Calcul vectoriel dans le plan — Corrections des exercices 7 à 16
Exercices d’approfondissement et de synthèse : raisonnements, réciproques et constructions détaillés.
II. Approfondissement
Exercice 7 — Retrouver le point commun des médianes
Soit \(ABC\) un triangle. Les points \(I\), \(J\), \(K\) sont les milieux respectifs de \([BC]\), \([CA]\), \([AB]\). On définit \(E\) par \(\overrightarrow{IE}=-\overrightarrow{IA}\) et \(G\) par \(3\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AE}\).
Question 1
Construire \(E\), montrer que \(ABEC\) est un parallélogramme et exprimer \(\overrightarrow{AE}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
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1. Construire \(E\) et reconnaître \(ABEC\).
L’égalité \(\overrightarrow{IE}=-\overrightarrow{IA}\) signifie que \(I\) est le milieu de \([AE]\) : \(E\) est le symétrique de \(A\) par rapport à \(I\). Puisque \(I\) est aussi le milieu de \([BC]\), les diagonales \([AE]\) et \([BC]\) ont le même milieu ; \(ABEC\) est un parallélogramme.
D’après la propriété du milieu :
\[\boxed{\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}.\]
Question 2
Comparer \(\overrightarrow{AG}\) et \(\overrightarrow{AI}\), puis \(\overrightarrow{BG}\) et \(\overrightarrow{BJ}\).
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2. Comparer \(\overrightarrow{AG}\) à \(\overrightarrow{AI}\), puis \(\overrightarrow{BG}\) à \(\overrightarrow{BJ}\).
Par définition de \(G\) :
\[\overrightarrow{AG}=\frac13\overrightarrow{AE}=\boxed{\frac23\overrightarrow{AI}}.\]
Le coefficient \(\frac23\) étant compris entre \(0\) et \(1\), \(G\in[AI]\).
Comme \(J\) est le milieu de \([CA]\), on a \(\overrightarrow{BJ}=-\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AC}\). Alors :
\[\begin{aligned}\overrightarrow{BG}&=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AG}\\&=-\overrightarrow{AB}+\frac13(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\\&=-\frac23\overrightarrow{AB}+\frac13\overrightarrow{AC}=\boxed{\frac23\overrightarrow{BJ}}.\end{aligned}\]
Ainsi \(G\in(BJ)\).
Question 3
Comparer \(\overrightarrow{CG}\) et \(\overrightarrow{CK}\). En déduire que les trois médianes se coupent en \(G\).
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3. Vérifier la troisième médiane et la concurrence.
\(K\) est le milieu de \([AB]\). En appliquant Chasles :
\[\begin{aligned}\overrightarrow{CG}&=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AG}\\&=\frac13\overrightarrow{AB}-\frac23\overrightarrow{AC}\\&=\frac23\left(\frac12\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)=\boxed{\frac23\overrightarrow{CK}}.\end{aligned}\]
Donc \(G\in(CK)\). Le point \(G\) appartient aux trois médianes. Les droites \((AI)\) et \((BJ)\) sont distinctes dans un triangle non aplati : elles n’ont qu’un seul point commun, qui est \(G\). Les trois médianes sont concourantes en \(G\).
Question 4
Montrer que, pour tout point \(M\), \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}\).
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4. Établir l’identité pour un point quelconque \(M\).
Rappel — Chasles. \(\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}\).
Ainsi :
\[\begin{aligned}\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}&=3\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\\&=3\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{AG}\\&=\boxed{3\overrightarrow{MG}}.\end{aligned}\]
Question 5
En déduire \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}\). Comment appelle-t-on le point \(G\) ?
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5. Identifier \(G\).
On prend \(M=G\) dans l’identité précédente :
\[\boxed{\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}}.\]
\(G\) est le centre de gravité du triangle \(ABC\).
Exercice 8 — Les milieux d'un quadrilatère
Soit \(ABCD\) un quadrilatère convexe. Les points \(I\), \(J\), \(K\), \(L\) sont les milieux respectifs de \([AB]\), \([BC]\), \([CD]\), \([DA]\).
Question 1
Montrer que \(\overrightarrow{IJ}=\dfrac12\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{LK}=\dfrac12\overrightarrow{AC}\), puis exprimer \(\overrightarrow{JK}\) en fonction de \(\overrightarrow{BD}\).
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1. Exprimer les vecteurs joignant les milieux.
