+2|\sqrt6}\).
E1 · 2dIntersection sphère-plan
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Propriété utilisée. Si un plan coupe une sphère suivant un cercle de centre \(O\) et de rayon \(r\), alors
\[
R^2=\Omega O^2+r^2.
\]
De plus, la tangence en \(C\) donne \(R=\Omega C\).
Ici \(r=4\sqrt3\), donc
\[
\Omega C^2-\Omega O^2=r^2=48.
\]
Or \(\Omega=(a,a,-2a)\) et \(C=(-2,-2,4)\), d’où
\[
\Omega C^2=6(a+2)^2,\qquad \Omega O^2=6a^2.
\]
Ainsi
\[
6(a+2)^2-6a^2=48
\iff 24(a+1)=48
\iff a=1.
\]
Donc \(\Omega(1,1,-2)\), et
\[
R=\Omega C=|1+2|\sqrt6=3\sqrt6.
\]
Conclusion. \(\boxed{\Omega(1,1,-2)\text{ et }R=3\sqrt6}\).
CORRECTION
Exercice 2 — Nombres complexes
E2 · 1aForme algébrique
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Calcul direct. Comme \(a=\sqrt3+i\) et \(c=2\sqrt3\),
\[
\frac{a-c}{a}=\frac{-\sqrt3+i}{\sqrt3+i}
=\frac{(-\sqrt3+i)(\sqrt3-i)}{(\sqrt3+i)(\sqrt3-i)}
=\frac{-2+2i\sqrt3}{4}.
\]
Conclusion. \(\boxed{\dfrac{a-c}{a}=-\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}{2}}\).
E2 · 1bForme trigonométrique
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Définition utilisée. Un complexe non nul de module \(r\) et d’argument \(\theta\) s’écrit \(r(\cos\theta+i\sin\theta)\).
Le module vaut \(1\), et
\[
-\frac12=\cos\frac{2\pi}{3},\qquad \frac{\sqrt3}{2}=\sin\frac{2\pi}{3}.
\]
Conclusion.
\[
\boxed{-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}=\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}=e^{i2\pi/3}}.
\]
E2 · 2aTransformations complexes
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Écriture complexe d’une rotation. Une rotation de centre d’affixe \(\omega\) et d’angle \(\theta\) s’écrit
\[
z'=e^{i\theta}(z-\omega)+\omega.
\]
L’expression donnée est
\[
z'=e^{i2\pi/3}(z-a)+a.
\]
Conclusion. \(R\) est la rotation de \(\boxed{\text{centre }A\text{ et d’angle }2\pi/3}\).
E2 · 2bRotation
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Application directe. Pour \(z_O=0\),
\[
z_{R(O)}=e^{i2\pi/3}(0-a)+a=a\bigl(1-e^{i2\pi/3}\bigr).
\]
Or
\[
a e^{i2\pi/3}=(\sqrt3+i)\left(-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right)=-\sqrt3+i.
\]
Donc
\[
z_{R(O)}=(\sqrt3+i)-(-\sqrt3+i)=2\sqrt3=c.
\]
Conclusion. \(\boxed{R(O)=C}\).
E2 · 3aAffixes et alignement
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Calcul de l’image de \(B\).
\[
d=e^{i2\pi/3}(b-a)+a.
\]
Comme \(b-a=-2i\),
\[
d=\left(-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right)(-2i)+(\sqrt3+i)
=2\sqrt3+2i.
\]
Or \(d=2(\sqrt3+i)=2a\). Ainsi \(\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OA}\).
Conclusion. \(\boxed{d=2\sqrt3+2i\text{ et }O,A,D\text{ sont alignés}}\).
E2 · 3bQuotient d’affixes
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
D’après la question précédente, \(d=2(\sqrt3+i)\).
De plus,
\[
c-b=2\sqrt3-(\sqrt3-i)=\sqrt3+i.
\]
Donc
\[
\frac{c-b}{d}=\frac{\sqrt3+i}{2(\sqrt3+i)}=\frac12.
\]
Conclusion. \(\boxed{\dfrac{c-b}{d}=\dfrac12}\).
E2 · 3cModule et distance
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Distance et affixes. Si \(M(z_M)\) et \(N(z_N)\), alors \(MN=|z_N-z_M|\).
On a
\[
OB=|b|=|\sqrt3-i|=2,
\]
et
\[
DC=|c-d|=|2\sqrt3-(2\sqrt3+2i)|=|-2i|=2.
