Parcours Maths Maroc — PMM
Professeur Hammou Boudraa · Lycée Oum Rabiaâ — M'Rirt
Calcul vectoriel dans le plan
Cours de mathématiques — Tronc Commun Scientifique. Définitions, activités de découverte, propriétés, représentations géométriques et applications corrigées.
I.Vecteurs dans le plan
1.1. Définition d'un vecteur
Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts du plan. Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est caractérisé par :
- sa direction, celle de la droite \((AB)\) ;
- son sens, de \(A\) vers \(B\) ;
- sa norme, égale à la distance \(AB\), notée \(\|\overrightarrow{AB}\|=AB\).
Le vecteur nul a une norme nulle et se note \(\vec 0\). En particulier, \(\overrightarrow{AA}=\vec 0\).
Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BA}\) ont la même direction et la même norme, mais des sens opposés :
1.2. Égalité de deux vecteurs
Placer trois points non alignés \(A\), \(B\) et \(C\). Construire un point \(D\) tel que \(\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}\).
- Comparer les directions et les sens de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\).
- Comparer leurs normes.
- Quelle est la nature du quadrilatère \(ABDC\) ?
Deux vecteurs non nuls sont égaux lorsqu'ils ont la même direction, le même sens et la même norme.
Deux vecteurs peuvent avoir la même norme sans être égaux : leur direction ou leur sens peuvent différer.
1.3. Somme de deux vecteurs — Relation de Chasles
Choisir trois points \(M\), \(N\) et \(P\). Effectuer le déplacement de \(M\) vers \(N\), puis celui de \(N\) vers \(P\). Identifier le vecteur représentant le déplacement total.
Pour tous points \(A\), \(B\) et \(C\) du plan :
Pour quatre points \(P\), \(Q\), \(R\) et \(S\) :
On applique successivement la relation de Chasles.
II.Parallélogramme et vecteurs
Soient \(A\), \(B\) et \(D\) trois points non alignés. Construire \(C\) tel que \(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}\).
- Comparer les côtés \([AB]\) et \([DC]\).
- Vérifier que \(ABCD\) est un parallélogramme.
- Exprimer \(\overrightarrow{AC}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AD}\).
Un quadrilatère convexe \(ABCD\) est un parallélogramme lorsque ses côtés opposés sont parallèles : \((AB)\parallel(CD)\) et \((AD)\parallel(BC)\).
Pour quatre points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) formant un quadrilatère convexe, les propriétés suivantes sont équivalentes :
- \(ABCD\) est un parallélogramme ;
- \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) ;
- \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\).
Dans la caractérisation du parallélogramme, l'ordre des lettres est déterminant : on écrit \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\), et non \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\).
III.Multiplication par un réel et colinéarité
3.1. Multiplier un vecteur par un nombre réel
Tracer un segment \([AB]\) de longueur \(4\,\mathrm{cm}\). Construire les points \(M\) et \(N\) tels que :
- Comparer les directions et les sens des vecteurs obtenus.
- Déterminer les distances \(AM\) et \(AN\).
Soient \(\vec u\) un vecteur non nul et \(k\) un réel non nul. Le vecteur \(k\vec u\) :
- a la même direction que \(\vec u\) ;
- a le même sens si \(k>0\), et le sens contraire si \(k<0\) ;
- a pour norme :
Pour \(k=0\), on pose \(0\vec u=\vec 0\). En particulier, \((-1)\vec u=-\vec u\).
Soient trois points non alignés \(A\), \(B\) et \(C\), et les vecteurs \(\vec u=\overrightarrow{AB}\), \(\vec v=\overrightarrow{AC}\).
- Construire \(D\) tel que \(\overrightarrow{AD}=2\vec u\).
- Construire \(E\) tel que \(\overrightarrow{DE}=\frac12\vec v\).
- Avec la relation de Chasles, écrire \(\overrightarrow{AE}\) en fonction de \(\vec u\) et \(\vec v\).
Pour tous réels \(a\), \(b\) et tous vecteurs \(\vec u\), \(\vec v\) :
Ces propriétés permettent de développer et de regrouper des expressions vectorielles.
