Calcul vectoriel dans le plan — Corrections des exercices 1 à 6
Les exercices de niveau intermédiaire, corrigés étape par étape à partir des propriétés du cours.
I. Niveau intermédiaire
Exercice 1 — Une construction et deux milieux
Soit \(ABC\) un triangle et \(I\) le milieu de \([BC]\). On cherche le point \(E\) tel que \[2\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}=\vec{0}.\]
Question 1
Exprimer \(\overrightarrow{AE}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\). Expliquer pourquoi la relation définit un seul point \(E\).
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1. Déterminer \(E\) et justifier l’unicité.
Rappel — Relation de Chasles. Pour tous points \(X,Y,Z\) : \(\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{YZ}=\overrightarrow{XZ}\).
En faisant intervenir \(A\) dans chaque vecteur :
\[\overrightarrow{EA}=-\overrightarrow{AE},\quad \overrightarrow{EB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AE},\quad \overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AE}.\]
La relation proposée devient :
\[-4\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\vec{0},\]
soit
\[\boxed{\overrightarrow{AE}=\frac14(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})}.\]
Le vecteur \(\overrightarrow{AE}\) étant fixé, un seul point \(E\) satisfait cette égalité.
Question 2
Montrer que \(E\) est le milieu de \([AI]\), puis le construire.
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2. Construire \(E\).
Rappel — Milieu. Si \(I\) est le milieu de \([BC]\), alors \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}\).
Ainsi \(\overrightarrow{AE}=\frac12\overrightarrow{AI}\) : \(E\) est le milieu de \([AI]\). On construit d’abord \(I\), puis le milieu de \([AI]\).
Question 3
Le point \(F\) est le symétrique de \(E\) par rapport à \(I\). Exprimer \(\overrightarrow{AF}\) en fonction de \(\overrightarrow{AE}\) et préciser l’ordre de \(A\), \(E\), \(I\), \(F\) sur leur droite.
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3. Construire \(F\) et préciser l’ordre des points.
La symétrie de centre \(I\) donne \(\overrightarrow{IF}=-\overrightarrow{IE}=\overrightarrow{EI}\). Par Chasles :
\[\begin{aligned}\overrightarrow{AF}&=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IF}\\&=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{EI}\\&=2\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AE}=3\overrightarrow{AE}.\end{aligned}\]
Comme \(\overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{AE}\) et \(\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{AE}\), ces vecteurs ont le même sens, et l’ordre est \(A,E,I,F\).
Question 4
Montrer que, pour tout point \(M\) du plan, \(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{ME}\).
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4. Établir l’identité pour tout \(M\).
En décomposant les vecteurs par \(E\) :
\[\begin{aligned}2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}&=4\overrightarrow{ME}+(2\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC})\\&=\boxed{4\overrightarrow{ME}}.\end{aligned}\]
La dernière parenthèse est nulle par définition de \(E\) ; le résultat vaut pour tout point \(M\).
Exercice 2 — Une intersection et un parallélogramme
Soit \(ABC\) un triangle. Les points \(E\), \(F\) et \(D\) sont définis par \[\overrightarrow{AE}=\frac35\overrightarrow{AB}+\frac25\overrightarrow{AC},\qquad \overrightarrow{AF}=\frac32\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC},\qquad \overrightarrow{AD}=\frac32\overrightarrow{AB}.\]
Question 1
Construire \(D\) et \(F\), puis montrer que \(ADFC\) est un parallélogramme.
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1. Construire \(D\) et \(F\) ; reconnaître \(ADFC\).
La relation \(\overrightarrow{AD}=\frac32\overrightarrow{AB}\) place \(D\) sur la demi-droite \([AB)\), au-delà de \(B\). Par Chasles :
\[\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AF}=-\frac32\overrightarrow{AB}+\frac32\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}.\]
Rappel — Parallélogramme. Un quadrilatère est un parallélogramme si deux côtés opposés ont des vecteurs égaux, correctement orientés.
Comme \(\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{AC}\), \(ADFC\) est un parallélogramme. Pour construire \(F\), on transporte \(\overrightarrow{AC}\) à partir de \(D\).
Question 2
Exprimer \(\overrightarrow{BE}\) en fonction de \(\overrightarrow{BC}\). En déduire que \(E\) appartient à \([BC]\).
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2. Situer \(E\) sur \([BC]\).
\[\begin{aligned}\overrightarrow{BE}&=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}\\&=-\overrightarrow{AB}+\frac35\overrightarrow{AB}+\frac25\overrightarrow{AC}\\&=\frac25(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\boxed{\frac25\overrightarrow{BC}}.\end{aligned}\]
Le coefficient \(\frac25\) est compris entre \(0\) et \(1\) : \(E\in[BC]\).