\]
Conclusion. \(\boxed{OB=DC=2}\).
E2 · 3dGéométrie complexe
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Définition utilisée. Un trapèze est isocèle lorsque ses deux côtés non parallèles ont la même longueur.
D’après 3.b,
\[
\frac{z_C-z_B}{z_D-z_O}=\frac12\in\mathbb R^*,
\]
donc \((BC)\parallel(OD)\). D’après 3.c, \(OB=DC\).
Vigilance. Les côtés égaux sont les côtés non parallèles \(OB\) et \(DC\), tandis que les bases sont \(BC\) et \(OD\).
Conclusion. \(\boxed{OBCD\text{ est un trapèze isocèle}}\).
CORRECTION
Exercice 3 — Probabilités
E3 · 1aÉquiprobabilité
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Modèle probabiliste. Les six boules physiques sont distinctes. Le tirage est successif, sans remise et l’ordre compte. Il y a donc \(6\times5=30\) issues équiprobables.
Deux boules blanches : \(4\times3=12\) issues. Deux boules noires : \(2\times1=2\) issues. Ainsi \(A\) contient \(14\) issues.
Conclusion.
\[
\boxed{p(A)=\frac{14}{30}=\frac7{15}}.
\]
E3 · 1bDénombrement
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Modèle probabiliste. Les six boules physiques sont distinctes. Le tirage est successif, sans remise et l’ordre compte. Il y a donc \(6\times5=30\) issues équiprobables.
La somme vaut \(2\) uniquement lorsque les deux boules portent le numéro \(1\). Il existe trois boules numérotées \(1\); on peut en choisir successivement deux de \(3\times2=6\) façons.
Conclusion.
\[
\boxed{p(B)=\frac6{30}=\frac15}.
\]
E3 · 2Probabilité conditionnelle
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Probabilité conditionnelle. Si \(p(A)\ne0\), alors
\[
p(B/A)=\frac{p(A\cap B)}{p(A)}.
\]
Pour réaliser simultanément \(A\) et \(B\), il faut tirer les deux boules blanches numérotées \(1\). L’ordre pouvant être inversé, cela donne \(2\) issues. Ainsi
\[
p(A\cap B)=\frac2{30}=\frac1{15}.
\]
D’après 1.a, \(p(A)=7/15\).
Conclusion.
\[
\boxed{p(B/A)=\frac{1/15}{7/15}=\frac17}.
\]
E3 · 3aVariable aléatoire
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Variable aléatoire discrète. Pour chaque valeur \(x_i\), on calcule la probabilité de l’événement \(X=x_i\).
Il y a trois boules portant \(0\) et trois boules portant \(1\).
- \(X=0\) : deux zéros, soit \(3\times2=6\) issues ;
- \(X=2\) : deux uns, soit \(3\times2=6\) issues ;
- \(X=1\) : un zéro et un un, dans les deux ordres, soit \(2\times3\times3=18\) issues.
Loi de \(X\).
| \(x_i\) | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| \(p(X=x_i)\) | \(1/5\) | \(3/5\) | \(1/5\) |
E3 · 3bEspérance
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Définition de l’espérance. \(E(X)=\sum x_i p(X=x_i)\).
D’après la loi obtenue en 3.a,
\[
E(X)=0\times\frac15+1\times\frac35+2\times\frac15=1.
\]
Conclusion. \(\boxed{E(X)=1}\).
CORRECTION
Problème — Partie I
P · I · 1aFonction exponentielle
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Propriété utilisée. La fonction exponentielle est injective et \(e^u=1\iff u=0\).
\[
g(x)=0\iff e^{2x}=1\iff 2x=0\iff x=0.
\]
Conclusion. \(\boxed{S=\{0\}}\).
P · I · 1bSigne de l’exponentielle
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Propriété utilisée. La fonction exponentielle est strictement croissante et \(e^0=1\).
Si \(x<0\), alors \(2x<0\), donc \(e^{2x}<1\) et \(g(x)<0\). Si \(x>0\), alors \(e^{2x}>1\) et \(g(x)>0\).
Conclusion. \(\boxed{g<0\text{ sur }]-\infty\,;\,0[\text{ et }g>0\text{ sur }]0\,;\,+\infty[}\).