3.2. Colinéarité de deux vecteurs — Alignement de trois points
Dans un triangle \(ABC\), on définit les points \(D\) et \(E\) par :
- Exprimer \(\overrightarrow{DE}\) en fonction de \(\overrightarrow{BC}\).
- En utilisant Chasles, montrer que \(\overrightarrow{AE}=\frac23\overrightarrow{AC}\).
- En déduire la position des points \(A\), \(E\) et \(C\).
Deux vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\), avec \(\vec v\ne\vec 0\), sont colinéaires lorsqu'il existe un réel \(k\) tel que :
Le réel \(k\) est appelé coefficient de colinéarité.
Trois points \(A\), \(B\) et \(C\), avec \(A\ne B\), sont alignés lorsque \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AB}\) sont colinéaires.
Deux vecteurs non nuls sont colinéaires exactement lorsqu'ils possèdent la même direction.
Le vecteur nul est colinéaire avec tout vecteur.
Reprenons l'activité 6. Par Chasles :
Les vecteurs \(\overrightarrow{AE}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires : les points \(A\), \(E\) et \(C\) sont alignés.
Si \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}\) avec \(k>0\), les vecteurs ont le même sens. Si \(k<0\), ils sont de sens contraires. Le simple fait que les points \(A\), \(B\) et \(M\) soient alignés ne suffit pas à déterminer le signe de \(k\).
Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts. On considère sur la droite \((AB)\) le repère \((A,B)\). Pour tout point \(M\) de cette droite, son abscisse \(x\) vérifie :
Si \(x>0\), \(M\) se situe du côté de \(B\) par rapport à \(A\). Si \(x<0\), il se situe de l'autre côté de \(A\).
IV.Milieu d'un segment
4.1. Définition et caractérisations vectorielles
Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts. Un point \(I\) est le milieu du segment \([AB]\) lorsque \(I\in[AB]\) et \(IA=IB\).
La traduction vectorielle est :
Pour deux points distincts \(A\), \(B\), les écritures suivantes caractérisent le milieu \(I\) du segment \([AB]\) :
L'égalité \(IA=IB\) signifie seulement que \(I\) est à égale distance de \(A\) et de \(B\). Sans la condition \(I\in[AB]\), elle ne suffit pas pour affirmer que \(I\) est le milieu de \([AB]\).
4.2. Propriété caractéristique du milieu et application
Soient \(B\), \(C\) deux points distincts, \(I\) le milieu de \([BC]\) et \(M\) un point du plan.
- Écrire \(\overrightarrow{MB}\) puis \(\overrightarrow{MC}\) en faisant intervenir le point \(I\).
- Calculer \(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\).
- En déduire une expression de \(\overrightarrow{MI}\).
Soient \(B\) et \(C\) deux points distincts. Le point \(I\) est le milieu de \([BC]\) si et seulement si, pour tout point \(M\) du plan :
En particulier, avec \(M=A\) :
Si \(I\) est le milieu de \([BC]\), on a \(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\vec0\). La relation de Chasles donne :
Réciproquement, si l'égalité est vraie pour tout point \(M\), on choisit \(M=I\). On obtient \(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\vec0\), ce qui caractérise le milieu de \([BC]\).
Soit \(ABCD\) un parallélogramme et \(I\) le milieu de \([AC]\).
- Exprimer \(\overrightarrow{BI}\) en fonction de \(\overrightarrow{BA}\) et \(\overrightarrow{BC}\).
- Exprimer \(\overrightarrow{BD}\) avec ces deux mêmes vecteurs.
- Montrer que \(I\) est aussi le milieu de \([BD]\).
Les diagonales d'un parallélogramme ont le même milieu.
Puisque \(I\) est le milieu de \([AC]\) :
Or, dans le parallélogramme \(ABCD\), on a :
Par conséquent :
Donc \(I\) est également le milieu de \([BD]\).
Applications du cours — Énoncés et corrections
Les applications suivantes réinvestissent, dans l'ordre, les notions du chapitre. Ouvrir chaque correction après avoir cherché l'énoncé.