Question 3
Montrer que \(A\), \(E\) et \(F\) sont alignés. Quel point est l’intersection des droites \((AF)\) et \((BC)\) ?
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3. Déterminer l’intersection.
\[\frac52\overrightarrow{AE}=\frac32\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AF}.\]
Les points \(A,E,F\) sont alignés. De plus, \(E\in(BC)\). Comme \(ABC\) est un triangle, \(A\notin(BC)\) ; les droites \((AF)\) et \((BC)\) sont donc distinctes et leur unique intersection est \(E\).
Question 4
Si \(BC=10\,\mathrm{cm}\), calculer \(BE\) et \(EC\), puis construire \(E\).
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4. Utiliser la longueur \(BC=10\,\mathrm{cm}\).
Comme \(E\in[BC]\) :
\[BE=\frac25\times10=\boxed{4\,\mathrm{cm}},\qquad EC=10-4=\boxed{6\,\mathrm{cm}}.\]
On place \(E\) sur \([BC]\) à \(4\,\mathrm{cm}\) de \(B\).
Exercice 3 — Aligner puis démontrer un parallélisme
Soit \(ABC\) un triangle et \(I\) le milieu de \([AB]\). On définit \(D\), \(E\) et \(F\) par \[\overrightarrow{BD}=\frac52\overrightarrow{BA}+4\overrightarrow{CB},\qquad \overrightarrow{AE}=5\overrightarrow{AB},\qquad \overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\frac45\overrightarrow{AC}.\]
Question 1
Construire les points et montrer que \(\overrightarrow{AD}=\dfrac52\overrightarrow{AB}-4\overrightarrow{AC}\).
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1. Exprimer \(\overrightarrow{AD}\).
Par Chasles, \(\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\). Donc :
\[\begin{aligned}\overrightarrow{BD}&=\frac52(-\overrightarrow{AB})+4(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})\\&=\frac32\overrightarrow{AB}-4\overrightarrow{AC},\\\overrightarrow{AD}&=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\boxed{\frac52\overrightarrow{AB}-4\overrightarrow{AC}}.\end{aligned}\]
Ces expressions permettent les constructions par sommes et multiples de vecteurs.
Question 2
Exprimer \(\overrightarrow{ID}\) en fonction de \(\overrightarrow{IC}\). En déduire l’alignement de \(I\), \(C\) et \(D\), et préciser lequel est entre les deux autres.
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2. Aligner \(I,C,D\) et déterminer leur ordre.
Puisque \(I\) est le milieu de \([AB]\) :
\[\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AC}=-\frac12\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}.\]
De même :
\[\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}-4\overrightarrow{AC}=\boxed{-4\overrightarrow{IC}}.\]
Rappel — Colinéarité. Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si l’un est un multiple réel de l’autre. Un coefficient négatif signifie des sens contraires.
Les points \(I,C,D\) sont alignés. Les vecteurs \(\overrightarrow{IC}\) et \(\overrightarrow{ID}\) ont des sens opposés : \(I\) est entre \(D\) et \(C\).
Question 3
Exprimer \(\overrightarrow{DE}\) et \(\overrightarrow{IF}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
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3. Calculer \(\overrightarrow{DE}\) et \(\overrightarrow{IF}\).
\[\begin{aligned}\overrightarrow{DE}&=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AE}=\frac52\overrightarrow{AB}+4\overrightarrow{AC},\\\overrightarrow{IF}&=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AF}=\frac12\overrightarrow{AB}+\frac45\overrightarrow{AC}.\end{aligned}\]
Question 4
Montrer que les droites \((DE)\) et \((IF)\) sont parallèles. Sont-elles distinctes ? Justifier.
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4. Étudier les droites \((DE)\) et \((IF)\).
On constate que \(\overrightarrow{DE}=5\overrightarrow{IF}\). Les vecteurs sont non nuls, car \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ne sont pas colinéaires. Ainsi \((DE)\parallel(IF)\).
Pour vérifier qu’elles sont distinctes, on observe :
\[\overrightarrow{IE}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AE}=\frac92\overrightarrow{AB}.\]
Si \(E\) appartenait à \((IF)\), \(\overrightarrow{IE}\) et \(\overrightarrow{IF}\) seraient colinéaires ; or \(\overrightarrow{IF}\) possède une composante non nulle suivant \(\overrightarrow{AC}\), contrairement à \(\overrightarrow{IE}\). Cela contredirait la non-colinéarité de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\). Les deux droites sont donc parallèles et distinctes.