Par la propriété du milieu et Chasles :
\[\begin{aligned}\overrightarrow{IJ}&=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BJ}=\frac12\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{BC}=\boxed{\frac12\overrightarrow{AC}},\\\overrightarrow{LK}&=\overrightarrow{LD}+\overrightarrow{DK}=\frac12\overrightarrow{AD}+\frac12\overrightarrow{DC}=\boxed{\frac12\overrightarrow{AC}},\\\overrightarrow{JK}&=\overrightarrow{JC}+\overrightarrow{CK}=\frac12\overrightarrow{BC}+\frac12\overrightarrow{CD}=\boxed{\frac12\overrightarrow{BD}}.\end{aligned}\]
Question 2
En déduire la nature de \(IJKL\) et construire son centre \(G\).
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2. Déterminer \(IJKL\) et son centre.
On vient d’obtenir \(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{LK}\). Ce sont deux côtés opposés de \(IJKL\) ; \(IJKL\) est un parallélogramme. Ses diagonales \([IK]\) et \([JL]\) ont le même milieu \(G\), que l’on construit.
Question 3
Si \(M\) et \(N\) sont les milieux de \([AC]\) et \([BD]\), montrer que \[\overrightarrow{AG}=\frac14\bigl(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\bigr) \quad\text{et}\quad \overrightarrow{AG}=\frac12\bigl(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\bigr).\]
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3. Exprimer \(\overrightarrow{AG}\) par deux chemins.
Comme \(I\) est le milieu de \([AB]\) et \(K\) celui de \([CD]\) :
\[\overrightarrow{AI}=\frac12\overrightarrow{AB},\qquad \overrightarrow{AK}=\frac12(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}).\]
Puisque \(G\) est le milieu de \([IK]\) :
\[\boxed{\overrightarrow{AG}=\frac14(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})}.\]
Par ailleurs, \(M\) et \(N\) sont les milieux de \([AC]\) et \([BD]\) ; ainsi
\[\overrightarrow{AM}=\frac12\overrightarrow{AC},\quad \overrightarrow{AN}=\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}),\]
ce qui donne
\[\boxed{\overrightarrow{AG}=\frac12(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN})}.\]
Question 4
Que représente \(G\) pour \([MN]\) lorsque \(M\ne N\) ? Que devient la conclusion lorsque \(M=N\) ?
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4. Interpréter \(G\) par rapport à \(M\) et \(N\).
Rappel — Caractérisation du milieu. Pour un point \(X\), l’égalité \(2\overrightarrow{XG}=\overrightarrow{XM}+\overrightarrow{XN}\) caractérise le milieu de \([MN]\).
La deuxième égalité précédente montre que \(G\) est le milieu de \([MN]\) si \(M\ne N\). Si \(M=N\), elle donne \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AM}\), donc \(G=M=N\).
Question 5
Montrer que, pour tout point \(X\), \(\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{XB}+\overrightarrow{XC}+\overrightarrow{XD}=4\overrightarrow{XG}\).
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5. Démontrer l’identité à quatre termes.
Pour tout point \(X\), par Chasles :
\[\begin{aligned}\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{XB}+\overrightarrow{XC}+\overrightarrow{XD}&=4\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\\&=4\overrightarrow{XA}+4\overrightarrow{AG}\\&=\boxed{4\overrightarrow{XG}}.\end{aligned}\]
Exercice 9 — Deux points qui dépendent d'un réel
Soit \(ABC\) un triangle. On construit \(P\) et \(Q\) tels que \(\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AQ}=2\overrightarrow{AC}\). Pour un nombre réel \(t\), on définit \(E_t\) et \(F_t\) par \[\overrightarrow{AE_t}=t\overrightarrow{AB}+(1-t)\overrightarrow{AC}, \qquad \overrightarrow{AF_t}=2\overrightarrow{AE_t}.\]
Question 1
Montrer que \(\overrightarrow{BE_t}=(1-t)\overrightarrow{BC}\). Où se trouve \(E_t\) ? Pour quelles valeurs de \(t\) appartient-il à \([BC]\) ?
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1. Étudier le point \(E_t\).
Par Chasles :
\[\begin{aligned}\overrightarrow{BE_t}&=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE_t}\\&=(t-1)\overrightarrow{AB}+(1-t)\overrightarrow{AC}\\&=\boxed{(1-t)\overrightarrow{BC}}.\end{aligned}\]
Quel que soit \(t\), \(E_t\in(BC)\). Il est sur le segment \([BC]\) exactement lorsque \(0\le1-t\le1\), soit \(\boxed{0\le t\le1}\).
Question 2
Exprimer \(\overrightarrow{PF_t}\) en fonction de \(\overrightarrow{PQ}\). En déduire où se trouve \(F_t\).
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2. Situer \(F_t\).