On considère quatre points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), avec \(AB=3\,\mathrm{cm}\), tels que :
Exprimer \(\overrightarrow{CD}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\), puis calculer \(CD\).
Afficher la correction
Par Chasles :
Alors :
Le coefficient est négatif. La norme vaut donc :
Soit \(ABC\) un triangle. Construire \(D\) vérifiant \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\), puis déterminer la nature de \(ABCD\).
Afficher la correction
Par Chasles :
Le triangle \(ABC\) étant non aplati, le quadrilatère \(ABCD\) est convexe et \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\).
Soit \(ABC\) un triangle. On définit \(E\) et \(F\) par :
Montrer que \(A\), \(E\) et \(F\) sont alignés.
Afficher la correction
Les vecteurs \(\overrightarrow{AF}\) et \(\overrightarrow{AE}\) sont colinéaires. Les points \(A\), \(E\) et \(F\) sont donc alignés.
Dans un triangle \(ABC\), \(I\) est le milieu de \([BC]\). Les points \(E\) et \(F\) vérifient :
Montrer que \(A\), \(I\), \(E\) et \(F\) sont alignés et que \(I\) est le milieu de \([AE]\).
Afficher la correction
La propriété du milieu donne \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}\). Donc :
Ces vecteurs sont colinéaires : les quatre points sont alignés. Enfin \(\overrightarrow{AI}=\frac12\overrightarrow{AE}\), donc \(I\) est le milieu de \([AE]\).
Soit \(ABC\) un triangle. On construit \(E\) et \(F\) tels que :
Montrer que \(ABEC\) est un parallélogramme et que \(C\) est le milieu de \([EF]\).
Afficher la correction
La première égalité traduit \(\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AC}\) : les côtés opposés correspondants sont égaux, donc \(ABEC\) est un parallélogramme.
Dans ce parallélogramme, \(\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{BA}\). Par hypothèse, \(\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{BA}\). Ainsi :
Donc \(C\) est le milieu de \([EF]\).
Soit \(ABCD\) un parallélogramme. Les points \(I\) et \(J\) sont les milieux respectifs de \([AD]\) et \([BC]\).
- Montrer que \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{BJ}\).
- En déduire que \(ABJI\) est un parallélogramme, puis exprimer \(\overrightarrow{IJ}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\).
Afficher la correction
Puisque \(I\) et \(J\) sont les milieux indiqués :
Dans le parallélogramme \(ABCD\), on a \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\). D'où :
Le quadrilatère \(ABJI\) est donc un parallélogramme. Ses côtés opposés donnent :
Soit \(ABC\) un triangle. Les points \(E\) et \(F\) sont définis par :
Montrer que \(A\), \(E\) et \(F\) sont alignés.
Afficher la correction
En utilisant Chasles :
Les vecteurs \(\overrightarrow{AE}\) et \(\overrightarrow{AF}\) sont colinéaires : \(A\), \(E\) et \(F\) sont alignés.
Rappel. Une médiane d’un triangle est la droite joignant un sommet au milieu du côté opposé.
Dans un triangle \(ABC\), \(I\), \(J\), \(K\) sont les milieux respectifs de \([BC]\), \([AC]\), \([AB]\). On choisit \(G\in[AI]\) tel que \(\overrightarrow{AG}=\frac23\overrightarrow{AI}\).
- Exprimer \(\overrightarrow{AG}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
- Montrer que \(\overrightarrow{BG}=\frac23\overrightarrow{BJ}\).
- Montrer que \(G\) appartient aussi à la droite \((CK)\). Conclure.
Afficher la correction
Comme \(I\) est le milieu de \([BC]\), on a :
Par Chasles :
Or \(J\) est le milieu de \([AC]\), donc \(\overrightarrow{BJ}=-\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AC}\). D'où :
De même, puisque \(K\) est le milieu de \([AB]\) :
Ainsi \(G\in(BJ)\) et \(G\in(CK)\). Comme \(G\in(AI)\), les trois médianes sont concourantes en \(G\).
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