Exercice 4 — Des côtés parallèles, sans parallélogramme
Soit \(ABCD\) un parallélogramme. Les points \(I\) et \(J\) sont les milieux de \([AB]\) et \([CD]\). On définit \(E\) et \(F\) par \[\overrightarrow{DE}=\frac35\overrightarrow{DI},\qquad \overrightarrow{BF}=\frac45\overrightarrow{BJ}.\]
Question 1
Construire \(E\) et \(F\). Exprimer \(\overrightarrow{AE}\) et \(\overrightarrow{AF}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AD}\).
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1. Calculer \(\overrightarrow{AE}\) et \(\overrightarrow{AF}\).
Dans \(ABCD\), on a \(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\). Les milieux donnent :
\[\overrightarrow{AI}=\frac12\overrightarrow{AB},\qquad\overrightarrow{AJ}=\frac12\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}.\]
Par Chasles :
\[\overrightarrow{DI}=\frac12\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD},\qquad\overrightarrow{BJ}=-\frac12\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}.\]
D’où :
\[\begin{aligned}\overrightarrow{AE}&=\overrightarrow{AD}+\frac35\overrightarrow{DI}=\boxed{\frac3{10}\overrightarrow{AB}+\frac25\overrightarrow{AD}},\\\overrightarrow{AF}&=\overrightarrow{AB}+\frac45\overrightarrow{BJ}=\boxed{\frac35\overrightarrow{AB}+\frac45\overrightarrow{AD}}.\end{aligned}\]
Les coefficients \(\frac35\) et \(\frac45\) permettent aussi de placer \(E\in[DI]\) et \(F\in[BJ]\).
Question 2
Montrer que \(E\) est le milieu de \([AF]\).
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2. Reconnaître un milieu.
On lit \(\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{AE}\), donc \(\overrightarrow{AE}=\frac12\overrightarrow{AF}\). \(E\) est le milieu de \([AF]\).
Question 3
Comparer \(\overrightarrow{DE}\) et \(\overrightarrow{BF}\). En déduire un parallélisme et exprimer la longueur \(BF\) en fonction de \(DE\).
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3. Comparer les côtés \(DE\) et \(BF\).
\[\begin{aligned}\overrightarrow{DE}&=\frac35\overrightarrow{DI}=\frac3{10}\overrightarrow{AB}-\frac35\overrightarrow{AD},\\\overrightarrow{BF}&=\frac45\overrightarrow{BJ}=-\frac25\overrightarrow{AB}+\frac45\overrightarrow{AD}\\&=\boxed{-\frac43\overrightarrow{DE}}.\end{aligned}\]
Donc les droites \((DE)\) et \((BF)\) sont parallèles. Le coefficient étant négatif, leurs vecteurs ont des sens contraires ; pour les longueurs : \(\boxed{BF=\frac43DE}\).
Question 4
Le quadrilatère \(DEBF\) est-il un parallélogramme ? Justifier par une égalité ou une inégalité de vecteurs.
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4. Le quadrilatère \(DEBF\) est-il un parallélogramme ?
Attention — Sens des vecteurs. Le parallélisme des côtés opposés ne suffit pas, à lui seul, à établir une égalité de vecteurs.
Dans un parallélogramme \(DEBF\), il faudrait \(\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{FB}\). Ici :
\[\overrightarrow{FB}=-\overrightarrow{BF}=\frac43\overrightarrow{DE}\ne\overrightarrow{DE},\]
car \(\overrightarrow{DE}\ne\vec{0}\). \(DEBF\) n’est donc pas un parallélogramme.
Exercice 5 — Un parallélogramme construit à partir d'un triangle
Soit \(ABC\) un triangle. On définit \(D\), \(E\), \(F\) et \(G\) par \[\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC},\quad \overrightarrow{AE}=3\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC},\quad \overrightarrow{AF}=-2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC},\quad \overrightarrow{AG}=-4\overrightarrow{AB}+6\overrightarrow{AC}.\]
Question 1
Construire une figure, puis exprimer \(\overrightarrow{DE}\) et \(\overrightarrow{GF}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
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1. Calculer deux vecteurs opposés du quadrilatère.
\[\begin{aligned}\overrightarrow{DE}&=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC},\\\overrightarrow{GF}&=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}.\end{aligned}\]
Question 2
Montrer que \(DEFG\) est un parallélogramme.
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2. Identifier \(DEFG\).