Puisque \(\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AQ}=2\overrightarrow{AC}\), on a \(\overrightarrow{PQ}=2\overrightarrow{BC}\). Donc :
\[\begin{aligned}\overrightarrow{PF_t}&=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AF_t}\\&=-2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AE_t}\\&=2\overrightarrow{BE_t}=\boxed{(1-t)\overrightarrow{PQ}}.\end{aligned}\]
Ainsi \(F_t\in(PQ)\), et \(F_t\in[PQ]\) exactement lorsque \(0\le t\le1\).
Question 3
Déterminer \(t\) pour que \(E_t\) soit le milieu de \([BC]\). Que représente alors \(F_t\) pour \([PQ]\) ?
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3. Chercher les milieux.
\(E_t\) est le milieu de \([BC]\) lorsque \(\overrightarrow{BE_t}=\frac12\overrightarrow{BC}\). Comme \(\overrightarrow{BC}\ne\vec{0}\) :
\[1-t=\frac12\quad\text{d'où}\quad \boxed{t=\frac12}.\]
Pour ce même \(t\), \(\overrightarrow{PF_t}=\frac12\overrightarrow{PQ}\) : \(F_t\) est le milieu de \([PQ]\).
Question 4
Soit \(I_t\) le milieu de \([E_tF_t]\). Montrer que \(\overrightarrow{AI_t}=\dfrac32\overrightarrow{AE_t}\).
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4. Calculer \(\overrightarrow{AI_t}\).
\(I_t\) est le milieu de \([E_tF_t]\). La propriété caractéristique du milieu donne :
\[2\overrightarrow{AI_t}=\overrightarrow{AE_t}+\overrightarrow{AF_t}=3\overrightarrow{AE_t},\]
soit \(\boxed{\overrightarrow{AI_t}=\frac32\overrightarrow{AE_t}}\).
Question 5
On construit \(R\) et \(S\) tels que \(\overrightarrow{AR}=\dfrac32\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AS}=\dfrac32\overrightarrow{AC}\). Décrire l’ensemble des points \(I_t\) lorsque \(t\) parcourt les réels, puis lorsque \(0\le t\le1\).
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5. Décrire les lieux géométriques.
De la question précédente :
\[\overrightarrow{AI_t}=\frac32\bigl(t\overrightarrow{AB}+(1-t)\overrightarrow{AC}\bigr).\]
Or \(\overrightarrow{AR}=\frac32\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AS}=\frac32\overrightarrow{AC}\). Alors :
\[\begin{aligned}\overrightarrow{SI_t}&=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AI_t}\\&=t\frac32(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})=\boxed{t\overrightarrow{SR}}.\end{aligned}\]
Comme \(R\ne S\), quand \(t\) parcourt tous les réels, \(I_t\) décrit toute la droite \((RS)\) ; lorsque \(0\le t\le1\), \(I_t\) décrit exactement le segment \([RS]\).
Exercice 10 — D'une relation vectorielle à deux ensembles de points
Soient \(A\) et \(B\) deux points tels que \(AB=6\,\mathrm{cm}\). Le point \(E\) est défini par \[4\overrightarrow{EA}-\overrightarrow{EB}=\vec{0}.\]
Question 1
Montrer que \(\overrightarrow{AE}=-\dfrac13\overrightarrow{AB}\), puis construire \(E\).
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1. Déterminer puis construire \(E\).
Par Chasles : \(\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}\). La relation devient
\[4\overrightarrow{EA}-(\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB})=\vec{0},\]
soit \(3\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{AB}\), d’où
\[\boxed{\overrightarrow{AE}=-\frac13\overrightarrow{AB}}.\]
\(E\) est sur \((AB)\), du côté opposé à \(B\) par rapport à \(A\), et \(AE=\frac13AB=\boxed{2\,\mathrm{cm}}\).
Question 2
Montrer que, pour tout point \(M\), \(4\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{ME}\).
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2. Réduire la combinaison vectorielle.
Pour tout point \(M\) :
\[\begin{aligned}4\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}&=4(\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EA})-(\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EB})\\&=3\overrightarrow{ME}+(4\overrightarrow{EA}-\overrightarrow{EB})\\&=\boxed{3\overrightarrow{ME}}.\end{aligned}\]
Question 3
Déterminer et construire l’ensemble des points \(M\) tels que \(\|4\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\|=6\,\mathrm{cm}\).
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3. Reconnaître le premier ensemble.
Rappel — Norme d’un multiple positif. Pour \(k>0\), \(\|k\vec u\|=k\|\vec u\|\).
L’égalité demandée devient \(3ME=6\,\mathrm{cm}\), donc \(ME=2\,\mathrm{cm}\). L’ensemble est le cercle de centre \(E\) et de rayon \(2\,\mathrm{cm}\).
Question 4
Déterminer l’ensemble des points \(M\) tels que \(\|4\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\|=3\,MA\).
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4. Reconnaître le deuxième ensemble.