P · I · 2Calcul intégral
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
D’après la question précédente,
\[
|g(x)|=\begin{cases}1-e^{2x},&x\in[-\ln2\,;\,0],\\e^{2x}-1,&x\in[0\,;\,\ln2].\end{cases}
\]
Relation de Chasles. On partage l’intégrale au point où \(g\) change de signe.
\[
\begin{aligned}
I&=\int_{-\ln2}^{0}(1-e^{2x})\,dx+\int_0^{\ln2}(e^{2x}-1)\,dx\\
&=\left[x-\frac12e^{2x}\right]_{-\ln2}^{0}
+\left[\frac12e^{2x}-x\right]_{0}^{\ln2}\\
&=\left(\ln2-\frac38\right)+\left(\frac32-\ln2\right)=\frac98.
\end{aligned}
\]
Conclusion. \(\boxed{\displaystyle\int_{-\ln2}^{\ln2}|g(x)|\,dx=\frac98}\).
CORRECTION
Problème — Partie II
P · II · 1Logarithme
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Condition d’existence du logarithme. Il faut vérifier que son argument est strictement positif.
Pour tout \(x\in\mathbb R\), \(e^{-2x}>0\), donc \(1+e^{-2x}>1>0\).
Conclusion. \(\boxed{D_f=\mathbb R}\).
P · II · 2aParité
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Transformation algébrique. Pour tout \(x\in\mathbb R\),
\[
\begin{aligned}
f(-x)&=-x-\ln2+\ln(1+e^{2x})\\
&=-x-\ln2+\ln\bigl(e^{2x}(1+e^{-2x})\bigr)\\
&=-x-\ln2+2x+\ln(1+e^{-2x})=f(x).
\end{aligned}
\]
Conclusion. \(\boxed{f(-x)=f(x)}\) pour tout \(x\), donc \(f\) est paire.
P · II · 2bLimites
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Lorsque \(x\to+\infty\), on a \(e^{-2x}\to0\), donc \(1+e^{-2x}\to1\).
Continuité du logarithme. La fonction \(\ln\) est continue sur \(]0\,;\,+\infty[\), en particulier en \(1\). Ainsi
\[
\ln(1+e^{-2x})\longrightarrow\ln1=0.
\]
Comme \(x-\ln2\to+\infty\), on obtient
\[
f(x)=x-\ln2+\ln(1+e^{-2x})\longrightarrow+\infty.
\]
D’après la parité, \(f(x)=f(-x)\). Lorsque \(x\to-\infty\), alors \(-x\to+\infty\), donc \(f(x)=f(-x)\to+\infty\).
Conclusion.
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty}.
\]
P · II · 3aAsymptote oblique
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Définition utilisée. La droite \(y=ax+b\) est asymptote à \(\mathcal C_f\) en \(+\infty\) si \(f(x)-(ax+b)\to0\).
\[
f(x)-(x-\ln2)=\ln(1+e^{-2x})\longrightarrow0.
\]
Conclusion. \(\boxed{\Delta:y=x-\ln2\text{ est asymptote en }+\infty}\).
P · II · 3bSymétrie
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
D’après 2.a, \(\mathcal C_f\) est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
La symétrique de la droite \(\Delta:y=x-\ln2\) par rapport à l’axe des ordonnées est la droite \(\Delta':y=-x-\ln2\).
Conclusion. \(\boxed{\Delta':y=-x-\ln2\text{ est asymptote en }-\infty}\).
P · II · 4aDérivation
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Règles de dérivation utilisées. Si \(u\) est dérivable et strictement positive, alors
\[
(\ln u)'=\frac{u'}{u}.
\]
Si \(u\) est dérivable, alors
\[
(e^u)'=u'e^u.
\]
Vérification des hypothèses. La fonction \(u(x)=1+e^{-2x}\) est dérivable sur \(\mathbb R\) et \(u(x)>0\) pour tout \(x\in\mathbb R\).
Application.
\[
\begin{aligned}
f'(x)
&=1+\frac{-2e^{-2x}}{1+e^{-2x}}\\
&=\frac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}\\
&=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}.
\end{aligned}
\]
Or \(g(x)=e^{2x}-1\).
Conclusion.
\[
\boxed{f'(x)=\frac{g(x)}{1+e^{2x}}}.
\]
P · II · 4bVariations
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
D’après la Partie I, \(g(x)<0\) pour \(x<0\), \(g(0)=0\) et \(g(x)>0\) pour \(x>0\).