On a \(\boxed{\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{GF}}\) : les deux côtés opposés correspondants sont égaux comme vecteurs.
Pour vérifier que la figure n’est pas aplatie, notons que
\[\overrightarrow{EF}=-5\overrightarrow{AB}+4\overrightarrow{AC}.\]
Ce vecteur n’est pas colinéaire à \(\overrightarrow{DE}=2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}\) : dans le triangle \(ABC\), les coefficients \(-5/2\) et \(-4/3\) sont différents. Donc \(DEFG\) est un parallélogramme non aplati.
Question 3
Démontrer que \(F\) est le milieu de \([AG]\).
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3. Montrer que \(F\) est un milieu.
\[2\overrightarrow{AF}=-4\overrightarrow{AB}+6\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AG}.\]
Ainsi \(\overrightarrow{AF}=\frac12\overrightarrow{AG}\) et \(F\) est le milieu de \([AG]\).
Question 4
Soit \(O\) le centre de \(DEFG\). Exprimer \(\overrightarrow{AO}\) de deux façons, en utilisant chacune des diagonales.
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4. Déterminer le centre \(O\) de deux façons.
Rappel — Centre du parallélogramme. Les diagonales d’un parallélogramme ont le même milieu.
Comme \(O\) est le milieu de \([DF]\), la propriété du milieu donne :
\[2\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AF}= -\overrightarrow{AB}+5\overrightarrow{AC}.\]
De même, \(O\) est le milieu de \([EG]\), donc :
\[2\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AG}=-\overrightarrow{AB}+5\overrightarrow{AC}.\]
Les deux chemins conduisent à
\[\boxed{\overrightarrow{AO}=-\frac12\overrightarrow{AB}+\frac52\overrightarrow{AC}}.\]
Exercice 6 — Des milieux et une symétrie centrale
Soit \(ABC\) un triangle. Les points \(I\) et \(J\) sont les milieux de \([AB]\) et \([AC]\). On définit \(D\) et \(E\) par \[\overrightarrow{AD}=-\frac12\overrightarrow{AB},\qquad \overrightarrow{CE}=\frac12\overrightarrow{AC},\] et \(K\) est le milieu de \([DE]\).
Question 1
Construire \(D\), \(E\) et \(K\), puis montrer que \(\overrightarrow{AK}=-\dfrac14\overrightarrow{AB}+\dfrac34\overrightarrow{AC}\).
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1. Construire \(K\) et calculer \(\overrightarrow{AK}\).
Par Chasles : \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}=\frac32\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AD}=-\frac12\overrightarrow{AB}\).
Rappel — Milieu d’un segment. Si \(K\) est le milieu de \([DE]\), alors \(2\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}\).
D’où
\[\boxed{\overrightarrow{AK}=-\frac14\overrightarrow{AB}+\frac34\overrightarrow{AC}}.\]
Question 2
Exprimer \(\overrightarrow{IJ}\) et \(\overrightarrow{IK}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
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2. Exprimer \(\overrightarrow{IJ}\) et \(\overrightarrow{IK}\).
On utilise \(\overrightarrow{AI}=\frac12\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AJ}=\frac12\overrightarrow{AC}\) :
\[\begin{aligned}\overrightarrow{IJ}&=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AJ}=\frac12(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}),\\\overrightarrow{IK}&=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AK}=\frac34(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}).\end{aligned}\]
Question 3
Montrer que \(I\), \(J\) et \(K\) sont alignés. Préciser leur ordre et comparer les longueurs \(IJ\) et \(JK\).
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3. Déterminer l’alignement et les longueurs.
\[\boxed{\overrightarrow{IK}=\frac32\overrightarrow{IJ}}.\]
Le coefficient est supérieur à \(1\) : \(I\), \(J\), \(K\) sont alignés dans cet ordre. Par Chasles :
\[\overrightarrow{JK}=\overrightarrow{IK}-\overrightarrow{IJ}=\frac12\overrightarrow{IJ},\]
puisque le coefficient est positif, \(\boxed{JK=\frac12 IJ}\).
Question 4
Le point \(H\) est le symétrique de \(K\) par rapport à \(J\). Montrer que \(H\) est le milieu de \([IJ]\).
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4. Utiliser la symétrie pour situer \(H\).
\(J\) étant le milieu de \([KH]\), on a \(\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{AJ}-\overrightarrow{AK}\), soit
\[\overrightarrow{AH}=\frac14(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}).\]
Or
\[\frac12(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AJ})=\frac14(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}).\]
Par la propriété caractéristique du milieu, \(H\) est le milieu de \([IJ]\).
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