On obtient \(3ME=3MA\), donc \(ME=MA\). Les points à égale distance des points distincts \(E\) et \(A\) forment la médiatrice de \([EA]\).
Question 5
Pour chacun des deux ensembles, déterminer ses points situés sur la droite \((AB)\) et les construire.
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5. Intersections de ces ensembles avec \((AB)\).
Pour le cercle, \(A\) est une intersection puisque \(EA=2\,\mathrm{cm}\). L’autre, notée \(S\), est située au-delà de \(E\) sur la demi-droite d’origine \(A\) opposée à \(B\), avec \(ES=2\,\mathrm{cm}\) ; ainsi \(AS=4\,\mathrm{cm}\).
Pour la médiatrice, l’intersection avec \((AB)\) est le milieu \(T\) de \([EA]\), avec \(AT=1\,\mathrm{cm}\). Ces constructions reposent sur des distances positives, même si les vecteurs orientés sont de sens contraires.
Exercice 11 — Une expression qui ne dépend pas du point
Soit \(ABCD\) un quadrilatère convexe. Pour un point \(M\) du plan, on considère \[\vec W_M=\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD}.\]
Question 1
Montrer que \(\vec W_M=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}\). Pourquoi le résultat ne dépend-il pas de \(M\) ?
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1. Réduire \(\vec W_M\).
Par Chasles :
\[\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{BA},\qquad\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{DC}.\]
D’où
\[\boxed{\vec W_M=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}}.\]
Cette expression ne contient plus le point \(M\) : le vecteur \(\vec W_M\) est constant.
Question 2
Montrer que, si \(ABCD\) est un parallélogramme, \(\vec W_M=\vec{0}\) pour tout point \(M\).
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2. Cas d’un parallélogramme.
Si \(ABCD\) est un parallélogramme, \(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}\). Alors
\[\boxed{\vec W_M=\vec{0}\quad\text{pour tout }M}.\]
Question 3
Réciproquement, on sait que \(\vec W_{M_0}=\vec{0}\) pour un point \(M_0\). Que peut-on conclure sur \(ABCD\) et sur \(\vec W_M\) pour les autres points ?
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3. Réciproque.
Si \(\vec W_{M_0}=\vec{0}\) pour un point \(M_0\), la question 1 donne :
\[\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}=\vec{0},\quad\text{donc}\quad\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}.\]
Rappel — Parallélogramme. Pour un quadrilatère convexe \(ABCD\), l’égalité \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) caractérise le parallélogramme.
Donc \(ABCD\) est un parallélogramme. En conséquence \(\vec W_M=\vec{0}\) pour tout \(M\), et non seulement pour \(M_0\).
Question 4
On fixe trois points non alignés \(A\), \(B\), \(C\). Construire le seul point \(D\) pour lequel l’expression est nulle.
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4. Construire l’unique point \(D\).
On cherche \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\). Par Chasles cela revient à
\[\boxed{\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}}.\]
On reporte \(\overrightarrow{BC}\) à partir de \(A\) ; son extrémité est l’unique point \(D\). Les points \(A,B,C\) n’étant pas alignés, on construit un parallélogramme non aplati.
Question 5
Si \(ABCD\) n’est pas un parallélogramme, peut-il exister un point \(M\) tel que \(\vec W_M=\vec{0}\) ? Justifier.
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5. Cas contraire.
Si \(ABCD\) n’est pas un parallélogramme, alors \(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}\ne\vec{0}\). Ce vecteur étant indépendant de \(M\), aucun point \(M\) ne vérifie \(\vec W_M=\vec{0}\).
Exercice 12 — Reconstruire à partir de trois milieux
Soient \(I\), \(J\), \(K\) trois points non alignés et \(A\) un point du plan. On construit successivement \(B\), \(C\), \(D\) tels que \(I\) soit le milieu de \([AB]\), \(J\) celui de \([BC]\) et \(K\) celui de \([CD]\). Le milieu d’un segment réduit à un point désigne ce point.
Question 1
Expliquer comment construire \(B\), \(C\) et \(D\) par des symétries centrales.
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1. Construire \(B,C,D\).
\(B\) est le symétrique de \(A\) par rapport à \(I\) ; \(C\) est le symétrique de \(B\) par rapport à \(J\) ; \(D\) est le symétrique de \(C\) par rapport à \(K\).
Pour simplifier les relations, notons temporairement \(\vec a=\overrightarrow{IA}\), \(\vec u=\overrightarrow{IJ}\) et \(\vec v=\overrightarrow{IK}\). Ce sont des vecteurs, pas des coordonnées.