Comme \(1+e^{2x}>0\) pour tout \(x\in\mathbb R\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \(g(x)\).
Théorème de monotonie. Si une fonction est dérivable sur un intervalle et si sa dérivée y est strictement négative, alors elle y est strictement décroissante. Si sa dérivée y est strictement positive, alors elle y est strictement croissante.
Conclusion. \(\boxed{f\text{ est strictement décroissante sur }]-\infty\,;\,0]\text{ et strictement croissante sur }[0\,;\,+\infty[}\).
P · II · 5aÉquation logarithmique
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Propriété utilisée. La fonction \(\ln\) est injective sur \(]0\,;\,+\infty[\) : pour \(u>0\) et \(v>0\),
\[
\ln u=\ln v\iff u=v.
\]
Vérification des hypothèses. Pour tout \(x\in\mathbb R\), \(1+e^{-2x}>0\), et \(2>0\).
Application.
\[
\begin{aligned}
f(x)=x
&\iff -\ln2+\ln(1+e^{-2x})=0\\
&\iff \ln(1+e^{-2x})=\ln2\\
&\iff 1+e^{-2x}=2\\
&\iff e^{-2x}=1\\
&\iff -2x=0\\
&\iff x=0.
\end{aligned}
\]
Conclusion. \(\boxed{S=\{0\}}\).
P · II · 5bMonotonie de ln
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Monotonie du logarithme. La fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\).
Si \(x\ge0\), alors \(e^{-2x}\le1\), donc \(1+e^{-2x}\le2\). Ainsi
\[
\ln(1+e^{-2x})\le\ln2.
\]
Par conséquent,
\[
f(x)=x-\ln2+\ln(1+e^{-2x})\le x.
\]
Conclusion. \(\boxed{f(x)\le x\text{ pour tout }x\ge0}\).
P · II · 5cPosition relative
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Différence des ordonnées.
\[
f(x)-(x-\ln2)=\ln(1+e^{-2x}).
\]
Comme \(1+e^{-2x}>1\), on a \(\ln(1+e^{-2x})>0\).
Conclusion. \(\boxed{\mathcal C_f\text{ est strictement au-dessus de }\Delta\text{ sur }[0\,;\,+\infty[}\).
P · II · 5dEncadrement
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Encadrement de l’exponentielle. Pour \(x\ge0\), on a \(-2x\le0\). Comme la fonction exponentielle est strictement croissante et \(e^0=1\),
\[
0\lt e^{-2x}\le1.
\]
Par conséquent,
\[
1\lt1+e^{-2x}\le2.
\]
Application de la croissance de \(\ln\). La fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\), et \(\ln1=0\). Ainsi
\[
0\lt\ln(1+e^{-2x})\le\ln2.
\]
Or
\[
f(x)-(x-\ln2)=\ln(1+e^{-2x}).
\]
Conclusion.
\[
\boxed{0\le f(x)-(x-\ln2)\le\ln2}.
\]
P · II · 6aTracé et symétrie
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
D’après 2.a, la courbe \(\mathcal C_f\) est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
On construit donc la branche gauche comme symétrique de la branche droite. On trace également \(\Delta':y=-x-\ln2\), symétrique de \(\Delta\).
La branche gauche est l’image de la branche droite par symétrie d’axe Oy. Les droites Δ et Δ′ sont les asymptotes.
Conclusion. La courbe complète est paire, passe par \(O(0,0)\) et se rapproche de \(\Delta\) en \(+\infty\) et de \(\Delta'\) en \(-\infty\).
P · II · 6bCalcul d’aire
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Aire entre deux courbes. Si la courbe de \(f\) est au-dessus de celle de \(h\) sur \([a\,;\,b]\), alors l’aire vaut \(\int_a^b(f-h)\,dx\).
D’après 5.c et 5.d, sur \([0\,;\,1]\),
\[
0\le f(x)-(x-\ln2)\le\ln2.
\]
\[
\mathcal A=\int_0^1\bigl[f(x)-(x-\ln2)\bigr]\,dx.
\]
Par conservation de l’ordre par intégration,
\[
0\le\mathcal A\le\int_0^1\ln2\,dx=\ln2.
\]
Conclusion. \(\boxed{0\le\mathcal A\le\ln2}\).
P · II · 7aThéorème de la bijection
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Théorème de la bijection. Toute fonction continue et strictement monotone sur un intervalle \(I\) réalise une bijection de \(I\) sur son image.