Les propriétés des milieux donnent successivement :
\[\overrightarrow{IB}=-\vec a,\qquad\overrightarrow{IC}=2\vec u+\vec a,\qquad\overrightarrow{ID}=2\vec v-2\vec u-\vec a.\]
Question 2
Soit \(L\) le milieu de \([DA]\). Montrer que \(\overrightarrow{IL}=\overrightarrow{JK}\), puis construire \(L\) sans utiliser \(A\).
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2. Trouver \(L\) sans utiliser \(A\).
\(L\) est le milieu de \([DA]\). Donc :
\[2\overrightarrow{IL}=\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{IA}=(2\vec v-2\vec u-\vec a)+\vec a,\]
et par suite
\[\boxed{\overrightarrow{IL}=\vec v-\vec u=\overrightarrow{JK}}.\]
On transporte \(\overrightarrow{JK}\) à partir de \(I\) pour construire \(L\).
Question 3
En déduire que \(L\) ne dépend pas du choix de \(A\) et déterminer la nature de \(IJKL\).
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3. Indépendance de \(L\) et nature de \(IJKL\).
L’égalité \(\overrightarrow{IL}=\overrightarrow{JK}\) ne dépend pas du point \(A\). Deux côtés opposés de \(IJKL\) ont des vecteurs égaux ; donc \(IJKL\) est un parallélogramme, non aplati car \(I,J,K\) ne sont pas alignés.
Question 4
Soit \(O\) le milieu de \([IK]\). Montrer que \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) si et seulement si \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{JI}\).
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4. Caractériser le choix de \(A\).
Avec les notations précédentes :
\[\overrightarrow{AB}=-2\vec a,\qquad\overrightarrow{DC}=4\vec u-2\vec v+2\vec a.\]
Ainsi \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) impose
\[-2\vec a=4\vec u-2\vec v+2\vec a,\quad\text{soit}\quad\vec a=\frac12\vec v-\vec u.\]
Or \(O\) est le milieu de \([IK]\), donc \(\overrightarrow{IO}=\frac12\vec v\). On obtient :
\[\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IA}=-\frac12\vec v+\vec a= -\vec u=\boxed{\overrightarrow{JI}}.\]
Réciproquement, cette dernière égalité redonne \(\vec a=\frac12\vec v-\vec u\), donc \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\). Les deux conditions se caractérisent mutuellement.
Question 5
Construire le point \(A\) correspondant à cette dernière égalité. Montrer que, pour ce choix, \(ABCD\) est un parallélogramme non aplati.
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5. Construire \(A\) puis conclure.
À partir de \(O\), on reporte \(\overrightarrow{JI}\) : on obtient un seul point \(A\). Pour ce choix,
\[\overrightarrow{AB}=2\vec u-\vec v,\qquad\overrightarrow{AD}=\vec v.\]
Comme \(\vec u\) et \(\vec v\) ne sont pas colinéaires, ces deux côtés ne sont pas colinéaires. Donc \(ABCD\) est un parallélogramme non aplati.
III. Synthèse et niveau avancé
Exercice 13 — Trois droites passant par un même point
Soit \(ABC\) un triangle. Le point \(E\) est le milieu de \([CA]\). On définit \(D\) et \(F\) par \[\overrightarrow{BD}=\frac13\overrightarrow{BC},\qquad \overrightarrow{AF}=\frac23\overrightarrow{AB}.\] Le point \(G\) est le milieu de \([BE]\).
Question 1
Construire la figure et exprimer \(\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{AG}\) et \(\overrightarrow{CF}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
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1. Exprimer les trois vecteurs dans le triangle \(ABC\).
Notons \(\vec u=\overrightarrow{AB}\) et \(\vec v=\overrightarrow{AC}\). Puisque \(\overrightarrow{BC}=\vec v-\vec u\), nous obtenons :
\[\begin{aligned}\overrightarrow{AD}&=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\vec u+\frac13(\vec v-\vec u)=\boxed{\frac23\vec u+\frac13\vec v},\\\overrightarrow{AE}&=\frac12\overrightarrow{AC}=\frac12\vec v,\\\overrightarrow{AG}&=\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE})=\boxed{\frac12\vec u+\frac14\vec v},\\\overrightarrow{CF}&=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AF}=\boxed{\frac23\vec u-\vec v}.\end{aligned}\]
Pour les constructions : \(D\in[BC]\) à un tiers du parcours de \(B\) vers \(C\) ; \(F\in[AB]\) à deux tiers du parcours de \(A\) vers \(B\) ; \(G\) est le milieu de \([BE]\).
Question 2
Montrer que \(\overrightarrow{AG}=\dfrac34\overrightarrow{AD}\).
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2. Établir l’appartenance de \(G\) à \((AD)\).
\[\frac34\overrightarrow{AD}=\frac34\left(\frac23\vec u+\frac13\vec v\right)=\frac12\vec u+\frac14\vec v=\overrightarrow{AG}.\]
Donc \(\boxed{\overrightarrow{AG}=\frac34\overrightarrow{AD}}\) et \(G\in(AD)\).
Question 3
Montrer que \(\overrightarrow{CG}=\dfrac34\overrightarrow{CF}\). En déduire que les trois droites \((AD)\), \((BE)\) et \((CF)\) se coupent en \(G\).
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3. Établir l’appartenance de \(G\) à \((CF)\).
Par Chasles :
\[\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AG}=\frac12\vec u-\frac34\vec v=\boxed{\frac34\overrightarrow{CF}}.\]
Donc \(G\in(CF)\). D’autre part, \(G\) est le milieu de \([BE]\), donc \(G\in(BE)\). Les trois droites \((AD)\), \((BE)\) et \((CF)\) passent toutes par \(G\).
Question 4
Un point \(F'\) de \((AB)\) vérifie que \(C\), \(G\) et \(F'\) sont alignés. Démontrer que \(F'=F\), en justifiant l’unicité de l’intersection.
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4. Justifier l’unicité de \(F\).
La question 3 montre que \(C,G,F\) sont alignés : \((CG)=(CF)\). Or \(F\in(AB)\), et \(C\notin(AB)\) puisque \(ABC\) est un triangle. Les droites \((CF)\) et \((AB)\) sont donc distinctes et se coupent en un seul point : \(F\). Tout point \(F'\) de \((AB)\) aligné avec \(C,G\) est nécessairement \(F\).
Exercice 14 — Une famille et ses cas particuliers
Soit \(ABC\) un triangle. Pour un nombre réel \(t\), on définit \(M_t\), \(N_t\) et leur milieu \(P_t\) par \[\overrightarrow{AM_t}=t\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC},\qquad \overrightarrow{AN_t}=\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC},\qquad \overrightarrow{AP_t}=\frac12\bigl(\overrightarrow{AM_t}+\overrightarrow{AN_t}\bigr).\] Lorsque \(M_t=N_t\), on convient de prendre \(P_t=M_t\). Soit \(I\) le milieu de \([BC]\).
Question 1
Montrer que \(\overrightarrow{M_tN_t}=(t-1)\overrightarrow{BC}\). Pour quelle valeur de \(t\) les deux points sont-ils confondus ?
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1. Comparer \(M_t\) et \(N_t\).
Posons \(\vec u=\overrightarrow{AB}\) et \(\vec v=\overrightarrow{AC}\). Par Chasles :
\[\begin{aligned}\overrightarrow{M_tN_t}&=\overrightarrow{AN_t}-\overrightarrow{AM_t}\\&=(1-t)\vec u+(t-1)\vec v=\boxed{(t-1)\overrightarrow{BC}}.\end{aligned}\]
Comme \(B\ne C\), ce vecteur est nul exactement pour \(\boxed{t=1}\). Dans ce cas \(M_1=N_1=P_1\).
Question 2
Lorsque \(t\ne1\), comparer les directions des droites \((M_tN_t)\) et \((BC)\).
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2. Comparer les directions.
Lorsque \(t\ne1\), le coefficient \(t-1\) est non nul. Les droites \((M_tN_t)\) et \((BC)\) sont parallèles. Si \(t=0\), \(M_0=C\) et \(N_0=B\) : elles sont confondues. Si \(t\ne0\) et \(t\ne1\), elles sont distinctes : en effet,
\[\overrightarrow{CM_t}=t\overrightarrow{AB},\]
qui n’est pas colinéaire à \(\overrightarrow{BC}\) lorsque \(t\ne0\), puisque \(ABC\) est un triangle.
Question 3
Exprimer \(\overrightarrow{AP_t}\) en fonction de \(\overrightarrow{AI}\). Décrire l’ensemble des points \(P_t\) lorsque \(t\) parcourt les réels.
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3. Décrire le lieu de \(P_t\).
\(P_t\) est le milieu de \([M_tN_t]\). Alors
\[\begin{aligned}\overrightarrow{AP_t}&=\frac12(\overrightarrow{AM_t}+\overrightarrow{AN_t})\\&=\frac{t+1}{2}(\vec u+\vec v)=\boxed{(t+1)\overrightarrow{AI}}.\end{aligned}\]
Le réel \(t+1\) parcourt tous les réels lorsque \(t\) varie. Puisque \(\overrightarrow{AI}\ne\vec{0}\), le lieu de \(P_t\) est exactement la droite \((AI)\).
Question 4
Déterminer \(t\) pour que \(P_t=A\), puis pour que \(P_t=I\). Construire les points correspondants.