Continuité. Les fonctions \(x\mapsto e^{-2x}\) et \(x\mapsto1+e^{-2x}\) sont continues sur \(\mathbb R\). Comme \(1+e^{-2x}>0\), la fonction \(x\mapsto\ln(1+e^{-2x})\) est continue sur \(\mathbb R\). Ainsi \(\varphi\), restriction de \(f\), est continue sur \([0\,;\,+\infty[\).
Monotonie et image. D’après 4.b, \(\varphi\) est strictement croissante sur \([0\,;\,+\infty[\). De plus,
\[
\varphi(0)=0
\qquad\text{et}\qquad
\lim_{x\to+\infty}\varphi(x)=+\infty.
\]
Par conséquent,
\[
\varphi([0\,;\,+\infty[)=[0\,;\,+\infty[.
\]
Conclusion. \(\boxed{\varphi\text{ est bijective de }[0\,;\,+\infty[\text{ sur }J=[0\,;\,+\infty[}\). Sa fonction réciproque \(\varphi^{-1}\) est donc définie sur \(J\).
P · II · 7bFonction réciproque
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Définition de la fonction réciproque. \(\varphi^{-1}(y)=x\iff\varphi(x)=y\).
\[
\begin{aligned}
\varphi(\ln2)
&=\ln2-\ln2+\ln\left(1+e^{-2\ln2}\right)\\
&=\ln\left(1+\frac14\right)=\ln\frac54.
\end{aligned}
\]
Conclusion. \(\boxed{\varphi^{-1}(\ln(5/4))=\ln2}\).
P · II · 7cDérivée de la réciproque
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Théorème de dérivation de la réciproque. Si \(\varphi\) est dérivable en \(x_0\) et \(\varphi'(x_0)\ne0\), alors
\[
(\varphi^{-1})'(\varphi(x_0))=\frac1{\varphi'(x_0)}.
\]
D’après 7.b, \(x_0=\ln2\) et \(\varphi(x_0)=\ln(5/4)\).
En utilisant 4.a,
\[
\varphi'(\ln2)=\frac{e^{2\ln2}-1}{1+e^{2\ln2}}=\frac{4-1}{1+4}=\frac35\ne0.
\]
Conclusion.
\[
\boxed{(\varphi^{-1})'(\ln(5/4))=\frac1{3/5}=\frac53}.
\]
CORRECTION
Problème — Partie III
P · III · 1Récurrence
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Principe de récurrence. On vérifie la propriété au rang initial, puis on montre qu’elle est héréditaire.
Initialisation. \(u_0=\ln2\), donc \(0\le u_0\le\ln2\).
Hérédité. Supposons \(0\le u_n\le\ln2\). Comme \(f\) est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\),
\[
f(0)\le f(u_n).
\]
Or \(f(0)=0\). De plus, d’après II.5.b,
\[
f(u_n)\le u_n\le\ln2.
\]
Ainsi \(0\le u_{n+1}=f(u_n)\le\ln2\).
Conclusion. Par récurrence,
\[
\boxed{0\le u_n\le\ln2\quad(\forall n\in\mathbb N)}.
\]
P · III · 2Monotonie d’une suite
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
D’après la question précédente, \(u_n\ge0\). D’après II.5.b, pour tout \(x\ge0\), \(f(x)\le x\).
En prenant \(x=u_n\),
\[
u_{n+1}=f(u_n)\le u_n.
\]
Conclusion. \(\boxed{(u_n)\text{ est décroissante}}\).
P · III · 3Suites récurrentes
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Théorème de convergence des suites monotones. Toute suite décroissante et minorée est convergente.
La suite \((u_n)\) est décroissante d’après la question 2 et minorée par \(0\) d’après la question 1. Elle converge donc vers un réel \(\ell\ge0\).
Passage à la limite dans la relation de récurrence. Puisque \(u_n\to\ell\), la suite décalée \((u_{n+1})\) converge également vers \(\ell\). De plus, \(f\) est continue sur \(\mathbb R\), donc
\[
f(u_n)\longrightarrow f(\ell).
\]
Comme \(u_{n+1}=f(u_n)\), on obtient
\[
\ell=f(\ell).
\]
D’après II.5.a, l’unique solution de \(f(x)=x\) est \(0\). Ainsi \(\ell=0\).
Conclusion.
\[
\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=0}.
\]
Commentaires
Enregistrer un commentaire