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4. Chercher les deux cas particuliers.
\(P_t=A\) signifie \(t+1=0\), donc \(\boxed{t=-1}\). Les vecteurs \(\overrightarrow{AM_{-1}}=-\vec u+\vec v\) et \(\overrightarrow{AN_{-1}}=\vec u-\vec v\) sont opposés : \(A\) est leur milieu.
\(P_t=I\) signifie \(t+1=1\), soit \(\boxed{t=0}\) ; on trouve \(M_0=C\) et \(N_0=B\), dont le milieu est bien \(I\).
Question 5
Déterminer toutes les valeurs de \(t\) pour lesquelles \(M_tN_t=BC\) en longueurs. Justifier les deux cas obtenus.
Lire la correction +Masquer la correction −
5. Égalité des longueurs \(M_tN_t=BC\) sans valeur absolue.
La relation \(\overrightarrow{M_tN_t}=(t-1)\overrightarrow{BC}\) conduit à distinguer deux cas.
- Si \(t\ge1\), les vecteurs ont le même sens et \(M_tN_t=(t-1)BC\). L’égalité à \(BC\) donne \(t-1=1\), donc \(\boxed{t=2}\).
- Si \(t<1\), les vecteurs ont des sens contraires et \(M_tN_t=(1-t)BC\). L’égalité donne \(1-t=1\), donc \(\boxed{t=0}\).
Les deux solutions sont \(t=0\) et \(t=2\). Elles correspondent à des vecteurs de même norme, mais de sens contraires.
Exercice 15 — Réduire une somme puis utiliser les distances
Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(A\), avec \(AB=AC=4\,\mathrm{cm}\). Le point \(I\) est le milieu de \([BC]\). On construit \(P\) et \(Q\) tels que \(\overrightarrow{AP}=\dfrac32\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AQ}=-\dfrac12\overrightarrow{AC}\). Le point \(G\) est le milieu de \([PQ]\).
Question 1
Construire la figure et montrer que \(\overrightarrow{AG}=\dfrac34\overrightarrow{AB}-\dfrac14\overrightarrow{AC}\).
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1. Exprimer \(\overrightarrow{AG}\).
Puisque \(G\) est le milieu de \([PQ]\) :
\[2\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}=\frac32\overrightarrow{AB}-\frac12\overrightarrow{AC}.\]
Donc
\[\boxed{\overrightarrow{AG}=\frac34\overrightarrow{AB}-\frac14\overrightarrow{AC}}.\]
Question 2
Montrer que, pour tout point \(M\), \(2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MG}\).
Lire la correction +Masquer la correction −
2. Réduire la somme pour tout \(M\).
D’après Chasles :
\[\begin{aligned}2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}&=4\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\\&=4\overrightarrow{MA}+4\overrightarrow{AG}\\&=\boxed{4\overrightarrow{MG}}.\end{aligned}\]
Question 3
Rappeler l’expression de \(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\) en fonction de \(\overrightarrow{MI}\).
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3. Utiliser le milieu \(I\) de \([BC]\).
Rappel — Identité du milieu. Pour tout point \(M\), \(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI}\) si \(I\) est le milieu de \([BC]\).
Question 4
Déterminer et construire l’ensemble des points \(M\) tels que \[\|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\| =2\|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\|.\]
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4. Déterminer le lieu demandé.
Grâce aux questions précédentes, l’égalité des normes devient
\[\|4\overrightarrow{MG}\|=2\|2\overrightarrow{MI}\|,\]
puis, puisque les multiplicateurs \(2\) et \(4\) sont positifs, \(4MG=4MI\), d’où
\[\boxed{MG=MI}.\]
Les points \(G\) et \(I\) sont distincts. En effet :
\[\overrightarrow{IG}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AI}=\frac14\overrightarrow{AB}-\frac34\overrightarrow{AC}\ne\vec{0},\]
car \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ne sont pas colinéaires. Le lieu cherché est la médiatrice du segment \([GI]\).
Question 5
On définit \(T\) par \(\overrightarrow{AT}=\dfrac14\overrightarrow{AB}\). En utilisant le théorème de Pythagore, montrer que \(T\) appartient à cet ensemble. Calculer \(TG\) et \(TI\).
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5. Vérifier que \(T\) appartient à ce lieu.
\(AB=AC=4\,\mathrm{cm}\) et \(\overrightarrow{AT}=\frac14\overrightarrow{AB}\), donc \(AT=1\,\mathrm{cm}\).
Construisons \(S\in[AB]\) tel que \(AS=3\,\mathrm{cm}\), et \(R\) milieu de \([AB]\), donc \(AR=2\,\mathrm{cm}\). Alors :
\[\overrightarrow{SG}=-\frac14\overrightarrow{AC},\qquad\overrightarrow{RI}=\frac12\overrightarrow{AC}.\]
Comme \((AB)\perp(AC)\), les triangles \(TSG\) et \(TRI\) sont rectangles respectivement en \(S\) et en \(R\). On a :
\[TS=2,\ SG=1,\ TR=1,\ RI=2\quad (\text{en cm}).\]
Rappel — Pythagore. Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est la somme des carrés des deux autres côtés.
D’où :
\[TG^2=TS^2+SG^2=2^2+1^2=5,\]
\[TI^2=TR^2+RI^2=1^2+2^2=5.\]
Les distances étant positives :
\[\boxed{TG=TI=\sqrt5\,\mathrm{cm}}.\]
Ainsi \(T\) appartient à la médiatrice de \([GI]\), donc au lieu recherché.
Exercice 16 — Lire une figure et démontrer une réciproque
Sur la figure, les graduations sont régulières sur chacun des segments \([BC]\), \([AD]\) et \([AC]\). L’unité de graduation peut différer d’un segment à l’autre.
Question 1
Lire les fractions correspondant à \(\overrightarrow{BD}\), \(\overrightarrow{AH}\) et \(\overrightarrow{AL}\), respectivement en fonction de \(\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
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1. Lire correctement les graduations.
Sur \([BC]\), on compte trois intervalles égaux et \(D\) est au deuxième depuis \(B\) :
\[\boxed{\overrightarrow{BD}=\frac23\overrightarrow{BC}}.\]
Sur \([AD]\), cinq intervalles égaux et \(H\) au troisième depuis \(A\) :
\[\boxed{\overrightarrow{AH}=\frac35\overrightarrow{AD}}.\]
Sur \([AC]\), quatre intervalles égaux et \(L\) est au milieu :
\[\boxed{\overrightarrow{AL}=\frac12\overrightarrow{AC}}.\]
Ces lectures sont effectuées segment par segment : les unités de graduation peuvent être différentes.
Question 2
Exprimer \(\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{AH}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
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2. Exprimer \(\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{AH}\).
En utilisant Chasles :
\[\begin{aligned}\overrightarrow{AD}&=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}\\&=\overrightarrow{AB}+\frac23(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})\\&=\boxed{\frac13\overrightarrow{AB}+\frac23\overrightarrow{AC}},\\\overrightarrow{AH}&=\frac35\overrightarrow{AD}=\boxed{\frac15\overrightarrow{AB}+\frac25\overrightarrow{AC}}.\end{aligned}\]
Question 3
Montrer que \(\overrightarrow{BH}=\dfrac45\overrightarrow{BL}\). En déduire l’alignement et l’ordre des points \(B\), \(H\), \(L\).
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3. Aligner \(B,H,L\) et les ordonner.
\[\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AH}=-\frac45\overrightarrow{AB}+\frac25\overrightarrow{AC}.\]
Or \(\overrightarrow{BL}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AL}=-\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AC}\). Ainsi :
\[\boxed{\overrightarrow{BH}=\frac45\overrightarrow{BL}}.\]
Le coefficient \(\frac45\) est compris entre \(0\) et \(1\) : \(H\in[BL]\), et l’ordre est \(B,H,L\).
Question 4
Soit \(X\) un point de \((AD)\), défini par \(\overrightarrow{AX}=t\overrightarrow{AD}\). Déterminer le seul réel \(t\) pour lequel \(B\), \(X\) et \(L\) sont alignés.
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4. Déterminer le seul réel \(t\) convenable.
Soit \(X\in(AD)\) défini par \(\overrightarrow{AX}=t\overrightarrow{AD}\). En posant \(\vec u=\overrightarrow{AB}\) et \(\vec v=\overrightarrow{AC}\), on a
\[\overrightarrow{BX}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AX}=\left(\frac t3-1\right)\vec u+\frac{2t}{3}\vec v.\]
Pour que \(B,X,L\) soient alignés, il faut que \(\overrightarrow{BX}=k\overrightarrow{BL}\) pour un réel \(k\). Comme \(\overrightarrow{BL}=-\vec u+\frac12\vec v\), la comparaison des coefficients (les vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) n’étant pas colinéaires) donne :
\[\frac t3-1=-k,\qquad\frac{2t}{3}=\frac k2.\]
La seconde relation impose \(k=\frac{4t}{3}\). En remplaçant dans la première :
\[\frac t3-1=-\frac{4t}{3},\quad\text{d'où}\quad \boxed{t=\frac35}.\]
Pour cette valeur, \(k=\frac45\) : on retrouve la relation de la question 3. Le résultat est à la fois nécessaire et suffisant. Le seul point \(X\) est donc \(H\).
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